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【摘 要】类比是根据两个对象或两类事物的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法。在各种逻辑推理方法中，类比思想方法是富于创造的一种方法。本文以数学教学为例，结合教学实践谈如何运用类比思想方法。
【关键词】初中数学；类比思想；运用感悟
数学问题浩如烟海，面对一个个数学问题如何求解？有些学生做了大量的题目，但考试遇到新题型或只是稍微变化一下，就不知所措了，原因是在平时的学习中，缺乏掌握数学思考方法。康德曾说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进”。解决问题的根本思想在于寻求客观事物的数学关系和结构的样式，从已解决的问题中概括出思维模式，再用模式去处理类似的问题，进而形成新模式，构成相似系列，即各种概念、命题与方法的相似链。
因此，在数学中类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段。根据初中生抽象逻辑思维能力发展的特点和初中数学教材的特点，教学中恰当地应用类比方法，不仅能突出问题的本质，提高教学质量，而且有助于培养学生的创造能力等思维品质，提高认识问题和解决问题的能力。
一、概念教学中类比思想的运用
数学概念是数学知识的基础。初中数学中有许多概念具有相似的属性，对于这些概念的教学，可先引导学生研究已学过的概念属性，然后创设类比发现的问题情景，引导学生去发现，尝试给新概念下定义，这样新的概念容易在原有的认知结构中得以同化与构建。学生对数学概念的形成过程、同化过程，就决定了对数学概念掌握的程度。波利亚也说过：“当你不能解决一个问题时，不妨回到定义去”。而各种各样的问题也往往是在数学概念之上“开枝散叶”的。
在初中代数中“一元一次方程”和“一元一次不等式”、“一元一次方程”和“一元二次方程”、一元一次不等式”和“一元二次不等式”、“一元二次方程”和“一元二次不等式”、“二次三项式”和“一元二次方程”还有“二次函数”等概念都可以通过类比思想去展开教学。
通过对前后概念类比教学，抓住新旧概念的相似点，为新的数学概念的形成提供必要的“认知基础”，通过与熟悉的概念类比，可使学生更好地认识、理解、掌握新的数学概念。当然要注意类比得出的结论不一定正确，应引导学生修正错误的类比设想，直到得出正确结果。
二、性质、定理、公式等方面类比思想的运用
欧拉曾说过：“类比就是大胆创造，不过，你应该首先找到双方的相似属性”。数学教育家波利亚也说：“类比就是一种相似。”把两个数学对象进行比较，找出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似的地方，这在性质、定理、公式的教学中也是最常用的方法。
例如“等式的基本性质”和“方程的基本性质”、“等式的基本性质”和“不等式的基本性质”、“分式的基本性质”和“分数的基本性质”、三角形全等的判定定理”和“三角形相似的判定定理”、“线段垂直平分线的性质和判定定理”和“角平分线的性质和判定定理”、“圆的相交弦定理”和“圆的切割线定理及推论”、“扇形的面积=圆面积×n/360”、“扇形的弧长=圆周长×n/360”等都有很多相同或相似之处，在原有的认知基础上，通过类比将这些知识紧密地联系起来，既便以记忆又能正确记忆，为这些性质、定理、公式地准确运用奠定基础。
在多年的教学实践中，我从不让学生去抄写或默写有关概念、性质、定理、公式等，学生也比较乐于用类比方法去理解、记忆有关概念、性质、定理、公式等，提高了他们学好数学的自信心，教学效果较好。
三、寻求解题思路中类比思想的运用
“在求解（求证）一个问题时，如果能成功的发现一个比较简单的类比题，那么这个类比问题可以引导我们到达原问题的解答”。这是数学家波利亚在《怎样解题》一书中的话，以下谈谈类比思想在寻求解题思路中的运用。
1.题目背景的类比
放在不同的背景中去研究同一类问题，这在初中数学中是常见的。也就是“换汤不换药”，时髦说就是“重新包装”。
例1 如图1在铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，若DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求点E应建在距离A多远处？
例2 如图2有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高20m，两杆相距50m，现两杆上各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时到达，叼住小鱼，两杆底部到鱼的距离BE、EC各是多少？
分析：这两个题目都是勾股定理的应用，如图所示的设x，在两个直角三角形中运用勾股定理，再利用两条斜边相等，列出方程，求出x，进而解决问题。例1是华师版八年级《导学练》上册87页例3，例2是八年级期中考试的一个考题。
例1解：设AE=x km，则BE=(25－x) km
在Rt△ADE中，DE2 = AD2 + AE2 = 102+x2
在Rt△BEC中，EC2 = BC2 + BE2 = 152 +(25－x)2
∵DE=EC ∴102 + x2 = 152 + (25－x)2
解之得：x=15
答：E应建在距A点15km处。
例2的过程和例1是如出一辙的。由于平时类比思想在教学中渗透，学生在考试中的得分率较高。
2.计算方法的类比
在数学教学中，还有很多计算方法可用类比，如因式分解与因数的分解相似；分式的加、减、乘、除与分数的加、减、乘、除类似；合并同类二次根式与合并同类项雷同；单项式乘以多项式，多项式乘以多项式教学中，可以类比以前所学的乘法公式m(a+b)=ma+mb。
例：(－2a2)·(3ab2－5ab3)＝－2a2·3ab2＋(－2a2)·(－5ab3)＝－6a3b2＋l0a3b3
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
m ·( a + b ) = m·a + m · b
通过这样新旧知识来进行类比，既有利于理解、掌握新知识，还能使旧知识得到巩固，同时拓宽视野。
3.数与形的类比
中学数学中，常见的一种类比就是数形结合、函数与图像，数学中形数之间关系是彼此相依的，要启发学生用“数”来巩固与研究“形”，利用“形”巩固研究“数”。讲函数时，一定要强调学生记性质、想图形，画图形、想性质；对于二次函数的零点（y=0）、正数值(y>0)、负数值(y<0)与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集这一类的问题也要强调学生形数联想，利用图解。
例3 函数y=-的图象上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若0 A.y1y2 C.y1=y2 D.y1、y2的大小不确定
分析：这类题可以先画出y=-的草图(如图3)，然后在图象上找出满足0 把知识看作一个过程，弄清它的来龙去脉，掌握思想脉络，学生的数学才会发展起来，要学生“会学”数学，就必须让学生掌握基本的数学思想和方法，会“数学地”提出问题，思考问题、解决问题，而类比就是这样一种重要的思想方法，类比的基础是观察，类比的关健是联想，在实际的教学活动中要充分地挖掘和利用好类比思想方法，不断地减少学生学习的困难，提高教学的质量和学生学习数学的兴趣。
【参考文献】
[1]G.波利亚.数学与猜想——数学中的归纳与类比[M].科学出版社,2001,7
[2]周海芳.例谈类比思想在数学教学中的应用.宿州教育学院学报[J].2001（4）
[3]苏立志.2005.浅谈概念教学的若干环节.中学数学教与学编辑部出版
（作者单位：江苏省常熟市何市中学）
【关键词】初中数学；类比思想；运用感悟
数学问题浩如烟海，面对一个个数学问题如何求解？有些学生做了大量的题目，但考试遇到新题型或只是稍微变化一下，就不知所措了，原因是在平时的学习中，缺乏掌握数学思考方法。康德曾说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进”。解决问题的根本思想在于寻求客观事物的数学关系和结构的样式，从已解决的问题中概括出思维模式，再用模式去处理类似的问题，进而形成新模式，构成相似系列，即各种概念、命题与方法的相似链。
因此，在数学中类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段。根据初中生抽象逻辑思维能力发展的特点和初中数学教材的特点，教学中恰当地应用类比方法，不仅能突出问题的本质，提高教学质量，而且有助于培养学生的创造能力等思维品质，提高认识问题和解决问题的能力。
一、概念教学中类比思想的运用
数学概念是数学知识的基础。初中数学中有许多概念具有相似的属性，对于这些概念的教学，可先引导学生研究已学过的概念属性，然后创设类比发现的问题情景，引导学生去发现，尝试给新概念下定义，这样新的概念容易在原有的认知结构中得以同化与构建。学生对数学概念的形成过程、同化过程，就决定了对数学概念掌握的程度。波利亚也说过：“当你不能解决一个问题时，不妨回到定义去”。而各种各样的问题也往往是在数学概念之上“开枝散叶”的。
在初中代数中“一元一次方程”和“一元一次不等式”、“一元一次方程”和“一元二次方程”、一元一次不等式”和“一元二次不等式”、“一元二次方程”和“一元二次不等式”、“二次三项式”和“一元二次方程”还有“二次函数”等概念都可以通过类比思想去展开教学。
通过对前后概念类比教学，抓住新旧概念的相似点，为新的数学概念的形成提供必要的“认知基础”，通过与熟悉的概念类比，可使学生更好地认识、理解、掌握新的数学概念。当然要注意类比得出的结论不一定正确，应引导学生修正错误的类比设想，直到得出正确结果。
二、性质、定理、公式等方面类比思想的运用
欧拉曾说过：“类比就是大胆创造，不过，你应该首先找到双方的相似属性”。数学教育家波利亚也说：“类比就是一种相似。”把两个数学对象进行比较，找出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似的地方，这在性质、定理、公式的教学中也是最常用的方法。
例如“等式的基本性质”和“方程的基本性质”、“等式的基本性质”和“不等式的基本性质”、“分式的基本性质”和“分数的基本性质”、三角形全等的判定定理”和“三角形相似的判定定理”、“线段垂直平分线的性质和判定定理”和“角平分线的性质和判定定理”、“圆的相交弦定理”和“圆的切割线定理及推论”、“扇形的面积=圆面积×n/360”、“扇形的弧长=圆周长×n/360”等都有很多相同或相似之处，在原有的认知基础上，通过类比将这些知识紧密地联系起来，既便以记忆又能正确记忆，为这些性质、定理、公式地准确运用奠定基础。
在多年的教学实践中，我从不让学生去抄写或默写有关概念、性质、定理、公式等，学生也比较乐于用类比方法去理解、记忆有关概念、性质、定理、公式等，提高了他们学好数学的自信心，教学效果较好。
三、寻求解题思路中类比思想的运用
“在求解（求证）一个问题时，如果能成功的发现一个比较简单的类比题，那么这个类比问题可以引导我们到达原问题的解答”。这是数学家波利亚在《怎样解题》一书中的话，以下谈谈类比思想在寻求解题思路中的运用。
1.题目背景的类比
放在不同的背景中去研究同一类问题，这在初中数学中是常见的。也就是“换汤不换药”，时髦说就是“重新包装”。
例1 如图1在铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，若DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求点E应建在距离A多远处？
例2 如图2有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高20m，两杆相距50m，现两杆上各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时到达，叼住小鱼，两杆底部到鱼的距离BE、EC各是多少？
分析：这两个题目都是勾股定理的应用，如图所示的设x，在两个直角三角形中运用勾股定理，再利用两条斜边相等，列出方程，求出x，进而解决问题。例1是华师版八年级《导学练》上册87页例3，例2是八年级期中考试的一个考题。
例1解：设AE=x km，则BE=(25－x) km
在Rt△ADE中，DE2 = AD2 + AE2 = 102+x2
在Rt△BEC中，EC2 = BC2 + BE2 = 152 +(25－x)2
∵DE=EC ∴102 + x2 = 152 + (25－x)2
解之得：x=15
答：E应建在距A点15km处。
例2的过程和例1是如出一辙的。由于平时类比思想在教学中渗透，学生在考试中的得分率较高。
2.计算方法的类比
在数学教学中，还有很多计算方法可用类比，如因式分解与因数的分解相似；分式的加、减、乘、除与分数的加、减、乘、除类似；合并同类二次根式与合并同类项雷同；单项式乘以多项式，多项式乘以多项式教学中，可以类比以前所学的乘法公式m(a+b)=ma+mb。
例：(－2a2)·(3ab2－5ab3)＝－2a2·3ab2＋(－2a2)·(－5ab3)＝－6a3b2＋l0a3b3
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m ·( a + b ) = m·a + m · b
通过这样新旧知识来进行类比，既有利于理解、掌握新知识，还能使旧知识得到巩固，同时拓宽视野。
3.数与形的类比
中学数学中，常见的一种类比就是数形结合、函数与图像，数学中形数之间关系是彼此相依的，要启发学生用“数”来巩固与研究“形”，利用“形”巩固研究“数”。讲函数时，一定要强调学生记性质、想图形，画图形、想性质；对于二次函数的零点（y=0）、正数值(y>0)、负数值(y<0)与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集这一类的问题也要强调学生形数联想，利用图解。
例3 函数y=-的图象上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若0
分析：这类题可以先画出y=-的草图(如图3)，然后在图象上找出满足0
【参考文献】
[1]G.波利亚.数学与猜想——数学中的归纳与类比[M].科学出版社,2001,7
[2]周海芳.例谈类比思想在数学教学中的应用.宿州教育学院学报[J].2001（4）
[3]苏立志.2005.浅谈概念教学的若干环节.中学数学教与学编辑部出版
（作者单位：江苏省常熟市何市中学）