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【摘要】前几年技校生源不足且质量逐年下降。技校教师普遍感到课难上。面对差生，今天技校的基础理论课该怎样教？以数学课为例，应把握好以下几点：首先解决好差学生的思想态度问题。使其明白自己为什么差，差在什么地方，其次深入钻研教材，讲求方法技巧，使用简便方法，最后紧密结合专业实际，使教学内容更具趣味性、针对性和实用性。
【关键词】技校；数学；教法
【中图分类号】G712 【文献标识码】A
【文章编号】1671-5969（2007）13-0146-03
数学是技工学校必须开设的一门文化课，是学生学习专业理论知识、掌握生产操作技能必不可少的基础知识和基本工具。然而，随着前几年技工学校普遍办学陷入困境进入严冬，其生源质量开始下降。由于学生底子太差学不懂而不爱学使得现在的老师普遍感到课难上，再像以前那样教学，已经很难正常进行下去。怎样才能改变这种状况，教好数学等基础理论课，真正提高教学质量？这是摆在每一位授课老师面前一个不容回避的新课题。笔者通过多年的实践，摸索出下面较好的办法，愿与同志们一道探讨，以求早日摆脱这种非常被动的局面。
一、做好学生的思想动员工作
（一）动员思想，使学生树立必胜信心，学会专心听讲
应做好这一大批不会听课的差学生的思想动员及纠偏培训工作，让他们树立起能学好的信心。要让学生明白，自己为什么差，主要差在哪里，能否来得及补救，怎样才能赶上。可能对每一个学生而言，造成其学习成绩差的具体原因各有不同，但就大部分而言，关键是差在上课不专心听讲上，没有抓住课堂时间，这是造成学生学习成绩差的最根本原因。
（二）使学生养成良好习惯
养成一个好习惯不容易，纠正一个坏习惯更不容易。有的学生坚持不住。由于长期轻松惯了，要他同时做到，眼看老师手，耳听老师讲，还要跟着老师的思路想，这样太累了。坚持三五分钟还可以，坚持一节课就很难，更不要说长期坚持下去了。对这样的学生，要彻底纠正其不良习惯就必须专门对其进行个别训练。
二、提高教师自身的工作能力
多作联想，寻求技巧，掌握要领，适当从简。针对技校的具体情况，对于我们的学生，不要太强调知识的系统性和严密性，而应更讲求便于学生理解接受。甚至可以经常使用“一般情况下，不严格的说”这类词语来讲解知识内容。
（一）善于联想，望文生义，从概念的字面意思推测其含义来历
在讲集合时，关于“子集”，我让学生解释“母子”关系的含义。虽然严格讲这样解释不严密，也不准确，但对我们的学生，像这样理解个大概情况则很有现实意义。一般说来，子是由母产生的，子象母的一部分或全部。从某种程度上讲子可以理解为是由母的一部分或全部复制出来的；关于“交集、并集”，我让学生解释“交”与“并”的字面意思，“交”就是“相交、重合，有公共部分”，“并”就是“兼并、合并，合起来成为一个”；记忆交集和并集的表示符号时，根据一般情况下，并集的元素较多（两个集合的并集）不会少于其中任一个集合的元素；交集的元素较少，（两个集合的交集）不会多于其中任一个集合的元素这个事实，联想到用水杯接雨水。开口朝上则接的雨水多，开口朝下，则接的雨水少。通过这样生动有趣的联想，使学生很容易记住，交集的符号是“∩”,并集的符号是“∪”,而不会记反；在学习函数的特性时，注意解释其名词的字面含意，推想其名称由来，如：奇、偶、增、减、反、周期、有界函数等，并给出其具有代表性的特例，这样做对于理解概念的基本含意很有好处；在学习函数的图象和性质时，注意强调下面这个结论，函数性质与其图象特点是有密切的内在联系的，有什么样的图象特点，就一定对应着相应的函数性质。例如：增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；周期函数的图象一段一段重复出现；有界函数的图象能够夹在平行于x轴的两条平行线之间；函数和反函数的图象关于直线y=x对称等。
（二）讲求技巧 ，充分准备，必要时可借助图形符号
在学习三角函数一章时，我花费了不少心思。首先引导学生复习一下初中学过的在直角三角形中定义的锐角的三角函数，它是以锐角A为自变量，以两个边的比值为函数值。其中将锐角A的邻边、对边、及三角形的斜边分别记为x、y、r，并要求学生必须准确记住这三个三角函数的定义式，即sinA=y/r；cosA=x/r；tanA=y/x。其次，让学生搞清任意角的概念，并有意识的先使角α的终边落在第一象限，在其终边上任意选一点P，点P 的坐标为（x、y），并设这点到坐标原点的距离为r。则原来直角三角形中三角函数的定义式就与现在的任意角的三角函数的定义式在形式上完全相同，只不过锐角A变成了任意角α，x、y、r不再指邻边、对边和斜边，而是指任意角α终边上任意一点P的横、纵坐标及该点到原点的距离。这里需要强调一下，距离永远为正值，但坐标就有正负之分，而且以x、y、r三个量的绝对值为边长总可以对应做出一个直角三角形。正是由于这个原因，任意角β的三角函数最终可用一个前面带上正负号的锐角α的同名三角函数来表示。
怎样较快地找到锐角α正负号又怎样确定呢？一个任意角β总可以变成kл±α的形式，其中k∈Z，α为锐角。只要准确掌握下面关于kл±α与α的三角函数关系式的两个结论特点即可，（kл±α的三角函数都可以化为α的同名三角函数；锐角α的三角函数前的符号与角kл±α所在象限的该三角函数值的符号相同）。这样只要会判断kл±α所在的象限，并记住三角函数值在各象限的符号，就可以求出任意角β的三角函数值。具体过程详述于下：根据k的奇偶及α前面的正负号，将kл±α分为四种情况，分别分布在四个象限，如图（一）所示，其中m∈Z。当k=2m，即k是偶数时，kл+α∈I，kл－α∈IV，当k=2m+1，即k是奇数时，kл+α∈Ш，kл－α∈П。再注意到α前面的正负号与kл±α所在象限的关系是“+”，“I、Ш”（即 2mл+α∈I，(2m+1)л+α∈Ш），“－”，“ П、IV”（即(2m+1)л-α∈П，2mл-α∈IV）。又易知，正锐角α∈I，负锐角－α∈IV。这样就能快速准确的判断出kл±α所在的象限。
最后只要再记住三角函数的符号分布图即可，如图2所示。其记忆规律如下，对于每一个三角函数，都是“+”占两个象限，“－”占另外两个象限，注意到第一象限全部三角函数为“+”这个特点，只要记住另外一个为“+”的象限即可。例如，对于正弦函数，除过第一象限为正号外，只要记住另外一个为“+”的象限是第二象限，就可立刻知道，正弦函数“+”分布在一、二象限，那么“－”就一定分布在三、四象限，其它三角函数的符号分布规律也相类似。另外，根据倒数关系可以知道，正切函数与余切函数的正负号分布象限应该完全相同。这样我们只需要记下初中已学过的比较熟悉的前三个三角函数sinα、cosα、tanα值的正负号即可。遇到后三个三角函数cscα、secα、cotα，按照倒数关系直接转化成前三个去考虑其值的正负。
为了较快的将任意角β化为kл±α的形式，一步到位求出锐角α（以弧度为例，角度类似），我们用任意角β去除以л，商数有时要有意识的大一点，即在kл±α中，k可以为奇数，也可以为偶数，α前面可以为正号，也可以为负号，但以α为正锐角的那一个变换为最好，能够一步到位。
接照上面的方法，可以较快地求出一个任意角β的三角函数。对于求 л±α这一类角的三角函数，可以先利用与角α终边相同的角的一般表示形式将其表示为2kл+α，以及终边相同的角其同名三角函数的值相等这个结论，总可以将其化为
л±α，л±α这四种角中的一种角的同名三角函数。对于这四种角的三角函数，一定要记住其函数名称要变为α的余函数。正弦和余弦、正切和余切、正割和余割互为余函数。这四种角也正好分别分布在四个象限。如图㈢所示，这四种角所在的象限也必须记准，其三角函数值的符号与前面相同。
（三）记住典型代表，归纳技巧要领，注意几个“三步走”
在学习解不等式时，我针对当时教材上出现的三种类型的不等式总结出求根法这种简便解法，对解；│x│>a、│x│0）；。这三种类型的不等式都适用。上面各不等式中的不等号既可以是＞，也可以是＜，还可以是≥或≤。不妨分别简称为分式不等式、绝对值不等式和一元二次不等式。求根法解不等式共有三个步骤。
3．写解。观察标准型不等式的不等号的类型。若为“＞”，则原不等式的解集为：{X│X＜X1或X＞X2}；若为“＜”，则原不等式的解集为：{X│X1＜X＜X2}。若为“≤”或“≥”，对绝对值不等式和一元二次不等式，直接给解集中的不等号相应地带上等号即可；对分式不等式，因为分母不能为零，则只能给解集中的分子根所表示的不等式带上等号。对于判别式≤0时，求不出两个不等根等特殊情况其实也很简单，这里从略。
在学习三角函数的增减性时，我始终让学生记住，当k＞0时，正比例函数y=kx是增函数的典型代表，反比例函数y=k/x是减函数的典型代表。为方便，下面分别用“↗”和“↘”表示函数是增函数其图象是上升的和函数是减函数其图象是下降的。在学习利用函数的增减性比较某两个数值的大小时，我同样将其过程归纳为紧密连接的三个步骤（对于有些特殊的数值，要先进行必要地变形，然后才能按三个步骤去做）：（1）考察函数的单调性（也叫增减性）。这里特别强调要弄清楚具体到某类函数时的考察标准。在各函数的定义域内，对于一次函数：y=kx+b，当k＞0时↗，k＜0时↘；对于幂函数 ，当a>0时↗，a<0时↘；对于指数函数 和对数函数 ，当a>1时↗ ,0 在学习求曲线的轨迹方程时将其主要过程也归纳为三个步骤：（1）如无坐标系，请先建立适当的直角坐标系，写出已知点的坐标，设出未知点（也叫所求点或动点）的坐标。（2）根据条件列方程。这里的条件，可以是题目上给出的已知条件，也可以是我们学过的定理、公理、定义、性质、公式、推论等。（3）代入化简方程。把第一步写出的已知点坐标，设出的未知点坐标根据解析几何中的有关公式代入第二步所列的方程中去并化简。在学习求函数的定义域时要注意掌握下面三点：（1）分式函数，分母≠0。（2）根式函数开偶次方，被开方数≥0。（3）对数函数，真数＞0。对于若干个函数的代数和所组成的函数的定义域，是各函数定义域的公共部分。即取其交集。
为了准确记住两角和与两角差的三角函数公式中的正符号，我牵强寻找因果，告诉同学们，正弦就正着哩，指公式中等号两边的正负号就一致；余弦就反着哩，因而公式中等号两端的正负号就相反；分子的值与分数的值成正比例，就正着哩；分母的值与分数的值成反比例，就反着哩。因而，在两角和差的正切公式中，分子的符号与分数值的符号相同，分母的符号与分数值的符号相反。通过这样的联想对比记忆，公式中等号两边的正负号就不易记反了。为了帮助学生记住30°、45°、60°这几个特殊角的三角函数值，就让其借助于三角尺或徒手画出含有30°或45°角的直角三角形，并将其最小边看成1，利用其性质及勾股定理很容易算出另外两个边的长分别为2和 及和1。再按照直角三角形中锐角三角函数的定义很容易推算出这些特殊角的各种三角函数的值。
（四）结合专业精讲多练
在教学要求及内容上应该有所变化。教学内容应紧密结合专业实际，教材中与专业有关的例题应细讲多讲，甚至可以专门学习一些专业书上的例题，适当拓宽知识面，以达到为专业奠基的教学目的。对于定理及公式我们应该重结果，轻过程，重实际应用，轻证明推导，甚至可以直接给出结果，承认其正确，只要会应用就行了。如公路专业，应将三角函数及解三角形的有关知识做为重点，以便为测量课服务。汽车修理及电子（上接第147页）专业，应将三角函数及复数做为重点，以便为电工学服务，电子专业还应学习有关逻辑代数和门电路的知识。各专业都应学好立体几何的简单知识，以便为识图或制图课打好基础。
今天的技工学校虽已走出办学因境的阴影，但才刚刚复苏，目前一个时期内，生源质量不会有多大的提高。面对差生占大多数的这个现状，如何搞好数学等理论教学，更好的为培养技能型人才服务，的确是摆在我们每一个技校数学课老师面前的一个急需解决的课题，愿与大家共同继续探讨。不妥之处，欢迎批评指正。
作者简介：王雪玲（1963—），女，陕西交通技术学院讲师。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
【关键词】技校；数学；教法
【中图分类号】G712 【文献标识码】A
【文章编号】1671-5969（2007）13-0146-03
数学是技工学校必须开设的一门文化课，是学生学习专业理论知识、掌握生产操作技能必不可少的基础知识和基本工具。然而，随着前几年技工学校普遍办学陷入困境进入严冬，其生源质量开始下降。由于学生底子太差学不懂而不爱学使得现在的老师普遍感到课难上，再像以前那样教学，已经很难正常进行下去。怎样才能改变这种状况，教好数学等基础理论课，真正提高教学质量？这是摆在每一位授课老师面前一个不容回避的新课题。笔者通过多年的实践，摸索出下面较好的办法，愿与同志们一道探讨，以求早日摆脱这种非常被动的局面。
一、做好学生的思想动员工作
（一）动员思想，使学生树立必胜信心，学会专心听讲
应做好这一大批不会听课的差学生的思想动员及纠偏培训工作，让他们树立起能学好的信心。要让学生明白，自己为什么差，主要差在哪里，能否来得及补救，怎样才能赶上。可能对每一个学生而言，造成其学习成绩差的具体原因各有不同，但就大部分而言，关键是差在上课不专心听讲上，没有抓住课堂时间，这是造成学生学习成绩差的最根本原因。
（二）使学生养成良好习惯
养成一个好习惯不容易，纠正一个坏习惯更不容易。有的学生坚持不住。由于长期轻松惯了，要他同时做到，眼看老师手，耳听老师讲，还要跟着老师的思路想，这样太累了。坚持三五分钟还可以，坚持一节课就很难，更不要说长期坚持下去了。对这样的学生，要彻底纠正其不良习惯就必须专门对其进行个别训练。
二、提高教师自身的工作能力
多作联想，寻求技巧，掌握要领，适当从简。针对技校的具体情况，对于我们的学生，不要太强调知识的系统性和严密性，而应更讲求便于学生理解接受。甚至可以经常使用“一般情况下，不严格的说”这类词语来讲解知识内容。
（一）善于联想，望文生义，从概念的字面意思推测其含义来历
在讲集合时，关于“子集”，我让学生解释“母子”关系的含义。虽然严格讲这样解释不严密，也不准确，但对我们的学生，像这样理解个大概情况则很有现实意义。一般说来，子是由母产生的，子象母的一部分或全部。从某种程度上讲子可以理解为是由母的一部分或全部复制出来的；关于“交集、并集”，我让学生解释“交”与“并”的字面意思，“交”就是“相交、重合，有公共部分”，“并”就是“兼并、合并，合起来成为一个”；记忆交集和并集的表示符号时，根据一般情况下，并集的元素较多（两个集合的并集）不会少于其中任一个集合的元素；交集的元素较少，（两个集合的交集）不会多于其中任一个集合的元素这个事实，联想到用水杯接雨水。开口朝上则接的雨水多，开口朝下，则接的雨水少。通过这样生动有趣的联想，使学生很容易记住，交集的符号是“∩”,并集的符号是“∪”,而不会记反；在学习函数的特性时，注意解释其名词的字面含意，推想其名称由来，如：奇、偶、增、减、反、周期、有界函数等，并给出其具有代表性的特例，这样做对于理解概念的基本含意很有好处；在学习函数的图象和性质时，注意强调下面这个结论，函数性质与其图象特点是有密切的内在联系的，有什么样的图象特点，就一定对应着相应的函数性质。例如：增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；周期函数的图象一段一段重复出现；有界函数的图象能够夹在平行于x轴的两条平行线之间；函数和反函数的图象关于直线y=x对称等。
（二）讲求技巧 ，充分准备，必要时可借助图形符号
在学习三角函数一章时，我花费了不少心思。首先引导学生复习一下初中学过的在直角三角形中定义的锐角的三角函数，它是以锐角A为自变量，以两个边的比值为函数值。其中将锐角A的邻边、对边、及三角形的斜边分别记为x、y、r，并要求学生必须准确记住这三个三角函数的定义式，即sinA=y/r；cosA=x/r；tanA=y/x。其次，让学生搞清任意角的概念，并有意识的先使角α的终边落在第一象限，在其终边上任意选一点P，点P 的坐标为（x、y），并设这点到坐标原点的距离为r。则原来直角三角形中三角函数的定义式就与现在的任意角的三角函数的定义式在形式上完全相同，只不过锐角A变成了任意角α，x、y、r不再指邻边、对边和斜边，而是指任意角α终边上任意一点P的横、纵坐标及该点到原点的距离。这里需要强调一下，距离永远为正值，但坐标就有正负之分，而且以x、y、r三个量的绝对值为边长总可以对应做出一个直角三角形。正是由于这个原因，任意角β的三角函数最终可用一个前面带上正负号的锐角α的同名三角函数来表示。
怎样较快地找到锐角α正负号又怎样确定呢？一个任意角β总可以变成kл±α的形式，其中k∈Z，α为锐角。只要准确掌握下面关于kл±α与α的三角函数关系式的两个结论特点即可，（kл±α的三角函数都可以化为α的同名三角函数；锐角α的三角函数前的符号与角kл±α所在象限的该三角函数值的符号相同）。这样只要会判断kл±α所在的象限，并记住三角函数值在各象限的符号，就可以求出任意角β的三角函数值。具体过程详述于下：根据k的奇偶及α前面的正负号，将kл±α分为四种情况，分别分布在四个象限，如图（一）所示，其中m∈Z。当k=2m，即k是偶数时，kл+α∈I，kл－α∈IV，当k=2m+1，即k是奇数时，kл+α∈Ш，kл－α∈П。再注意到α前面的正负号与kл±α所在象限的关系是“+”，“I、Ш”（即 2mл+α∈I，(2m+1)л+α∈Ш），“－”，“ П、IV”（即(2m+1)л-α∈П，2mл-α∈IV）。又易知，正锐角α∈I，负锐角－α∈IV。这样就能快速准确的判断出kл±α所在的象限。
最后只要再记住三角函数的符号分布图即可，如图2所示。其记忆规律如下，对于每一个三角函数，都是“+”占两个象限，“－”占另外两个象限，注意到第一象限全部三角函数为“+”这个特点，只要记住另外一个为“+”的象限即可。例如，对于正弦函数，除过第一象限为正号外，只要记住另外一个为“+”的象限是第二象限，就可立刻知道，正弦函数“+”分布在一、二象限，那么“－”就一定分布在三、四象限，其它三角函数的符号分布规律也相类似。另外，根据倒数关系可以知道，正切函数与余切函数的正负号分布象限应该完全相同。这样我们只需要记下初中已学过的比较熟悉的前三个三角函数sinα、cosα、tanα值的正负号即可。遇到后三个三角函数cscα、secα、cotα，按照倒数关系直接转化成前三个去考虑其值的正负。
为了较快的将任意角β化为kл±α的形式，一步到位求出锐角α（以弧度为例，角度类似），我们用任意角β去除以л，商数有时要有意识的大一点，即在kл±α中，k可以为奇数，也可以为偶数，α前面可以为正号，也可以为负号，但以α为正锐角的那一个变换为最好，能够一步到位。
接照上面的方法，可以较快地求出一个任意角β的三角函数。对于求 л±α这一类角的三角函数，可以先利用与角α终边相同的角的一般表示形式将其表示为2kл+α，以及终边相同的角其同名三角函数的值相等这个结论，总可以将其化为
л±α，л±α这四种角中的一种角的同名三角函数。对于这四种角的三角函数，一定要记住其函数名称要变为α的余函数。正弦和余弦、正切和余切、正割和余割互为余函数。这四种角也正好分别分布在四个象限。如图㈢所示，这四种角所在的象限也必须记准，其三角函数值的符号与前面相同。
（三）记住典型代表，归纳技巧要领，注意几个“三步走”
在学习解不等式时，我针对当时教材上出现的三种类型的不等式总结出求根法这种简便解法，对解；│x│>a、│x│
3．写解。观察标准型不等式的不等号的类型。若为“＞”，则原不等式的解集为：{X│X＜X1或X＞X2}；若为“＜”，则原不等式的解集为：{X│X1＜X＜X2}。若为“≤”或“≥”，对绝对值不等式和一元二次不等式，直接给解集中的不等号相应地带上等号即可；对分式不等式，因为分母不能为零，则只能给解集中的分子根所表示的不等式带上等号。对于判别式≤0时，求不出两个不等根等特殊情况其实也很简单，这里从略。
在学习三角函数的增减性时，我始终让学生记住，当k＞0时，正比例函数y=kx是增函数的典型代表，反比例函数y=k/x是减函数的典型代表。为方便，下面分别用“↗”和“↘”表示函数是增函数其图象是上升的和函数是减函数其图象是下降的。在学习利用函数的增减性比较某两个数值的大小时，我同样将其过程归纳为紧密连接的三个步骤（对于有些特殊的数值，要先进行必要地变形，然后才能按三个步骤去做）：（1）考察函数的单调性（也叫增减性）。这里特别强调要弄清楚具体到某类函数时的考察标准。在各函数的定义域内，对于一次函数：y=kx+b，当k＞0时↗，k＜0时↘；对于幂函数 ，当a>0时↗，a<0时↘；对于指数函数 和对数函数 ，当a>1时↗ ,0
为了准确记住两角和与两角差的三角函数公式中的正符号，我牵强寻找因果，告诉同学们，正弦就正着哩，指公式中等号两边的正负号就一致；余弦就反着哩，因而公式中等号两端的正负号就相反；分子的值与分数的值成正比例，就正着哩；分母的值与分数的值成反比例，就反着哩。因而，在两角和差的正切公式中，分子的符号与分数值的符号相同，分母的符号与分数值的符号相反。通过这样的联想对比记忆，公式中等号两边的正负号就不易记反了。为了帮助学生记住30°、45°、60°这几个特殊角的三角函数值，就让其借助于三角尺或徒手画出含有30°或45°角的直角三角形，并将其最小边看成1，利用其性质及勾股定理很容易算出另外两个边的长分别为2和 及和1。再按照直角三角形中锐角三角函数的定义很容易推算出这些特殊角的各种三角函数的值。
（四）结合专业精讲多练
在教学要求及内容上应该有所变化。教学内容应紧密结合专业实际，教材中与专业有关的例题应细讲多讲，甚至可以专门学习一些专业书上的例题，适当拓宽知识面，以达到为专业奠基的教学目的。对于定理及公式我们应该重结果，轻过程，重实际应用，轻证明推导，甚至可以直接给出结果，承认其正确，只要会应用就行了。如公路专业，应将三角函数及解三角形的有关知识做为重点，以便为测量课服务。汽车修理及电子（上接第147页）专业，应将三角函数及复数做为重点，以便为电工学服务，电子专业还应学习有关逻辑代数和门电路的知识。各专业都应学好立体几何的简单知识，以便为识图或制图课打好基础。
今天的技工学校虽已走出办学因境的阴影，但才刚刚复苏，目前一个时期内，生源质量不会有多大的提高。面对差生占大多数的这个现状，如何搞好数学等理论教学，更好的为培养技能型人才服务，的确是摆在我们每一个技校数学课老师面前的一个急需解决的课题，愿与大家共同继续探讨。不妥之处，欢迎批评指正。
作者简介：王雪玲（1963—），女，陕西交通技术学院讲师。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”