注重数学思想,研究正弦型曲线y=Asin(wx+Φ)

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  【摘 要】 三角函数中含有丰富的数学思想方法,认真挖掘与提炼其数学思想,对培养学习能力,优化思维品质有着重要意义。
  【关键词】 数学 思想 正弦型
  三角函数是中职数学的重要内容之一,在其他学科应用普遍,特别是正弦型曲线不论是在电工专业基础课的电工学中,还是在机械运动中都有广泛的应用,并且是其他学科的基本工具,物理学和运动学都离不开它,正弦型曲线部分也就成了高考命题的重要内容之一,那么如何学好正弦型曲线呢?我就这个问题进行研究,积累了一些做法。一是要熟悉三角函数的性质(单调性,奇偶性,周期性)和公式,切实夯实基础;二是灵活运用三角函数的图象和性质;三是注意挖掘正弦型曲线中丰富的数学思想方法,这对掌握知识,培养能力,优化思维品质有着重要意义。
  1 数型结合思想
  类型一:由y=Asin(wx+Ф)的图象求函数式。这类由图象求函数式的问题中,如果对所求的函数式中的A,w,Ф不加限制(Aw正负,Ф的范围等),那么所求函数式应有无数多个不同的形式,这是因为所求的函数是周期函数,那解这样的问题就要数形结合,通过“五点法”的逆用,寻找“五点”中的第一零点(-Ф/w,0)或已知点作为突破口。
  例1:下列函数中,图象的一部分如图是( )。
  (A)y=sin(x+π/6)
  (B)y=sin(2x-π/6)
  (C)y=cos(4x-π/3)
  (D)y=cos(2x-π/6)
  解:从图象看出,T/4=π/12+π/6=π/4,所以函数的最小周期为π,函数应为y=sin2x向左平移了π/6个单位,即y=sin2(x+π/6)=sin(2x+π/3)=cos(-π/2+2x+π/3)=cos(2x-π/6),所以选D。
  例2:y=2sin(wx+Ф),|Ф|<π的图象过点A(7π/9,0),且图象关于点B(5π/18,0),且A、B是图象在x轴上相邻的两点,则Ф的一个值为:A.2π/9 B.4π/9 C.-2π/9 D.-4π/9
  分析:如图T/2=7π/9-5π/18=9π/18=π/2,w=2π/T=2π/π=2,分类:若B为起点,即wx+Ф=0,代入B(5π/18,0)得2×5π/18+Ф=0,Ф=-5π/9,若B为第三点,即wx+Ф=π代入B(5π/18,0)得2×5π/18+Ф=π,Ф=4π/9。
  2 类比对比思想
  类型二:求三角函数的最值。
  例3:已知:y=2sin(x+π/4)的图象x∈R,①当函数y取得最大值时,求自变量x的集合。②该函数的图象由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸展变换得到?
  解:①对比函数y=sinx的性质,当y=1时,x=π/2+2kπ,k∈z,所以由y=sin(x+π/4)取得最大值必须且只需x+π/4=π/2+2kπ,k∈z即x=π/4+2kπ,k∈z,所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为{x|x=π/4+2kπ,k∈z}。
  ②变换的步骤是:把函数y=sinx的图象向左平移π/4个单位,得到y=sin(x+π/4)的图象,再把y=sin(x+π/4)的图象各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到y=2sin(x+π/4)的图象。
  3 转化思想
  类型三:图象的转化。由y=sinx的图象变换出y=sin(wx+Ф) (w>0)的圖象可以有两条途径:①先将y=sinx向左(Ф>0)或向右(Ф<0)平移|Ф|个单位,再将图象的横坐标变为原来的1/w倍(w>0),便得y=Asin(wx+Ф);②也可以先将y=sinx的横坐标变为原来的1/w倍(w>0),再将图象向左(Ф>0)或向右(Ф<0)平移|Ф|/w个单位,便得出y=sin(wx+Ф)的图象。
  例4:将函数y=sinx图象向左平移π/3个单位,先将图象的横坐标变为原来的2倍,那么与最后图象对应的函数解析式为( )。
  (A)y=sin(x/2-π/3) (B)y=sin(x/2+π/6)
  (C)y=sin(x/2+π/3) (D)y=sin(2x+π/3)
  解:这是第一途径,应选C。
  4 正难则反思想
  类型四:逆向思维图象的转化。
  例5:把函数y=3sin(Ax+Ф)(w>0且|Ф|<π)的图象向左平移π/6个单位,再将图象所有的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的解析式为y=3sinx,则( )。
  (A)w=2Ф=π/6 (B)w=2Ф=-π/3
  (C)w=1/2Ф=π/6 (D)w=1/2Ф=π/2
  分析:直接思考,不易求解,这时就逆向思考,运用相位变化与周期变化的基本规律,把y=3sinx的图象所有点的横(下转第6页)
  (上接第11页)
  坐标缩短到原来的1/2(纵坐标不变),再将图象向右平移π/6个单位,所得图象的解析式为y=3sin2(x-π/6)=3sin(2x-π/3),再与y=3sin(wx+Ф)(w>0且|Ф|<π),易知选B。
  5 对称思想
  类型五:有关对称轴条件的使用。正弦型曲线对称轴为y取最大值1和最小值-1对应的x=π/2+kπ,k∈z。
  例6:函数y=sin(2x+Ф)图象的一条对称轴方程是x=π/8,其Ф∈(0,π),则Ф=( )。
  解:代入对称轴坐标:2×π/8+Ф=π/2+kπ,Ф=π/4+kπ Ф∈(0,π),Ф=π/4。
  根据以上的例证分析,我们在学习正弦型曲线y=Asin(wx+Ф)这部分内容中能使学生领悟到了数形结合思想,类比对比思想,转化思想,正难则反思想,对称思想,再结合三角函数的性质(单调性,奇偶性,周期性)和公式及图象,使学生对正弦型曲线能达到灵活应用。
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