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【摘 要】2017年版普通高中数学课程标准中明确指出，数学运算作为数学核心素养之一在教学中具有重要地位，要求学生理解运算对象，掌握运算法则，探究運算思路并求得运算结果，能有效借助运算方法解决实际问题。笔者认为，教师应从高一开始注重课本的使用，研究教材、教法、作业的布置，根植教材、回归本质，使学生的学习实现螺旋上升，抓住关键节点对学生进行针对性的训练，以提高学生数学运算能力。
【关键词】教材;数学运算;学科核心素养;高考
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）22-0098-02
数学运算体现的“量化”数学观，是学生学习数学需要具备的重要的基本素养之一，也是逻辑推理、数学建模和数据分析的基础。近年的高考题十分重视对学生数学运算能力的考查，一些教师在教学中为提高学生数学运算能力而借助教辅资料开展“题海”战术，虽能在一定程度上提高学生的运算水平，但也存在消磨学生学习兴趣、禁锢学生思维等明显负面作用。教师须明晰教材是核心素养与高中数学内容的有机结合体，是发展学生素养的核心载体，具有普遍适用性与科学性。
1 高考对数学运算核心素养的考查
新课标理念刚刚落地便在高考中体现得淋漓尽致。2019年全国Ⅱ卷不仅在组卷形式上、内容上相较以往变化较大，试题在计算量与计算难度上也有所提高，特别关注学生应用与创新能力，突出体现了新课改的精神[1]。
如该卷第4题：2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，我国发射了嫦娥四号月球探测器的中继卫星“鹊桥”，“鹊桥”围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行，L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
，
设α=，由于α的值很小，因此在近似计算中
，则r的近似值为（ ）。
A. B.
C. D.
该题虽以物理学知识为背景，实则考查学生逻辑推理与数学运算能力，也考查学生代数变形化简的能力。不少学生即使抽丝剥茧般得到了要化简的代数式“”，但也可能不知从何下手化简得到“r”的表达式。
试卷中解析几何部分，解答题中椭圆大题的难度增加，繁琐的计算仍是考生得分的障碍。根据考生反馈的情况来看，此类题虽入手容易，但运算复杂、公式繁琐，难以得到求最值的表达式。它的难点不仅在于需要几何条件的代数化，还在于需要巧妙地简化解析几何的运算。纵观全卷，面对新课改，学生要改变学习方式，除了要深刻理解数学的本质，还要学会灵活运用数学知识分析、解决问题，数学运算能力应随着高中三年学习内容和广度的不断延伸而不断提升。
2 立足教材提高学生的运算能力的要点
笔者在教学实践中认识到，培养学生的数学运算能力是一个长期的过程，是一个螺旋式上升的过程，其重点不是能否“算出来”“算的准”的问题[2]。笔者认为，在高中前两年的基础内容教学中，立足教材，贴近课本，是提高学生数学运算能力的有效途径之一，主要体现在以下几个方面。
2.1 重视课本例题及习题的讲解
学生作业形式不能单纯依靠教辅资料，对于关键知识，教师要留有书面作业，让学生将题目抄在作业本上并完成习题，“磨刀不误砍柴工”。教师除让学生做题以外，还可改编课本习题，引导学生发散思维，如北师大版高中数学必修一第一章“复习题一B组”第三题：
设A={x|?4<x<2}，B={x|?m?1<x<m?1，m>0}，分别求满足下列条件的m的取值集合：①AB;②A∩B=。教师可将题中B集合的条件“m>0”去掉，则题目的思维度会有很大的变化，以此促进学生思考。
又如必修一“习题3-2”中的题目：已知x+x?1=3
（x>0），求下列各式的值：①+;②?;③+;④?”，从学生作业完成情况来看，第②题错误率较高，此题运算不难，但学生忽略了细节，没有仔细思考就算出了答案，更缺乏在得到答案之后的反思。教师应认识到这些题目的价值，对学生进行针对性的训练，提高学生的运算能力。
2.2 引导学生推导公式
“授人以鱼不如授人以渔”，教师不能将教材内容都直接呈现给学生，要适时引导学生理解数学内容，了解数学的演绎逻辑体系，如用定义对对数换底公式的推导，用向量方法证明“三垂线定理”等都可以让学生去推导公式。如北师大版必修二中关于“点到直线距离公式”，公式的详细推导是在平面向量部分采用向量的方法给出的，必修二中只有“点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离的一般步骤的算法框图（如图1）”，学生能理解这样的算理，但操作起来却并不简单，教师可布置作业：根据算法框图写出点到直线距离公式的证明。让学生在规定时间内自己尝试推导公式。笔者不止一次试过，高三学生也难在限定时间内写出“逻辑严谨、表达规范、结构完整”的证明过程。此外，在高三复习中教师还可以尝试引导学生从多角度采用不同的方法证明点到直线距离的公
式[3]。再如必修二第一章习题1-6中有如下习题：如图2，P为?ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC于H，求证：①H是?ABC的垂心;②?ABC为锐角三角形。
对于初学者来说，在不使用空间直角坐标系及空间向量的前提下，此题难度较大。 圆锥曲线部分知识较多，有价值的结论和定理也较多，如椭圆的焦半径公式、焦点三角形面积公式、抛物线常用的结论等。但教师不应“满堂灌”，而应引导学生去探究这些内容，充分发挥学生的主观能动性。重要的不是结论本身，而是推导、证明结论的过程。推导结论、定理能使学生更好地进行数学运算，是学生探索圆锥曲线计算策略的重要途径。
2.3 追根溯源
2016年全国卷Ⅱ第17题以数列相关知识为载体，综合考查学生对取整函数的理解和对数形结合、特殊与一般等数学思想的掌握。教师在教学取整函数时如何处理课本习题在很大程度上决定了学生对取整函数的掌握程度。如2019年全国卷Ⅱ的解析几何压轴题，在人教版课本上也能追根溯源找到其模型：
课本习题1：（人教B版，选修2-1，2.2.1节练习B）已知点B（6，0）和C（?6，0），过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k1，直线m的斜率为k2，如果k1·k2=?，求点A的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线。
课本习题2：（人教B版，选修2-1，习题2-3B）已知点B（6，0）和C（?6，0），过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k1，直线m的斜率为k2：①如果k1·k2=，求点A的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线。②如果k1·k2=a，其中a≠0，求点A的轨迹方程，并根据a的取值讨论此轨迹是何种曲线。从以上例题和习题来看，课本内容的重要性不言而喻，用好课本是学生能力提升的必要方法和途径，即使高考题也能从课本中找到“源”与“流”[4]。
学生的数学运算素养不是单从数学课堂上就可以培养起来的，是一个复杂而系统的工程，从课堂系统层级化的有效提问方式、授课方式到作业布置的形式与内容，教师都要细细琢磨，从高一开始就要有“大一輪”教学的思想，从一开始就立足课本，紧贴教材，研读大纲，科学、系统、全面地训练学生数学运算能力。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部定制.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018（1）.
[2]赵思林，柴文斌，胡富雅.核心素养立意是高考数学命题的基本原则[J].教学月刊：中学版（教学参考），2019（003）.
[3]沈瑜敏.高中数学核心素养之数学运算能力培养[J].数学学习与研究，2019（8）.
[4]高超敏.基于数学核心素养的高三学生数据处理现状调查研究[D].南京：南京师范大学，2017.
【作者简介】
王雪峰（1985～），男，汉族，江苏徐州人，硕士，中教一级。研究方向：数学教育与数学史（HPM）。
【关键词】教材;数学运算;学科核心素养;高考
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）22-0098-02
数学运算体现的“量化”数学观，是学生学习数学需要具备的重要的基本素养之一，也是逻辑推理、数学建模和数据分析的基础。近年的高考题十分重视对学生数学运算能力的考查，一些教师在教学中为提高学生数学运算能力而借助教辅资料开展“题海”战术，虽能在一定程度上提高学生的运算水平，但也存在消磨学生学习兴趣、禁锢学生思维等明显负面作用。教师须明晰教材是核心素养与高中数学内容的有机结合体，是发展学生素养的核心载体，具有普遍适用性与科学性。
1 高考对数学运算核心素养的考查
新课标理念刚刚落地便在高考中体现得淋漓尽致。2019年全国Ⅱ卷不仅在组卷形式上、内容上相较以往变化较大，试题在计算量与计算难度上也有所提高，特别关注学生应用与创新能力，突出体现了新课改的精神[1]。
如该卷第4题：2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，我国发射了嫦娥四号月球探测器的中继卫星“鹊桥”，“鹊桥”围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行，L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
，
设α=，由于α的值很小，因此在近似计算中
，则r的近似值为（ ）。
A. B.
C. D.
该题虽以物理学知识为背景，实则考查学生逻辑推理与数学运算能力，也考查学生代数变形化简的能力。不少学生即使抽丝剥茧般得到了要化简的代数式“”，但也可能不知从何下手化简得到“r”的表达式。
试卷中解析几何部分，解答题中椭圆大题的难度增加，繁琐的计算仍是考生得分的障碍。根据考生反馈的情况来看，此类题虽入手容易，但运算复杂、公式繁琐，难以得到求最值的表达式。它的难点不仅在于需要几何条件的代数化，还在于需要巧妙地简化解析几何的运算。纵观全卷，面对新课改，学生要改变学习方式，除了要深刻理解数学的本质，还要学会灵活运用数学知识分析、解决问题，数学运算能力应随着高中三年学习内容和广度的不断延伸而不断提升。
2 立足教材提高学生的运算能力的要点
笔者在教学实践中认识到，培养学生的数学运算能力是一个长期的过程，是一个螺旋式上升的过程，其重点不是能否“算出来”“算的准”的问题[2]。笔者认为，在高中前两年的基础内容教学中，立足教材，贴近课本，是提高学生数学运算能力的有效途径之一，主要体现在以下几个方面。
2.1 重视课本例题及习题的讲解
学生作业形式不能单纯依靠教辅资料，对于关键知识，教师要留有书面作业，让学生将题目抄在作业本上并完成习题，“磨刀不误砍柴工”。教师除让学生做题以外，还可改编课本习题，引导学生发散思维，如北师大版高中数学必修一第一章“复习题一B组”第三题：
设A={x|?4<x<2}，B={x|?m?1<x<m?1，m>0}，分别求满足下列条件的m的取值集合：①AB;②A∩B=。教师可将题中B集合的条件“m>0”去掉，则题目的思维度会有很大的变化，以此促进学生思考。
又如必修一“习题3-2”中的题目：已知x+x?1=3
（x>0），求下列各式的值：①+;②?;③+;④?”，从学生作业完成情况来看，第②题错误率较高，此题运算不难，但学生忽略了细节，没有仔细思考就算出了答案，更缺乏在得到答案之后的反思。教师应认识到这些题目的价值，对学生进行针对性的训练，提高学生的运算能力。
2.2 引导学生推导公式
“授人以鱼不如授人以渔”，教师不能将教材内容都直接呈现给学生，要适时引导学生理解数学内容，了解数学的演绎逻辑体系，如用定义对对数换底公式的推导，用向量方法证明“三垂线定理”等都可以让学生去推导公式。如北师大版必修二中关于“点到直线距离公式”，公式的详细推导是在平面向量部分采用向量的方法给出的，必修二中只有“点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离的一般步骤的算法框图（如图1）”，学生能理解这样的算理，但操作起来却并不简单，教师可布置作业：根据算法框图写出点到直线距离公式的证明。让学生在规定时间内自己尝试推导公式。笔者不止一次试过，高三学生也难在限定时间内写出“逻辑严谨、表达规范、结构完整”的证明过程。此外，在高三复习中教师还可以尝试引导学生从多角度采用不同的方法证明点到直线距离的公
式[3]。再如必修二第一章习题1-6中有如下习题：如图2，P为?ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC于H，求证：①H是?ABC的垂心;②?ABC为锐角三角形。
对于初学者来说，在不使用空间直角坐标系及空间向量的前提下，此题难度较大。 圆锥曲线部分知识较多，有价值的结论和定理也较多，如椭圆的焦半径公式、焦点三角形面积公式、抛物线常用的结论等。但教师不应“满堂灌”，而应引导学生去探究这些内容，充分发挥学生的主观能动性。重要的不是结论本身，而是推导、证明结论的过程。推导结论、定理能使学生更好地进行数学运算，是学生探索圆锥曲线计算策略的重要途径。
2.3 追根溯源
2016年全国卷Ⅱ第17题以数列相关知识为载体，综合考查学生对取整函数的理解和对数形结合、特殊与一般等数学思想的掌握。教师在教学取整函数时如何处理课本习题在很大程度上决定了学生对取整函数的掌握程度。如2019年全国卷Ⅱ的解析几何压轴题，在人教版课本上也能追根溯源找到其模型：
课本习题1：（人教B版，选修2-1，2.2.1节练习B）已知点B（6，0）和C（?6，0），过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k1，直线m的斜率为k2，如果k1·k2=?，求点A的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线。
课本习题2：（人教B版，选修2-1，习题2-3B）已知点B（6，0）和C（?6，0），过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k1，直线m的斜率为k2：①如果k1·k2=，求点A的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线。②如果k1·k2=a，其中a≠0，求点A的轨迹方程，并根据a的取值讨论此轨迹是何种曲线。从以上例题和习题来看，课本内容的重要性不言而喻，用好课本是学生能力提升的必要方法和途径，即使高考题也能从课本中找到“源”与“流”[4]。
学生的数学运算素养不是单从数学课堂上就可以培养起来的，是一个复杂而系统的工程，从课堂系统层级化的有效提问方式、授课方式到作业布置的形式与内容，教师都要细细琢磨，从高一开始就要有“大一輪”教学的思想，从一开始就立足课本，紧贴教材，研读大纲，科学、系统、全面地训练学生数学运算能力。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部定制.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018（1）.
[2]赵思林，柴文斌，胡富雅.核心素养立意是高考数学命题的基本原则[J].教学月刊：中学版（教学参考），2019（003）.
[3]沈瑜敏.高中数学核心素养之数学运算能力培养[J].数学学习与研究，2019（8）.
[4]高超敏.基于数学核心素养的高三学生数据处理现状调查研究[D].南京：南京师范大学，2017.
【作者简介】
王雪峰（1985～），男，汉族，江苏徐州人，硕士，中教一级。研究方向：数学教育与数学史（HPM）。