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在数学考试中,经常有很多考生由于答卷方法选择不合适、答题过程书写不规范,出现会而不对,对而不全的现象.他们的实际得分与自我估分有较大的差距.看到标准答案后,常常遗憾万分.有这样缺点的同学如果能有意识地进行规范答题训练,逐步掌握一些解答试卷的方法和技巧,数学成绩再上一个台阶也不是难事.下面结合本人多年阅卷的经验和对高考试卷的调查与研究,针对数学试卷结构特点,把数学试卷的答题方法和规范解答步骤、要求归纳如下,帮助同学们进行规范训练,并在高考中取得好的成绩.
数学选择题一直采用四选一的单选形式,根据选择支的性质可大致分为:“定数量”,“定性质”,“定形状”,“定位置”四种类型.不同类型的选择题常通过不同的思路思考,采用不同的方法解答,主要解题思路和方法有:
1.直接求解法:有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的,这类题型可直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、运算法则,通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论,从而确定选择支.
2.筛选法:数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的错误答案,找到符合题意的正确结论.可通过筛除一些较易判定的、不合题意的结论,以缩小选择的范围,再从其余的结论中求得正确的答案.如筛去不合题意的以后,结论只有一个,则为应选项.
3.举特例或特殊值法:有些选择题用常规方法直接求解比较困难,若根据答案中所提供的信息,选择某些特殊情况进行分析,或选择某些特殊值进行计算,或将字母参数换成具体数值代入,把“一般”变为“特殊”形式,再进行判断往往十分简单.
4.验证法:通过对试题的观察、分析、确定,将各选择支逐个代入题干中,进行验证,或适当选取特殊值进行检验,或采取其他验证手段,以判断选择支正误.
5.数形结合法:在解答选择题的过程中,可先根椐题意,作出草图,然后参照图形的形状、位置关系、性质,综合图象的特征得出结论.这种方法适合与函数、几何相关的题.
6.试探法:对于综合性较强、选择对象比较多的试题,要想条理清楚,可以根据题意建立一个几何模型、代数构造,然后通过试探法来选择,并注意灵活地运用上述多种方法.
具体解答选择题时,上面所列举的各种方法未必单独使用,常常联合运用这些方法,甚至加上直觉思维的作用,尽量简化步骤、合理跳步,以提高解题速度.特别提醒考生注意,“直接求解法”是解选择题的常用的方法,但不是首选的方法,要防止不看选择支而当作填空题直接解的做法.对于实在不会的或解答所用时间过多的,要合理猜选,不要空答. 选择题做完后马上在答题卡上填好,不要考试快结束时才填答题卡. 要用高质量的2B铅笔,按正确要求工整、规范涂卡,要防止出现“错位”情况,避免因涂卡问题而无谓失分.
数学填空题是一种只要求写出结果,不要求写出解答过程的客观性试题,是高考数学中的三种常考题型之一.填空题的类型一般可分为:完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题.创新型的填空题也时常出现.备考时,既要关注这一新动向,又要做好应试的技能准备.解题时,要有合理的分析和判断,要求推理、运算的每一步骤都正确无误,还要求将答案表达得准确、完整(不要忽略单位和最简形式).求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫.其基本要求是“正确、合理、迅速”.若能记住一些可以利用的“结论” ,“经验公式” 或“数量关系”,比如:正三角形的边长为a,则其高为32a、外接圆半径为33a、内切圆半径为36a以及三角形的面积为34a2,还有常见的勾股数,特殊角的三角函数值等,可以省略中间过程,节省时间.
(一)掌握常用的填空题的做法
1.直接法
这是解填空题的基本方法,它是直接从题设条件出发,利用定义、定理、性质、公式等知识,通过变形、推理、运算等过程,直接得到结果.
例1 (2009山东 文)在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=.
解析:设等差数列{an}的公差为d,则由已知得
a1+2d=7,
a1+4d=a1+d+6.
解得
a1=3,
d=2.
所以a6=a1+5d=13.
答案:13.
2.特殊化法
当填空题的结论惟一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中变化的不定量用特殊值代替,即可以得到正确结果.
例2在ΔABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,则cosA+cosC1+cosAcosC=.
解析:令a=3,b=4,c=5,则ΔABC为直角三角形,
cosA=35,cosC=0,从而所求值为35.
答案:35.
3.数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往往可以简捷地解决问题,得出正确的结果.
例3若方程lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0,3)内有惟一解,则实数m的取值范围是 .
解析:原方程变形为
3-x>0,
-x2+3x-m=3-x.
即:3-x>0,
(x-2)2=1-m.
设函数f(x)=(x-2)2,x∈(0,3)和函数g(x)=1-m.作出两个
函数的图象(如图所示),由图可知:
当1-m=0,即m=1时,有惟一解;
当1≤1-m<4,即-3 ∴m=1或-3 答案:m=1或-3 4.等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”,将问题等价地转化成便于解决的问题,从而得出正确的结果.
例4不论k为何实数,直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值范围是.
解析:把曲线方程x2+y2-2ax+a2-2a-4=0配方,得(x-a)2+y2=2a+4.
由题设条件可知,原问题等价于点(0,1)在圆(x-a)2+y2=2a+4(a>-2)内或在圆上.
把点(0,1)代入得(0-a)2+12≤2a+4,
解得-1≤a≤3.
当2a+4=0,即a=-2,点(-2,0)不在直线y=kx+1上.
答案:a∈[-1,3].
(二)掌握检验方法
1.回顾检验:做完一个题以后,要进行反思和回顾,检查一个已知条件是否用足,隐含的一些结论有没有注意,有没有多解或漏解,以避免简单初级错误.
2.赋值检验:若答案是无限的、一般性结论时,可赋予一个或几个特殊值进行检验,以避免知识性错误.
3.估算检验:当解题过程是否等价变形难以把握时,可用估算的方法进行检验,以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误.
4.作图检验:当问题具有几何背景时,可通过作图进行检验,以避免一些脱离事实而主观臆断致错.
5.端点检验:当难以确定端点处是否成立时,可直接取其端点进行检验,以避免考虑不周全的错误.
(一)常见失分原因
常见的失分原因有以下两个方面:主观上对题意缺乏正确的理解,解题步骤不规范,计算能力差以及轻易放弃试题;客观上主要是表达不规范、字迹不工整.
(二)力争“分段得分”
分段得分就是从拿不下来的题目中把你解题的真实过程原原本本写出来.常见的策略有:
1.分步解答:如果遇到一个很困难的问题,确实啃不动,一个聪明的解题策略是,将它们分解为一系列的步骤,或者是一个个小问题,先解决问题的一部分,能解决多少就解决多少,能演算几步就写几步,尚未成功不等于失败.特别是那些解题层次明显的题目,或者是已经程序化了的方法,每一步得分点的演算都可以得分,最后结论虽然未得出,但分数却已过半,这叫“大题拿小分”.
2.跳步答题:解题过程卡在某一过渡环节上是常见的.由于考试时间的限制,“卡壳处”的攻克如果来不及了,就可以把前面的写下来,再写出“证实某步之后,继续有……”一直做到底.若题目有两问,第一问想不出来,可把第一问作“已知”,先做第二问,这也是跳步解答.③辅助解答:一道题目的完整解答,既有主要的实质性的步骤,也有次要的辅助性的步骤.实质性的步骤未找到之前,找辅助性的步骤是明智之举.如:准确作图,把题目中的条件翻译成数学表达式,设应用题的未知数等.
另外,数学科目特别要注意,答题时一定要用签字笔,特别是立体几何的作图题,因为改卷时是用电脑扫描的,如果用铅笔画图就会看不清楚.做辅助线一定要在答题卡上的图上做不能在试卷上做,而且是先用铅笔描然后再用签字笔去描.在做函数题目的时候,一定要避免用“如图所得”这样的语言,应该说“由函数性质可得”,避免犯非智力因素的错误而丢分.
数学选择题一直采用四选一的单选形式,根据选择支的性质可大致分为:“定数量”,“定性质”,“定形状”,“定位置”四种类型.不同类型的选择题常通过不同的思路思考,采用不同的方法解答,主要解题思路和方法有:
1.直接求解法:有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的,这类题型可直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、运算法则,通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论,从而确定选择支.
2.筛选法:数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的错误答案,找到符合题意的正确结论.可通过筛除一些较易判定的、不合题意的结论,以缩小选择的范围,再从其余的结论中求得正确的答案.如筛去不合题意的以后,结论只有一个,则为应选项.
3.举特例或特殊值法:有些选择题用常规方法直接求解比较困难,若根据答案中所提供的信息,选择某些特殊情况进行分析,或选择某些特殊值进行计算,或将字母参数换成具体数值代入,把“一般”变为“特殊”形式,再进行判断往往十分简单.
4.验证法:通过对试题的观察、分析、确定,将各选择支逐个代入题干中,进行验证,或适当选取特殊值进行检验,或采取其他验证手段,以判断选择支正误.
5.数形结合法:在解答选择题的过程中,可先根椐题意,作出草图,然后参照图形的形状、位置关系、性质,综合图象的特征得出结论.这种方法适合与函数、几何相关的题.
6.试探法:对于综合性较强、选择对象比较多的试题,要想条理清楚,可以根据题意建立一个几何模型、代数构造,然后通过试探法来选择,并注意灵活地运用上述多种方法.
具体解答选择题时,上面所列举的各种方法未必单独使用,常常联合运用这些方法,甚至加上直觉思维的作用,尽量简化步骤、合理跳步,以提高解题速度.特别提醒考生注意,“直接求解法”是解选择题的常用的方法,但不是首选的方法,要防止不看选择支而当作填空题直接解的做法.对于实在不会的或解答所用时间过多的,要合理猜选,不要空答. 选择题做完后马上在答题卡上填好,不要考试快结束时才填答题卡. 要用高质量的2B铅笔,按正确要求工整、规范涂卡,要防止出现“错位”情况,避免因涂卡问题而无谓失分.
数学填空题是一种只要求写出结果,不要求写出解答过程的客观性试题,是高考数学中的三种常考题型之一.填空题的类型一般可分为:完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题.创新型的填空题也时常出现.备考时,既要关注这一新动向,又要做好应试的技能准备.解题时,要有合理的分析和判断,要求推理、运算的每一步骤都正确无误,还要求将答案表达得准确、完整(不要忽略单位和最简形式).求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫.其基本要求是“正确、合理、迅速”.若能记住一些可以利用的“结论” ,“经验公式” 或“数量关系”,比如:正三角形的边长为a,则其高为32a、外接圆半径为33a、内切圆半径为36a以及三角形的面积为34a2,还有常见的勾股数,特殊角的三角函数值等,可以省略中间过程,节省时间.
(一)掌握常用的填空题的做法
1.直接法
这是解填空题的基本方法,它是直接从题设条件出发,利用定义、定理、性质、公式等知识,通过变形、推理、运算等过程,直接得到结果.
例1 (2009山东 文)在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=.
解析:设等差数列{an}的公差为d,则由已知得
a1+2d=7,
a1+4d=a1+d+6.
解得
a1=3,
d=2.
所以a6=a1+5d=13.
答案:13.
2.特殊化法
当填空题的结论惟一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中变化的不定量用特殊值代替,即可以得到正确结果.
例2在ΔABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,则cosA+cosC1+cosAcosC=.
解析:令a=3,b=4,c=5,则ΔABC为直角三角形,
cosA=35,cosC=0,从而所求值为35.
答案:35.
3.数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往往可以简捷地解决问题,得出正确的结果.
例3若方程lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0,3)内有惟一解,则实数m的取值范围是 .
解析:原方程变形为
3-x>0,
-x2+3x-m=3-x.
即:3-x>0,
(x-2)2=1-m.
设函数f(x)=(x-2)2,x∈(0,3)和函数g(x)=1-m.作出两个
函数的图象(如图所示),由图可知:
当1-m=0,即m=1时,有惟一解;
当1≤1-m<4,即-3
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”,将问题等价地转化成便于解决的问题,从而得出正确的结果.
例4不论k为何实数,直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值范围是.
解析:把曲线方程x2+y2-2ax+a2-2a-4=0配方,得(x-a)2+y2=2a+4.
由题设条件可知,原问题等价于点(0,1)在圆(x-a)2+y2=2a+4(a>-2)内或在圆上.
把点(0,1)代入得(0-a)2+12≤2a+4,
解得-1≤a≤3.
当2a+4=0,即a=-2,点(-2,0)不在直线y=kx+1上.
答案:a∈[-1,3].
(二)掌握检验方法
1.回顾检验:做完一个题以后,要进行反思和回顾,检查一个已知条件是否用足,隐含的一些结论有没有注意,有没有多解或漏解,以避免简单初级错误.
2.赋值检验:若答案是无限的、一般性结论时,可赋予一个或几个特殊值进行检验,以避免知识性错误.
3.估算检验:当解题过程是否等价变形难以把握时,可用估算的方法进行检验,以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误.
4.作图检验:当问题具有几何背景时,可通过作图进行检验,以避免一些脱离事实而主观臆断致错.
5.端点检验:当难以确定端点处是否成立时,可直接取其端点进行检验,以避免考虑不周全的错误.
(一)常见失分原因
常见的失分原因有以下两个方面:主观上对题意缺乏正确的理解,解题步骤不规范,计算能力差以及轻易放弃试题;客观上主要是表达不规范、字迹不工整.
(二)力争“分段得分”
分段得分就是从拿不下来的题目中把你解题的真实过程原原本本写出来.常见的策略有:
1.分步解答:如果遇到一个很困难的问题,确实啃不动,一个聪明的解题策略是,将它们分解为一系列的步骤,或者是一个个小问题,先解决问题的一部分,能解决多少就解决多少,能演算几步就写几步,尚未成功不等于失败.特别是那些解题层次明显的题目,或者是已经程序化了的方法,每一步得分点的演算都可以得分,最后结论虽然未得出,但分数却已过半,这叫“大题拿小分”.
2.跳步答题:解题过程卡在某一过渡环节上是常见的.由于考试时间的限制,“卡壳处”的攻克如果来不及了,就可以把前面的写下来,再写出“证实某步之后,继续有……”一直做到底.若题目有两问,第一问想不出来,可把第一问作“已知”,先做第二问,这也是跳步解答.③辅助解答:一道题目的完整解答,既有主要的实质性的步骤,也有次要的辅助性的步骤.实质性的步骤未找到之前,找辅助性的步骤是明智之举.如:准确作图,把题目中的条件翻译成数学表达式,设应用题的未知数等.
另外,数学科目特别要注意,答题时一定要用签字笔,特别是立体几何的作图题,因为改卷时是用电脑扫描的,如果用铅笔画图就会看不清楚.做辅助线一定要在答题卡上的图上做不能在试卷上做,而且是先用铅笔描然后再用签字笔去描.在做函数题目的时候,一定要避免用“如图所得”这样的语言,应该说“由函数性质可得”,避免犯非智力因素的错误而丢分.