“恒成立”问题是数学中常见的问题,在各类考试中频频出现.既是备考复习的一个重要内容,又是高考中的一个难点问题. 恒成立问题渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等数学思想方法.它不仅考查学生的综合解题能力,还在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,因此成为历年高考的一个热点.本文对此类问题题进行归纳总结,以期使同学们了解它的常见题型和解决问题的对策.
　　例1若对于0≤m≤3,方程x2+mx-2m-1=0恒有实根,求实数根的取值范围.
　　解析:此题一般思路是先求出含参数m的方程的根,再由m的范围来确定根x的范围,但这样会遇到很多麻烦,若以m为主元,原方程转化为m(x-2)=1-x2.
　　当x=2时,方程显然不成立.
　　当x≠2时,得m=1-x2x-2,由已知0≤m≤3,得0≤1-x2x-2≤3,
　　解之得-3-412≤x≤-1或1≤x≤-3+412.
　　注:本题用到了变更主元的技巧,简化了解题过程.
　　例2是否存在常数a、b、c,使等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=n(n+1)12(an2+bn+c)对于一切自然数n都成立?
　　解析:先用待定系数法探求a、b、c的值,再利用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.令n=1,n=2,n=3可得
　　16(a+b+c)=4,
　　12(4a+2b+c)=22,
　　9a+3b+c=70.
　　 解之得
　　a=3,
　　b=11,
　　c=10.
　　
　　用数学归纳法证明:等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=n(n+1)12(3n2+11n+10)对一切自然数n都成立(略).
　　
　　例3 已知-1≤a≤1,不等式(12)x2+ax<(12)2x+a-1恒成立,求x的取值范围.
　　解析:将原不等式等价转化为整式不等式,把a视作主变量,表示为关于a的一次不等式,构造一次函数f(a),利用f(a)的单调性求得x的范围.
　　∵0<12<1,
　　∴原不等式化为x2+ax>2x+a-1,整理得(x-1)a+x2-2x+1>0.
　　构造函数f(a)=(x-1)a+x2-2x+1.
　　∵当-1≤a≤1时,f(a)>0恒成立.
　　∴ f (-1)>0,
　　 f (1)>0.
　　 即
　　x2-3x+2>0,
　　x2-x>0.
　　
　　解得x<0或x>2.
　　即x的取值范围是x<0或x>2.
　　例4已知定义在R上的函数f(x)为奇函数,且在[0,+∞)上是增函数.对于任意θ∈R,求实数m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0恒成立.
　　解析:利用函数单调性与奇偶性将函数值的大小关系转化为自变量的关系,再分离出参数m,进行合理代换,进而通过最值讨论,确定m的取值范围.
　　∵f(x)为奇函数,
　　∴f(cos2θ-3)>-f(4m-2mcosθ)=f(2mcosθ-4m).
　　又∵f(x)在[0,+∞)上是增函数,
　　∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
　　问题等价于cos2θ-3>2mcosθ-4m.
　　因(2-cosθ)∈[1,3],则2m>3-cos2θ2-cosθ=4-2cos2θ2-cosθ.
　　即m>2-cos2θ2-cosθ=4-cos2θ-22-cosθ=2+cosθ-22-cosθ=4-(2-cosθ)-22-cosθ恒成立,
　　令t=2-cosθ,则t∈[1,3],
　　原问题等价于m>4-t-2t=4-(t+2t)恒成立,
　　令g(t)=4-(t+2t),t∈[1,3].
　　g(t)=4-(t+2t)≤4-22,当且仅当t=2时,等号成立.
　　所以,m>4-22.
　　例5(2007年辽宁文22)已知函数f(x)=x3-9x2cosα+48xcosβ+18sin2α,g(x)=f ′(x),且对任意的实数t均有g(1+e-|t|)≥0,g(3+sint)≤0.
　　(1)求函数f(x)的解析式;
　　(2)若对任意的m∈[-26,6],恒有f(x)≥x3-mx-11,求x的取值范围.
　　解析:(1)由题设得g(x)=3x2-18xcosα+48cosβ.
　　∵1+e-|t|∈(1,2],3+sint∈[2,4],
　　∴g(x)≥0在(1,2]上成立,g(x)≤0在[2,4]上成立.
　　∴g(2)=0.
　　又∵设x0为g(x)=0的另一个根,由函数y=g(x)的图象为开口向上的抛物线,
　　∴x0≥4,而2+x0=6cosα,
　　∴6cosα≥6,cosα≥1, ∴cosα=1.
　　又∵g(2)=0,代入函数y=g(x),得12-36+48cosβ=0.
　　∴cosβ=12,
　　所以,f(x)=x3-9x2+24x.
　　(2)由(1),f(x)=x3-9x2+24x,
　　由题意:对任意的m∈[-26,6],恒有f(x)≥x3-mx-11,即
　　x3-9x2+24x≥x3-mx-11.
　　将上式整理得:mx-9x2+24x+11≥0.
　　令h(m)=mx-9x2+24x+11,由题意f(x)≥x3-mx-11恒成立,从而转化为h(m)≥0恒成立.
　　由于m∈[-26,6],则有
　　h(-26)=-26x-9x2+24x+11≥0,
　　h(6)=6x-9x2+24x+11≥0.
　　
　　解得 -13≤x≤1.
　　例6已知a>0且a≠1,数列{an}是首项为a,公比也为a的等比数列,令bn=anlgan(n∈N*).若数列{bn}中的每一项总小于它后面的项,求a的取值范围.
　　解析:由题意得an=an,
　　∴bn=anlgan=n•an•lga,
　　作差bk+1-bk=(k+1)ak+1lga-kaklga=aklga[k(a-1)+a]>0,
　　∵ak>0,
　　∴lga[k(a-1)+a]>0,
　　当a>1时,lga[k(a-1)+a]>0成立;
　　当0　　原问题转化为k>a1-a对对任何正整数k恒成立.
　　所以,a1-a<1, 解得01.
　　由上以各例的讨论可知,对于恒成立问题,应根据不同的题型,通过合理地转化,选择恰当的对策解题.而在每个对策中,都蕴含了多种数学方法,其中充分利用分离参数法来解决恒成立问题是一种常用方法,在解题时应注意对这种方法的使用.当然,有些恒成立问题并非能用某一个对策解决,而需要用多个对策,熟练掌握这些对策将会收到事半功倍之效.