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摘 要：泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，泰勒展式的应用更是极其重要的一部分。泰勒展式的应用主要是将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的重要工具与方法。
关键词：泰勒展式；初等函数；应用；近似计算
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：2095-2627（2017）14-0086-11
本文主要研究泰勒展式在高等数学问题中的几种应用，以解题为主。首先，介绍的是泰勒展式和泰勒公式的相关联系与区别。然后，进入到泰勒展式在高等数学解题中的具体应用。主要应用泰勒展式来求极限，进行近似计算，求极值和最大最小值，不等式和积分的证明，判断级数的敛散性，求初等函数的幂级数展开式，求高阶导数在某些点的数值等等。
绪言
泰勒展式作为将一些复杂函数近似表示为简单的多项式函数的有效工具，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
泰勒展式作为工具，在各个领域有着广泛的应用，例如：近似计算，求函数的极限和定积分，不等式、等式的证明等方面。除此之外，泰勒展式也应用在级数的相关问题中。泰勒展式的使用往往能让问题峰回路转，使问题变得简单易解。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。
1797年之前，拉格朗日最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
1715年泰勒出版了《增量法及其逆》一书，在这本书中载有现在微积分教程中以他的名字命名的一元函数的幂级数展开公式，即泰勒级数。
1755年，欧拉把泰勒级数用于他的“微分学”时才认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位勒也以函数的泰勒展开而闻名于后世泰勒定理在数学发展史上有着重要的作用。
第一章 泰勒展式
1.1 泰勒展式的由来
我们学习过的各类函数中，多项式是最简单的一种。在近似计算和理论分析中，用多项式逼近函数是一个重要的内容。
通过导数和微分的学习，我们可以知道，如果函数f 在点 处可导，则有：
它所表达的是，在点 附近，用一次多项式 逼近函数 时，它的误差为 的高阶无穷小量。在很多场合，取一次多项式逼近是远远不够的，往往需要两次三次，甚至多次的多项式去逼近，也要求误差为 ，其中 为取多项式的次数。下面我们来看看任意 次多项式的具体情况。
下面来求其在点 处的各阶导数，可以得到：
也可以得到
我们可以看出来， 的各项系数是由它在点 处的各阶导数值确定的，同时具有唯一性。
通过上述的求导，我们就可以得到如下：
针对一般的函数f，假如它在点 处存在并且直到 阶的导数。现在，把这些导数联立起来，构造一个 次多项式，如下：
即得到一个泰勒多项式。当这个多项式的项是无限时，是不是就可以发现并推导出泰勒展式了。
之前我们就已经提到，用多项式来逼近函数 时，其误差为 ，即其误差是关于 的高阶无穷小量。下面我会从 的高阶无穷小量來证明推导带有佩亚诺型余项的泰勒公式和相应泰勒展式。
1.2 具有佩亚诺型余项的泰勒公式以及相应的泰勒展式
定理1.1[1] 若函数 在点 存在直至 阶导数，则有 = + ，即：
（2.1）
其中，
上述中，公式（2.1）称为函数 在 处的带有佩亚诺型余项的泰勒公式，形如 的余项称为佩亚诺型余项。从中我们可以得到的泰勒展式为：
如果（2.1）式中取 ，则得所谓带有佩亚诺型余项的麦克劳林（Maclaurm）公式：
，这个公式用的也比较多。
证（定理1.1）：设 = - ， =
现在只要证得 ，即可得证。
在泰勒公式的学习中，我们知道：函数 与其泰勒多项式
在点 有相同的函数值和相同的直至 阶导数值，即：
所以，
因为 存在，所以在点 的某邻域 上 存在 阶导函数 。因此，当 ∈ 且 → 时，可以多次连续使用罗必达法则（设函数 和 满足： . ， ； . 和 在 上可导； . .则 = ）在 次，得到：
=0
定理得证。
同时，所证定理1.1，也称（就是）函数f在 处的泰勒公式。相应的泰勒展式也就得以证出。
常遇到泰勒展式的相应函数：
（1）指数函数 .
（2）正弦函数
（3）余弦函数 .
（4）函数 .
（5）函数
（6）函数 .
（7）函数 .
证：（1）由于 （ ），可以知道 的各阶导数在 处取值为1，即：
于是，当 时，有
（2） 时， （ ），我们可以得到
即， 为偶数时， ，还可以得到
所以，可以得到
（3）.同理（2），我们可以得到
（4）.经过计算我们可以得到
综上，我们可以得到
， （ ）
于是当 →0时，有
（5）.根据函数 ， ，经过计算我们可以得到
于是当 →0时，可以得到
（5）得证。
其中，当 ，可以得到
，（6）得证。
而当 时，可以得到 ，（7）得证。
1.3 具有拉格朗日型余项的泰勒公式及其相应的泰勒展式
定理1.2[1]（泰勒定理） 设函数 在 上存在直至 阶的连续导函数，在 上存在 阶导函数，则对任意给定的 ， ∈ ，至少存在一点 ∈ ，使得： （3.1）
其中 ， （3.2）
公式（3.1）称为函数 在 处的带有拉格朗日型余项的泰勒公式， 的表达式（3.2）称为拉格朗日型余项。
如果取 ，则 在0与 之间，因此可令 从而泰勒公式就变成比较简单的形式，即得到所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm）公式：
我们也可以注意到，当 时，
为拉格朗日中值公式，即：
所以，泰勒公式我们也可以看作是拉格朗日中值定理（若函数 满足： .在 上连续； .在 上可导，则存在一点 ∈ ，使得 ）的推广。拉格朗日中值定理也可以视为泰勒公式的特殊形式。
我们也可以得到其泰勒展式为：
证（定理1.2）：此定理可以借助作辅助函数来证，令：
现在，所要证明的就变成：
或者是
在这里，我们设 < ，则 与 在 上连续，在 上可导。同时，我们可以知道：
又因为 ，所以有柯西中值定理（设函数 和 满足： .在 上都连续； .在 上都可导； . 和 不同时为零，则存在 ，使得 ）。
证得：
，其中 。
这样，定理1.2就得证了。
我们相应的泰勒展式自然而然也可以得到证明。
1.4 具有积分型和柯西型余项的泰勒公式及其相应的泰勒展式
定理1.3[1] 若在 上 ， 有 阶导函数，则有：
（ ），这是部分积分公式的推广。
下面我们会用定理1.3部分积分公式的推广公式来导出具有积分型余项的泰勒公式及展式。
设函数 在点 的某领域 上存在 阶连续导函数。并且 ∈ ，
， ，t∈[ ， ] .带入定理4.1中的公式得：
其中 是泰勒公式的 阶余项 。由这里我们可以得到：
这就是泰勒公式的积分型余项。
也可以改写成以下形式：
因为 连续， 在 上保持同号，所以有积分第一中值定理（若 在上 连续，则至少存在一点 ，使得 ）可将 写作：
，
又因为
所以，又可以把 改写成
（4.1）
特别，当 时，又有
（4.2）
公式（4.1），（4.2）成为泰勒公式的柯西型余项。
当然， 也可以改为带有拉格朗日型余项的形式，是利用积分第一中值定理的推广来改写，如下：
其中 。
分析：泰勒公式所带有的余项的不同，它们之间也会有所区别。一类是定性的，例如佩亚诺型余项；另一类是定量的，例如拉格朗日型余项、柯西型余项等。这两种余项，本质相同，但作用有一定区别。就一般情况而言，当不需要定量的讨论余项， 时，可用佩亚诺余项。如计算极限时，不需要对余项做定量的计算，用佩亚诺余项就可以。而需要定量讨论余项 时，要用拉格朗日型余项或者是柯西型余项。
小結：综上所述，相信我们都能发现泰勒公式与泰勒展式的区别了。泰勒公式有有限项，而泰勒展式则无限，且应用起来会更灵活，随题而变。即：当所遇问题所解函数的项较多时，相比泰勒公式，泰勒展式更能轻松解决。有些高等数学问题，泰勒公式不能解决的，泰勒展式能解决。下面我们将通过具体高等数学问题来探讨泰勒展式的魅力所在。
第二章 泰勒展式在求解高等数学问题中的具体应用
2.1 泰勒展式在求极限中的应用
例2.1[1] 求极限
解： 利用洛必达法则，可得
分析：这一题，如果用洛必达法则来求解，会有点麻烦（较繁琐），不小心的话也容易出错。下面我们用泰勒公式及其相关展式来求解。如下：
因为
；
所以
所以
小结：不是每一个求极限的问题，用洛必达法则是最好最快捷的。这一例题，用泰勒展式来求解，就比用洛必达法则快捷很多。整个过程，思路清晰，解题的速度、效率都得到提高，出错的概率也得到降低。
例2.2[3]
解：利用洛必达法则，可得
分析：同样，这一题，如果用罗必达法则来求解，会比用泰勒公式及其展式求解更麻烦，出错率也很高，更需要耐心。下面来看用泰勒展式来求解。如下：
因为
，
当 时，
所以
小结：相比较，用泰勒展式求解的效率显而易见。步骤减少，准确率提高，可以避免因解题步骤多而算错。整个解题过程的思路也够清晰。
例2.3[4]
分析：这一题比较简单，但比较有技巧性，看分子中的 ， 用泰勒展式来求解。具体过程如下。
解： 因为
所以
例2.4 （15年数学考研真题，数一、数二、数三都有涉及）设函数 ， 。若 和 在 →0时是等价无穷小，求 ， ， 的值？
分析：这一题，我们利用泰勒公式及其展式来表达出来，再进行求解，会方便很多，思路也会很清晰。通过泰勒展式，一眼就能看出求解此题的关键点。解答过程如下：
解： 由题意，可得，
因为
，
所以
即 ， ，
所以 ， ，
小结：此题，利用泰勒展式来求是很容易找到解题关键的，思路清晰，易理解，快速。 2.2 泰勒展式在近似计算中的应用
例2.5[1] 计算 的值，使其误差不超过 。
解：有指数函数 的泰勒展式， ，可以知道
当 时有
故可以得出 ，解之，得
，当 时，得
小结：近似计算一直是高等数学中的重点之一，解答的技巧性也特别强。找到切入点，做到解一题懂百题，并不难。这一题，主要要能由 马上联系到 的泰勒展式，再确定到估算的精确值。按思路逐层进行求解，即可达到题目所要求。
例2.6[1] 估计下列近似公式的绝对误差
，当
解：因为已知以下函数的泰勒展式
由题意，可取到
所以
（ ） ，（ ）
小结：这一题主要体现泰勒展式应用的灵活性。可以根据解题需要确定应用泰勒展式到哪一项，应用到什么程度。
例2.7 （出现次数最多的一个近似计算） 计算 的值，使误差不超过0.0001。
题意分析：这题是泰勒公式和泰勒展式的综合应用。
解：因为
，
记， = ，
当 ，可以得到
，（ ）
可以得到 时就满足要求，此时
此时，其误差满足 。
同样的，例如 、 …类似的数的值计算方法都一样，只不过所用泰勒展式公式的次数会不一样。
2.3 泰勒展式在极值与最大（小）值中的应用
例2.8[1] （极值的第二充分条件）设函数f在点 的某领域 上1阶可导，在 = 处二阶可导，且 。
⑴若 ，则f 在点 处取得极大值；
⑵若 ，则f 在点 处取得极小值。
证：由已知，我们可以得到，f 在点 处的2阶泰勒展式，如下
因为 ，所以，可以推出
又因为 ，所以存在正数 ，当 ∈ 时， 和 同号。
所以，当 时， ，即取负值。因此，对任意 有
<0
即f 在点 处取得极大值。同样对 ，则f 在点 处取得极小值 。
例2.9[1] （极值的第三充分条件）设函数f在点 的某领域内存在直到 阶导函数，在 处 阶可导 ，且 ， ，则：⑴当 为偶数时，f在点 处取得极值，且当 时，取得极大值； 时取得极小值。
⑵当 为奇数时，f在点 处不取值。
证：由已知条件，我们可以得到，f 在点 处的泰勒展式，如下
因为 ，所以，我们可以推出
因为 是 的高阶无穷小 。所以，当 时，即存在正数 δ。当 时， 正负有前一项（ ）来决定 。
当 为偶数时， ，有 。当 时，可以得到 ，即 是 的极小点， 是极小值；当 时， ，即 是 的极大点， 是极大值。
当 为奇数时， ，有 <0 。 ，有 >0 。于是我们知道 变符号，或者说是在 内，正负无法确定。所以， 不是函数 的极值点。证明结束。
函数的最值说明：
第一点，如果函数 在指定闭区间 上连续，那么函数 在这个指定的区间上一定存在最大值和最小值，这是必然的。
第二点，如果在区间 存在最大值或最小值，那么这个最大值（最小值）一定也是函数 的极大值（极小值）。
有时候，函数 在指定区间的端点函数值，就是函数的最大值或者最小值。
小结：有部分题，既可以利用泰勒展式来求解，也可以利用泰勒公式来求解。但求解有 项的函数或者证明部分多项定义类证明题题，泰勒展式的严谨性就得以体现。泰勒公式能解答或证明到 ，那么 呢？我们都知道：小范围成立的，大范围内不一定成立。大范围成立的，自然也能满足小范围。继续用泰勒公式求解或证明，就不能完美的体现数学的严谨性和数学的美了。这时就要利用泰勒展式来求解或证明，不管你要求解或证明到哪一项，我们的泰勒展式都能满足你的要求。
2.4 泰勒展式在积分证明中的应用
例2.10[4] 证明： =
证：第一步，进行简单变换，可以得到
又由函數 泰勒展式
，将 代入可以得到
所以，代入变换后的式子中可以得到
所需证得证。
分析：这一题利用泰勒展式来证，思路很清晰，理解起来也很容易，也很容易入手。不会让人感觉到无法入手，毫无头绪。对常用函数的泰勒展式掌握得很好的人来说，难度不大。这也说明，泰勒展式的应用不局限于某一方面。
例2.11 设 在 上是连续正值函数，并且已知 ，试证明
证明：我们已经知道泰勒展式
现在我们在 = 点处展开为泰勒展式，得
假如取 ，再作如下运算
所以我们可以得到
所以， ，得证。
分析：类似的证明题，我们可以直接写出已经知道的泰勒展开式，再根据题意对泰勒展开式进行适当的放缩，即进行一个适当的选择。泰勒展式的应用性很强，灵活性也很强。
例2.12[5] 设 在 上有二阶导数，让我们试证： ，使得
成立。
证明：我们已经知道泰勒展式
记 。现在将函数 在点 处按泰勒展式展开，可以得到
（1）
由推广的积分第一中值定理：
若函数 和 都在 上连续，且 在 上不变号，则至少存在一点 ，使得：
所以，对于（1）式中 的第三项我们可以得到
综上，我们可以证明得到
即，所需证得证。 2.5 泰勒展式在不等式证明中的应用
我们可以从简单易懂的不等式入手，来看泰勒展式在不等式证明中的具体应用。
例2.13[3] 证明不等式： ，其中
证明：我们已经知道 的泰勒展式
由以上泰勒展式，我们可以得到
， （1）
（2）
由（1）我们可以得到
由（2）式，我们可以得到
综上所述，可以得到
，即得证。
小结：整个过程很好理解，也易懂。用泰勒展式也很好入手。根据 和 就能抓住解题的关键点。
例2.14 证明不等式： < ，（ >0）
分析：此题，也不是太难，具有一定技巧性。就一般解法而言，有根号的，习惯不等式两边同时平方，去掉根号。此题，若是通过平方去掉根号，则 的次数就提高的2次，就更难比较了。用泰勒展式，也许就不用那么麻烦了。如下：
证明：我们已经知道函数 的泰勒展式如下
而 = ，所以
因为 >0 ，所以 >0
从而可以知道
所以，
< ，（ >0），得证。
小结：惯用解题方法不代表是最好最快捷的解题方法。用泰勒展式来证，整个证明思路很清晰，也易懂。
例2.15[6] 设函数f 在 上二阶可导， .证明存在一点 ，使得
证明：由
我们可以得到在点a和点b 的 的泰勒展式，并且要注意 ，如下：
我们取
可以得到 ，
， 即. ，得证。
例2.16[4] 证明：对于 ，若 ∈ ，有 ，且任意 个数 ，则不等式
证明：我们可以令 ，显然，我们可以得到
将 在点 处展开，可以得到
，其中
当 = （ ）时，从上式可以得到
，其中
又因为 ∈ ，有 ，所以
我们将上述的 个不等式相加，可以得到
其中， ，
又已知， 所以
综上所述，可得
即：
，得证。
2.6 泰勒展式在求初等函数的幂级数展开式中的应用
定理2.1[7]（泰勒定理） 假设函数 在区域 内解析， ，只要圆 ： （1）
其中的系数
（2）
，并且这个展式是唯一的。
我们把（1）式称为 在点 的泰勒展式，（2）式称为其泰勒系数，而（1）等号右边的级数，我们则称其为泰勒级数。
几个常用初等函数级数的泰勒展式：
例2.17[7]将 在 处展开成幂级数。
解：因为 在 内解析，且
所以，在 时，将两式想乘，得到
例2.18[8] 求 在 处的泰勒展开式。
解：分析题目，我们可以这样解。我们已经知道两个初等函数的幂级数展开式，即其泰勒级数展开式，如下：
（1）
（2）
所以，我们只需将（2）式代入（1）式，即将（2）式代入（1）的z中。这样，我们经过计算可以得到
例2.19[8] 将 在 处展开成泰勒级数。
解：我们来进行简单的分析。此题，不能直接利用已经得到的函数展开式来间接求解。我们只能想办法将其化为带有我们已经知道展开式的函数的形式，再进行展开。如下
并且，我们已经知道以下函数的泰勒级数
所以，我们可以得到
，
综上所述，我们最终可以得到
=
= - （ ）
= ，
小结：我们都知道，不是每一题的函数都可以直接作泰勒展开。反而是复杂的多一点，都要间接的进行求其幂级数展开式，这就要我们对已经得到的一些初等函数的展开式进行熟记，也必须对这些展式很熟练。同时，也要学会先判断 在 处的解析性。
總之，不管是直接或者是间接去求某函数展开成泰勒级数的形式，都必须对已得到的展式很熟练。特别是间接法，都必须以先找到一个已经得到展开式的函数为前提。
2.7 泰勒展式在讨论级数收敛性中的应用
例2.20[9] 看下面级数，试讨论其收敛性
解：我们知道函数 的泰勒展式
我们可以利用将其展式取到 ，得
.
又因为我们可以知道
（即 时， 和 同阶） ， 级数 收敛。
所以，级数 也收敛。
小结：虽然看起来步骤有点多，但思路很清晰，也易懂。如果不利用泰勒展式来解答，会更麻烦，步骤也会更多。盲目的选择考虑级数 （ ）就要花很多时间，并且不容易达到目的。
判别收敛性，除了达朗贝尔（比式）判别法和柯西（根式）判别法，我们还可以利用泰勒展式来求解。用泰勒展式求收敛性的方法往往被忽视。
2.8 泰勒展式在高阶导数与偏导数中的应用
相关定理：
定理2.2[2] 若函数 在点 存在直到 阶的导数，则有
其中， ，是其余项， 的高阶无穷小量。
定理2.3[2] 若函数 在点 处的某邻域 上有直到 阶的连续偏导数，则对 内任一点 ，存在相应的 ，使得
其中，
若在公式
中只要求余项 ，则仅需 在邻域 上存在直到 阶的连续偏导数，便有： [1]
综上，可以得到的泰勒展式为
常用函数高阶导数公式[15]：
（1）. （ 为任意实数）
（2）. （ ， 为常数， 为任意实数）
（3）.
（4）.
（5）.
例2.21 写出函数 取到 的泰勒展式。
解：由题意，可以得到
其中， .
通过计算，我们可以得到 ：
于是，最终可以得到
例2.22[10] 利用泰勒展式
的唯一性，求函数的 阶导数： .
分析：为了方便表述，可以记 ，那么 。再作适当变换，可以得到
解：记 ，那么 ，所以可以得到
我们可以得到
又由 ，可以得到
其中， 的系数为
将 的展开式中的 的系数 和上式比较，得
例2.23 设 在[-1，1]上有三阶连续导数，且 ， ， ，则存在一点 ，使得 。
证： ，由泰勒展开式
（即在 时的泰勒展式）可以得到
，其中 在0和 之间，把 ， ， 代入其中，可得
，
从上述两式，可得
又因为 在 上有三阶连续导数，所以 的三阶导数在 上有最大值 ，最小值 ，使
由连续函数介值定理： ，使得
，得证。
小结：泰勒展式也可以应用在导数和偏导数中。
总结
在解决高等数学中遇到的特殊问题，如果能运用好泰勒公式和泰勒展式来解答，有些时候就会取得事半功倍的效果。本文主要以泰勒展式的应用为主，首先是应用泰勒展式求极限，进行近似计算，求极值，证明积分，再到证明不等式，求初等函数的幂级数展开式，判断级数的敛散性，最后求高阶导数与偏导数在某些点的数值。经历了泰勒展式的初步应用到较为成熟复杂的一个过程。
泰勒公式及其展式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的重要工具和方法。它贯穿大学四年专业知识学习的整个过程，内容丰富，涉及面广。
泰勒展式在高等数学解题中应用较为广泛，复变函数论、微分方程、实变函数与泛函分析、高等代数、数学分析等课程中都有涉及，且都是重要知识点。我主要从泰勒展式在数学分析和复变函数论这两个课程中涉及的，部分知识点的应用来展开我的论文设计与书写。
参考文献：
[1] 华东师范大学数学系 编 .数学分析上册[M].第4版 北京：高等教育出版2010.7 ：137-148，231-234.
[2] 华东师范大学数学系 编 .数学分析下册[M].第4版 北京：高等教育出版社 2010.6：55-57，136-145.
[3] 陈晓萌 .泰勒公式在不等式中的应用[J] . 昌潍师专学报 ，2000.
[4] 腾加俊.吉米多维奇数学分析习题集精选精讲[M] .东南大学出版社2010.7：137-144，281-293.
[5] 王新，任佩文 .泰勒展开式不同形式的各种应用[J] . 高等函授学报（自然科学版）2009.
[6] 赵显曾，黄安才.数学分析的方法与解題[M].陕西师范大学出版社2005.8
[7] 钟玉泉 编 .复变函数论[M] .第4版 北京：高等教育出版社，2013.8：156- 161.
[8] 白艳萍 ，雷英杰， 杨明 编著 .复变函数与积分变换[M]. 北京：国防工业出版社，2004.8：80-88.
[9] 费定晖，周学圣 编演.吉米多维奇数学分析习题集题解[M] .第四版，山东科学技术出版社2012：34-90.
[10] R 柯朗，F 约翰.微积分和数学分析引论[M] .科学出版社，2011.
[11] 谭欣欣 编著.复变函数：全程学习指导[M] .大连：理工大学出版社，2003.12：129-169.
[12] 石辛民 ，翁智 编著 .复变函数及其应用[M] .北京：清华大学出版社，2012.11：98-100.
[13] 刘玉链 ，傅沛仁.数学分析讲义[M] .高等教育出版社2008：244-266.
[14] 张励.泰勒公式的应用[J].天津：轻工业学院学报，1999.
[15] 于力，刘三阳 .带皮亚诺余项的泰勒展开式及其应用[J].高等数学研究，2003年第9期.
[16] 裴莉.探讨泰勒公式在高等数学中的运用[J] .中国电子商务，2010.
[17] 马訾伟 ，闫晓红.数学分析讲义[M] .中国时代经济出版社2009..
[18] 李惜雯.数学分析典型例题分析[M] .西安交通大学出版社2013.11：641-678.
[19] 太原理工大学数学学院. 数学分析教本[M] . 科学出版社2015.7.
[20] 吴良森，毛羽辉 ，宋国栋，魏木生. 数学分析习题精解：单变量部分[M] .科学出版社2002：120-128.
[21] [美] F 施依德.数学分析[M] .科学出版社，2012.
关键词：泰勒展式；初等函数；应用；近似计算
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：2095-2627（2017）14-0086-11
本文主要研究泰勒展式在高等数学问题中的几种应用，以解题为主。首先，介绍的是泰勒展式和泰勒公式的相关联系与区别。然后，进入到泰勒展式在高等数学解题中的具体应用。主要应用泰勒展式来求极限，进行近似计算，求极值和最大最小值，不等式和积分的证明，判断级数的敛散性，求初等函数的幂级数展开式，求高阶导数在某些点的数值等等。
绪言
泰勒展式作为将一些复杂函数近似表示为简单的多项式函数的有效工具，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
泰勒展式作为工具，在各个领域有着广泛的应用，例如：近似计算，求函数的极限和定积分，不等式、等式的证明等方面。除此之外，泰勒展式也应用在级数的相关问题中。泰勒展式的使用往往能让问题峰回路转，使问题变得简单易解。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。
1797年之前，拉格朗日最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
1715年泰勒出版了《增量法及其逆》一书，在这本书中载有现在微积分教程中以他的名字命名的一元函数的幂级数展开公式，即泰勒级数。
1755年，欧拉把泰勒级数用于他的“微分学”时才认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位勒也以函数的泰勒展开而闻名于后世泰勒定理在数学发展史上有着重要的作用。
第一章 泰勒展式
1.1 泰勒展式的由来
我们学习过的各类函数中，多项式是最简单的一种。在近似计算和理论分析中，用多项式逼近函数是一个重要的内容。
通过导数和微分的学习，我们可以知道，如果函数f 在点 处可导，则有：
它所表达的是，在点 附近，用一次多项式 逼近函数 时，它的误差为 的高阶无穷小量。在很多场合，取一次多项式逼近是远远不够的，往往需要两次三次，甚至多次的多项式去逼近，也要求误差为 ，其中 为取多项式的次数。下面我们来看看任意 次多项式的具体情况。
下面来求其在点 处的各阶导数，可以得到：
也可以得到
我们可以看出来， 的各项系数是由它在点 处的各阶导数值确定的，同时具有唯一性。
通过上述的求导，我们就可以得到如下：
针对一般的函数f，假如它在点 处存在并且直到 阶的导数。现在，把这些导数联立起来，构造一个 次多项式，如下：
即得到一个泰勒多项式。当这个多项式的项是无限时，是不是就可以发现并推导出泰勒展式了。
之前我们就已经提到，用多项式来逼近函数 时，其误差为 ，即其误差是关于 的高阶无穷小量。下面我会从 的高阶无穷小量來证明推导带有佩亚诺型余项的泰勒公式和相应泰勒展式。
1.2 具有佩亚诺型余项的泰勒公式以及相应的泰勒展式
定理1.1[1] 若函数 在点 存在直至 阶导数，则有 = + ，即：
（2.1）
其中，
上述中，公式（2.1）称为函数 在 处的带有佩亚诺型余项的泰勒公式，形如 的余项称为佩亚诺型余项。从中我们可以得到的泰勒展式为：
如果（2.1）式中取 ，则得所谓带有佩亚诺型余项的麦克劳林（Maclaurm）公式：
，这个公式用的也比较多。
证（定理1.1）：设 = - ， =
现在只要证得 ，即可得证。
在泰勒公式的学习中，我们知道：函数 与其泰勒多项式
在点 有相同的函数值和相同的直至 阶导数值，即：
所以，
因为 存在，所以在点 的某邻域 上 存在 阶导函数 。因此，当 ∈ 且 → 时，可以多次连续使用罗必达法则（设函数 和 满足： . ， ； . 和 在 上可导； . .则 = ）在 次，得到：
=0
定理得证。
同时，所证定理1.1，也称（就是）函数f在 处的泰勒公式。相应的泰勒展式也就得以证出。
常遇到泰勒展式的相应函数：
（1）指数函数 .
（2）正弦函数
（3）余弦函数 .
（4）函数 .
（5）函数
（6）函数 .
（7）函数 .
证：（1）由于 （ ），可以知道 的各阶导数在 处取值为1，即：
于是，当 时，有
（2） 时， （ ），我们可以得到
即， 为偶数时， ，还可以得到
所以，可以得到
（3）.同理（2），我们可以得到
（4）.经过计算我们可以得到
综上，我们可以得到
， （ ）
于是当 →0时，有
（5）.根据函数 ， ，经过计算我们可以得到
于是当 →0时，可以得到
（5）得证。
其中，当 ，可以得到
，（6）得证。
而当 时，可以得到 ，（7）得证。
1.3 具有拉格朗日型余项的泰勒公式及其相应的泰勒展式
定理1.2[1]（泰勒定理） 设函数 在 上存在直至 阶的连续导函数，在 上存在 阶导函数，则对任意给定的 ， ∈ ，至少存在一点 ∈ ，使得： （3.1）
其中 ， （3.2）
公式（3.1）称为函数 在 处的带有拉格朗日型余项的泰勒公式， 的表达式（3.2）称为拉格朗日型余项。
如果取 ，则 在0与 之间，因此可令 从而泰勒公式就变成比较简单的形式，即得到所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm）公式：
我们也可以注意到，当 时，
为拉格朗日中值公式，即：
所以，泰勒公式我们也可以看作是拉格朗日中值定理（若函数 满足： .在 上连续； .在 上可导，则存在一点 ∈ ，使得 ）的推广。拉格朗日中值定理也可以视为泰勒公式的特殊形式。
我们也可以得到其泰勒展式为：
证（定理1.2）：此定理可以借助作辅助函数来证，令：
现在，所要证明的就变成：
或者是
在这里，我们设 < ，则 与 在 上连续，在 上可导。同时，我们可以知道：
又因为 ，所以有柯西中值定理（设函数 和 满足： .在 上都连续； .在 上都可导； . 和 不同时为零，则存在 ，使得 ）。
证得：
，其中 。
这样，定理1.2就得证了。
我们相应的泰勒展式自然而然也可以得到证明。
1.4 具有积分型和柯西型余项的泰勒公式及其相应的泰勒展式
定理1.3[1] 若在 上 ， 有 阶导函数，则有：
（ ），这是部分积分公式的推广。
下面我们会用定理1.3部分积分公式的推广公式来导出具有积分型余项的泰勒公式及展式。
设函数 在点 的某领域 上存在 阶连续导函数。并且 ∈ ，
， ，t∈[ ， ] .带入定理4.1中的公式得：
其中 是泰勒公式的 阶余项 。由这里我们可以得到：
这就是泰勒公式的积分型余项。
也可以改写成以下形式：
因为 连续， 在 上保持同号，所以有积分第一中值定理（若 在上 连续，则至少存在一点 ，使得 ）可将 写作：
，
又因为
所以，又可以把 改写成
（4.1）
特别，当 时，又有
（4.2）
公式（4.1），（4.2）成为泰勒公式的柯西型余项。
当然， 也可以改为带有拉格朗日型余项的形式，是利用积分第一中值定理的推广来改写，如下：
其中 。
分析：泰勒公式所带有的余项的不同，它们之间也会有所区别。一类是定性的，例如佩亚诺型余项；另一类是定量的，例如拉格朗日型余项、柯西型余项等。这两种余项，本质相同，但作用有一定区别。就一般情况而言，当不需要定量的讨论余项， 时，可用佩亚诺余项。如计算极限时，不需要对余项做定量的计算，用佩亚诺余项就可以。而需要定量讨论余项 时，要用拉格朗日型余项或者是柯西型余项。
小結：综上所述，相信我们都能发现泰勒公式与泰勒展式的区别了。泰勒公式有有限项，而泰勒展式则无限，且应用起来会更灵活，随题而变。即：当所遇问题所解函数的项较多时，相比泰勒公式，泰勒展式更能轻松解决。有些高等数学问题，泰勒公式不能解决的，泰勒展式能解决。下面我们将通过具体高等数学问题来探讨泰勒展式的魅力所在。
第二章 泰勒展式在求解高等数学问题中的具体应用
2.1 泰勒展式在求极限中的应用
例2.1[1] 求极限
解： 利用洛必达法则，可得
分析：这一题，如果用洛必达法则来求解，会有点麻烦（较繁琐），不小心的话也容易出错。下面我们用泰勒公式及其相关展式来求解。如下：
因为
；
所以
所以
小结：不是每一个求极限的问题，用洛必达法则是最好最快捷的。这一例题，用泰勒展式来求解，就比用洛必达法则快捷很多。整个过程，思路清晰，解题的速度、效率都得到提高，出错的概率也得到降低。
例2.2[3]
解：利用洛必达法则，可得
分析：同样，这一题，如果用罗必达法则来求解，会比用泰勒公式及其展式求解更麻烦，出错率也很高，更需要耐心。下面来看用泰勒展式来求解。如下：
因为
，
当 时，
所以
小结：相比较，用泰勒展式求解的效率显而易见。步骤减少，准确率提高，可以避免因解题步骤多而算错。整个解题过程的思路也够清晰。
例2.3[4]
分析：这一题比较简单，但比较有技巧性，看分子中的 ， 用泰勒展式来求解。具体过程如下。
解： 因为
所以
例2.4 （15年数学考研真题，数一、数二、数三都有涉及）设函数 ， 。若 和 在 →0时是等价无穷小，求 ， ， 的值？
分析：这一题，我们利用泰勒公式及其展式来表达出来，再进行求解，会方便很多，思路也会很清晰。通过泰勒展式，一眼就能看出求解此题的关键点。解答过程如下：
解： 由题意，可得，
因为
，
所以
即 ， ，
所以 ， ，
小结：此题，利用泰勒展式来求是很容易找到解题关键的，思路清晰，易理解，快速。 2.2 泰勒展式在近似计算中的应用
例2.5[1] 计算 的值，使其误差不超过 。
解：有指数函数 的泰勒展式， ，可以知道
当 时有
故可以得出 ，解之，得
，当 时，得
小结：近似计算一直是高等数学中的重点之一，解答的技巧性也特别强。找到切入点，做到解一题懂百题，并不难。这一题，主要要能由 马上联系到 的泰勒展式，再确定到估算的精确值。按思路逐层进行求解，即可达到题目所要求。
例2.6[1] 估计下列近似公式的绝对误差
，当
解：因为已知以下函数的泰勒展式
由题意，可取到
所以
（ ） ，（ ）
小结：这一题主要体现泰勒展式应用的灵活性。可以根据解题需要确定应用泰勒展式到哪一项，应用到什么程度。
例2.7 （出现次数最多的一个近似计算） 计算 的值，使误差不超过0.0001。
题意分析：这题是泰勒公式和泰勒展式的综合应用。
解：因为
，
记， = ，
当 ，可以得到
，（ ）
可以得到 时就满足要求，此时
此时，其误差满足 。
同样的，例如 、 …类似的数的值计算方法都一样，只不过所用泰勒展式公式的次数会不一样。
2.3 泰勒展式在极值与最大（小）值中的应用
例2.8[1] （极值的第二充分条件）设函数f在点 的某领域 上1阶可导，在 = 处二阶可导，且 。
⑴若 ，则f 在点 处取得极大值；
⑵若 ，则f 在点 处取得极小值。
证：由已知，我们可以得到，f 在点 处的2阶泰勒展式，如下
因为 ，所以，可以推出
又因为 ，所以存在正数 ，当 ∈ 时， 和 同号。
所以，当 时， ，即取负值。因此，对任意 有
<0
即f 在点 处取得极大值。同样对 ，则f 在点 处取得极小值 。
例2.9[1] （极值的第三充分条件）设函数f在点 的某领域内存在直到 阶导函数，在 处 阶可导 ，且 ， ，则：⑴当 为偶数时，f在点 处取得极值，且当 时，取得极大值； 时取得极小值。
⑵当 为奇数时，f在点 处不取值。
证：由已知条件，我们可以得到，f 在点 处的泰勒展式，如下
因为 ，所以，我们可以推出
因为 是 的高阶无穷小 。所以，当 时，即存在正数 δ。当 时， 正负有前一项（ ）来决定 。
当 为偶数时， ，有 。当 时，可以得到 ，即 是 的极小点， 是极小值；当 时， ，即 是 的极大点， 是极大值。
当 为奇数时， ，有 <0 。 ，有 >0 。于是我们知道 变符号，或者说是在 内，正负无法确定。所以， 不是函数 的极值点。证明结束。
函数的最值说明：
第一点，如果函数 在指定闭区间 上连续，那么函数 在这个指定的区间上一定存在最大值和最小值，这是必然的。
第二点，如果在区间 存在最大值或最小值，那么这个最大值（最小值）一定也是函数 的极大值（极小值）。
有时候，函数 在指定区间的端点函数值，就是函数的最大值或者最小值。
小结：有部分题，既可以利用泰勒展式来求解，也可以利用泰勒公式来求解。但求解有 项的函数或者证明部分多项定义类证明题题，泰勒展式的严谨性就得以体现。泰勒公式能解答或证明到 ，那么 呢？我们都知道：小范围成立的，大范围内不一定成立。大范围成立的，自然也能满足小范围。继续用泰勒公式求解或证明，就不能完美的体现数学的严谨性和数学的美了。这时就要利用泰勒展式来求解或证明，不管你要求解或证明到哪一项，我们的泰勒展式都能满足你的要求。
2.4 泰勒展式在积分证明中的应用
例2.10[4] 证明： =
证：第一步，进行简单变换，可以得到
又由函數 泰勒展式
，将 代入可以得到
所以，代入变换后的式子中可以得到
所需证得证。
分析：这一题利用泰勒展式来证，思路很清晰，理解起来也很容易，也很容易入手。不会让人感觉到无法入手，毫无头绪。对常用函数的泰勒展式掌握得很好的人来说，难度不大。这也说明，泰勒展式的应用不局限于某一方面。
例2.11 设 在 上是连续正值函数，并且已知 ，试证明
证明：我们已经知道泰勒展式
现在我们在 = 点处展开为泰勒展式，得
假如取 ，再作如下运算
所以我们可以得到
所以， ，得证。
分析：类似的证明题，我们可以直接写出已经知道的泰勒展开式，再根据题意对泰勒展开式进行适当的放缩，即进行一个适当的选择。泰勒展式的应用性很强，灵活性也很强。
例2.12[5] 设 在 上有二阶导数，让我们试证： ，使得
成立。
证明：我们已经知道泰勒展式
记 。现在将函数 在点 处按泰勒展式展开，可以得到
（1）
由推广的积分第一中值定理：
若函数 和 都在 上连续，且 在 上不变号，则至少存在一点 ，使得：
所以，对于（1）式中 的第三项我们可以得到
综上，我们可以证明得到
即，所需证得证。 2.5 泰勒展式在不等式证明中的应用
我们可以从简单易懂的不等式入手，来看泰勒展式在不等式证明中的具体应用。
例2.13[3] 证明不等式： ，其中
证明：我们已经知道 的泰勒展式
由以上泰勒展式，我们可以得到
， （1）
（2）
由（1）我们可以得到
由（2）式，我们可以得到
综上所述，可以得到
，即得证。
小结：整个过程很好理解，也易懂。用泰勒展式也很好入手。根据 和 就能抓住解题的关键点。
例2.14 证明不等式： < ，（ >0）
分析：此题，也不是太难，具有一定技巧性。就一般解法而言，有根号的，习惯不等式两边同时平方，去掉根号。此题，若是通过平方去掉根号，则 的次数就提高的2次，就更难比较了。用泰勒展式，也许就不用那么麻烦了。如下：
证明：我们已经知道函数 的泰勒展式如下
而 = ，所以
因为 >0 ，所以 >0
从而可以知道
所以，
< ，（ >0），得证。
小结：惯用解题方法不代表是最好最快捷的解题方法。用泰勒展式来证，整个证明思路很清晰，也易懂。
例2.15[6] 设函数f 在 上二阶可导， .证明存在一点 ，使得
证明：由
我们可以得到在点a和点b 的 的泰勒展式，并且要注意 ，如下：
我们取
可以得到 ，
， 即. ，得证。
例2.16[4] 证明：对于 ，若 ∈ ，有 ，且任意 个数 ，则不等式
证明：我们可以令 ，显然，我们可以得到
将 在点 处展开，可以得到
，其中
当 = （ ）时，从上式可以得到
，其中
又因为 ∈ ，有 ，所以
我们将上述的 个不等式相加，可以得到
其中， ，
又已知， 所以
综上所述，可得
即：
，得证。
2.6 泰勒展式在求初等函数的幂级数展开式中的应用
定理2.1[7]（泰勒定理） 假设函数 在区域 内解析， ，只要圆 ：
其中的系数
（2）
，并且这个展式是唯一的。
我们把（1）式称为 在点 的泰勒展式，（2）式称为其泰勒系数，而（1）等号右边的级数，我们则称其为泰勒级数。
几个常用初等函数级数的泰勒展式：
例2.17[7]将 在 处展开成幂级数。
解：因为 在 内解析，且
所以，在 时，将两式想乘，得到
例2.18[8] 求 在 处的泰勒展开式。
解：分析题目，我们可以这样解。我们已经知道两个初等函数的幂级数展开式，即其泰勒级数展开式，如下：
（1）
（2）
所以，我们只需将（2）式代入（1）式，即将（2）式代入（1）的z中。这样，我们经过计算可以得到
例2.19[8] 将 在 处展开成泰勒级数。
解：我们来进行简单的分析。此题，不能直接利用已经得到的函数展开式来间接求解。我们只能想办法将其化为带有我们已经知道展开式的函数的形式，再进行展开。如下
并且，我们已经知道以下函数的泰勒级数
所以，我们可以得到
，
综上所述，我们最终可以得到
=
= - （ ）
= ，
小结：我们都知道，不是每一题的函数都可以直接作泰勒展开。反而是复杂的多一点，都要间接的进行求其幂级数展开式，这就要我们对已经得到的一些初等函数的展开式进行熟记，也必须对这些展式很熟练。同时，也要学会先判断 在 处的解析性。
總之，不管是直接或者是间接去求某函数展开成泰勒级数的形式，都必须对已得到的展式很熟练。特别是间接法，都必须以先找到一个已经得到展开式的函数为前提。
2.7 泰勒展式在讨论级数收敛性中的应用
例2.20[9] 看下面级数，试讨论其收敛性
解：我们知道函数 的泰勒展式
我们可以利用将其展式取到 ，得
.
又因为我们可以知道
（即 时， 和 同阶） ， 级数 收敛。
所以，级数 也收敛。
小结：虽然看起来步骤有点多，但思路很清晰，也易懂。如果不利用泰勒展式来解答，会更麻烦，步骤也会更多。盲目的选择考虑级数 （ ）就要花很多时间，并且不容易达到目的。
判别收敛性，除了达朗贝尔（比式）判别法和柯西（根式）判别法，我们还可以利用泰勒展式来求解。用泰勒展式求收敛性的方法往往被忽视。
2.8 泰勒展式在高阶导数与偏导数中的应用
相关定理：
定理2.2[2] 若函数 在点 存在直到 阶的导数，则有
其中， ，是其余项， 的高阶无穷小量。
定理2.3[2] 若函数 在点 处的某邻域 上有直到 阶的连续偏导数，则对 内任一点 ，存在相应的 ，使得
其中，
若在公式
中只要求余项 ，则仅需 在邻域 上存在直到 阶的连续偏导数，便有： [1]
综上，可以得到的泰勒展式为
常用函数高阶导数公式[15]：
（1）. （ 为任意实数）
（2）. （ ， 为常数， 为任意实数）
（3）.
（4）.
（5）.
例2.21 写出函数 取到 的泰勒展式。
解：由题意，可以得到
其中， .
通过计算，我们可以得到 ：
于是，最终可以得到
例2.22[10] 利用泰勒展式
的唯一性，求函数的 阶导数： .
分析：为了方便表述，可以记 ，那么 。再作适当变换，可以得到
解：记 ，那么 ，所以可以得到
我们可以得到
又由 ，可以得到
其中， 的系数为
将 的展开式中的 的系数 和上式比较，得
例2.23 设 在[-1，1]上有三阶连续导数，且 ， ， ，则存在一点 ，使得 。
证： ，由泰勒展开式
（即在 时的泰勒展式）可以得到
，其中 在0和 之间，把 ， ， 代入其中，可得
，
从上述两式，可得
又因为 在 上有三阶连续导数，所以 的三阶导数在 上有最大值 ，最小值 ，使
由连续函数介值定理： ，使得
，得证。
小结：泰勒展式也可以应用在导数和偏导数中。
总结
在解决高等数学中遇到的特殊问题，如果能运用好泰勒公式和泰勒展式来解答，有些时候就会取得事半功倍的效果。本文主要以泰勒展式的应用为主，首先是应用泰勒展式求极限，进行近似计算，求极值，证明积分，再到证明不等式，求初等函数的幂级数展开式，判断级数的敛散性，最后求高阶导数与偏导数在某些点的数值。经历了泰勒展式的初步应用到较为成熟复杂的一个过程。
泰勒公式及其展式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的重要工具和方法。它贯穿大学四年专业知识学习的整个过程，内容丰富，涉及面广。
泰勒展式在高等数学解题中应用较为广泛，复变函数论、微分方程、实变函数与泛函分析、高等代数、数学分析等课程中都有涉及，且都是重要知识点。我主要从泰勒展式在数学分析和复变函数论这两个课程中涉及的，部分知识点的应用来展开我的论文设计与书写。
参考文献：
[1] 华东师范大学数学系 编 .数学分析上册[M].第4版 北京：高等教育出版2010.7 ：137-148，231-234.
[2] 华东师范大学数学系 编 .数学分析下册[M].第4版 北京：高等教育出版社 2010.6：55-57，136-145.
[3] 陈晓萌 .泰勒公式在不等式中的应用[J] . 昌潍师专学报 ，2000.
[4] 腾加俊.吉米多维奇数学分析习题集精选精讲[M] .东南大学出版社2010.7：137-144，281-293.
[5] 王新，任佩文 .泰勒展开式不同形式的各种应用[J] . 高等函授学报（自然科学版）2009.
[6] 赵显曾，黄安才.数学分析的方法与解題[M].陕西师范大学出版社2005.8
[7] 钟玉泉 编 .复变函数论[M] .第4版 北京：高等教育出版社，2013.8：156- 161.
[8] 白艳萍 ，雷英杰， 杨明 编著 .复变函数与积分变换[M]. 北京：国防工业出版社，2004.8：80-88.
[9] 费定晖，周学圣 编演.吉米多维奇数学分析习题集题解[M] .第四版，山东科学技术出版社2012：34-90.
[10] R 柯朗，F 约翰.微积分和数学分析引论[M] .科学出版社，2011.
[11] 谭欣欣 编著.复变函数：全程学习指导[M] .大连：理工大学出版社，2003.12：129-169.
[12] 石辛民 ，翁智 编著 .复变函数及其应用[M] .北京：清华大学出版社，2012.11：98-100.
[13] 刘玉链 ，傅沛仁.数学分析讲义[M] .高等教育出版社2008：244-266.
[14] 张励.泰勒公式的应用[J].天津：轻工业学院学报，1999.
[15] 于力，刘三阳 .带皮亚诺余项的泰勒展开式及其应用[J].高等数学研究，2003年第9期.
[16] 裴莉.探讨泰勒公式在高等数学中的运用[J] .中国电子商务，2010.
[17] 马訾伟 ，闫晓红.数学分析讲义[M] .中国时代经济出版社2009..
[18] 李惜雯.数学分析典型例题分析[M] .西安交通大学出版社2013.11：641-678.
[19] 太原理工大学数学学院. 数学分析教本[M] . 科学出版社2015.7.
[20] 吴良森，毛羽辉 ，宋国栋，魏木生. 数学分析习题精解：单变量部分[M] .科学出版社2002：120-128.
[21] [美] F 施依德.数学分析[M] .科学出版社，2012.