论文部分内容阅读
【摘要】学生普遍反映函数最难学，抽象，不具体.由此，与教学实践结合，提取函数的“框架”，化抽象为具体，化“无形”为“有形”，脱离函数自变量的约束，提高学生对函数抽象性的理解，开拓数学的整体思维，对中等数学、高等数学的函数学习都有很大的帮助.
【关键词】数学学习效率；函数；实践.
一、提取函数的“框架”，化抽象为具体，化“无形”为“有形”
学生在学习函数时，往往受函数解析式f(x)中x的束缚，将变量的形式进行变化以后，往往混淆不清，无从下手.函数难学与学生所处年龄阶段的思维结构也有关系.科学研究得出结论，少年期或初中阶段主要是以经验型为主的抽象逻辑思维；青年初期或高中阶段主要是以理论型为主的抽象逻辑思维.初中起点五年制专科层次学生的入学年龄一般都是15~16岁，年龄小，抽象思维能力还不够强，对数学的理解大多停留在表面，依赖形象、直观的问题展示方式.在这批学生函数的教学实践中，笔者提出了函数“框架”的概念.
何为函数框架？通俗地说，就是在一个函数当中，将自变量“捂住不看”，用括号代替，其他运算不变，即可看为是一种框架或者结构.如：f(x)=sin3x的框架为f( )=sin3()，即对自变量先扩大3倍，再求正弦值.又如，f(x)=sin3x+π4的框架为f( )=sin3( )+π4等.等式左右两边括号里“放”的东西要一样.
二、函数框架是教学中有指导意义的思想方法
1.运用函数框架有助于逆向思维的培养
数学归纳法第三步的证明可以用函数框架对应来解决.
如用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6.
证明 第三步：当n=k+1时，
12+22+32+…+k2+（k+1）2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2.
在n(n+1)(2n+1)6的框架中用k+1代替n，即要证明
k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2
=(k+1)(k+1+1)［2(k+1)+1］6
=(k+1)(k+2)(2k+3)6.
比较框架，16和k+1是共同的因式，
则将k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2先通分，提出16(k+1)，剩下的部分应该与(k+2)(2k+3)相等，则做一次因式分解即可.这样就得到了证明.公式13+23+33+…+n3=［n(n+1)］24也可用同样的方法很容易得到证明.
2.“框架式”对应的思想促进了数学中“整体思想”的形成和运用
运用一：初学阶段帮助学生求函数周期并理解其意义.
等式f(x+T)=f(x)左右两边应该是具有相同的函数结构.即将x和x+T用括号代替以后，就完全一样，此时T是函数的周期.
如：cosx=cos(x+2π)，两边的框架都为f( )=cos( )，函数y=cosx周期为2π，那么，f(x)=cos2x的周期为什么是π呢？从函数框架的角度可以这样给学生解释：
因为f(x)=cos2x的框架为f( )=cos2( )，所以求周期时最后也要化成这种框架的形式，因此cos2x=coss(2x+2π)=cos［2(x+π)］，即将x+π代替x，函数值不变.所以π是f(x)=cos2x的周期.同样的方法可得，求f(x)=cos2x+π4的周期时，应该要保留框架f( )=cos2( )+π4.故cos2x+π4=cos2x+π4+2π=cos2(x+π)+π4，对比可得π是周期.由此可以进一步得出f(x)=cos(ωx+φ)（ω>0）的周期是Ｔ＝2πω.
运用二：复合函数求导数.
在高等数学中，复合函数求导数的步骤学生往往出现遗漏，或者分不清求导的先后顺序.在此，笔者也引入框架对应的整体思想，帮助理解和把握.
复合函数一般形式为y=f［φ(x)］，导数y′=f′［φ(x)］•φ′(x)dx.即将φ(x)看成一个整体，先在f( )的框架里对φ(x)求导.第二步，再在φ(x)的框架里对x求导.最后两步相乘.如果φ(x)又是一个复合函数，那么，继续求导数，依次类推，最后所有的求导步骤全部相乘.
例 已知函数f(x)=cos［(lnx)2+3］，求f′(x).
分析 复合函数求导数是将分解的基本初等函数按照由外向里的顺序分别求导数再相乘的.因此，我们也可引入框架，让求导的先后顺序更加明了.该函数的框架为f( )=cos［(ln( ))2+3］：先求对数，再平方加3，最后再求余弦值.因为加一个常数不影响导数，所以对数值平方再加3可当成一步求导.按照由外向里的顺序求导为：先对余弦求导，再对平方加3求导，最后对对数求导.然后全部相乘.即：
f(x)=cos′( )(( )2+3)′(lnx)′dx=-sin( )2( )1xdx.每一步求导之后括号里的整体与求导之前保持一致，即只要对应着将括号里的整体放进去，最后得f′(x)=-sin［(lnx)2+3］•2lnx•1xdx.
由此可以看到，函数框架的思想和方法确实能使思路更加清晰，做题更加简洁，也不易出错.尤其是能更深层次的理解函数的抽象意义，举一反三，提高学习效率，培养数学能力.
本文系2008年度湖南第一师范学院院级课题“全科型小学教师数学能力培养的实践研究”（课题编号为XYS08N12）的阶段性研究成果.
【关键词】数学学习效率；函数；实践.
一、提取函数的“框架”，化抽象为具体，化“无形”为“有形”
学生在学习函数时，往往受函数解析式f(x)中x的束缚，将变量的形式进行变化以后，往往混淆不清，无从下手.函数难学与学生所处年龄阶段的思维结构也有关系.科学研究得出结论，少年期或初中阶段主要是以经验型为主的抽象逻辑思维；青年初期或高中阶段主要是以理论型为主的抽象逻辑思维.初中起点五年制专科层次学生的入学年龄一般都是15~16岁，年龄小，抽象思维能力还不够强，对数学的理解大多停留在表面，依赖形象、直观的问题展示方式.在这批学生函数的教学实践中，笔者提出了函数“框架”的概念.
何为函数框架？通俗地说，就是在一个函数当中，将自变量“捂住不看”，用括号代替，其他运算不变，即可看为是一种框架或者结构.如：f(x)=sin3x的框架为f( )=sin3()，即对自变量先扩大3倍，再求正弦值.又如，f(x)=sin3x+π4的框架为f( )=sin3( )+π4等.等式左右两边括号里“放”的东西要一样.
二、函数框架是教学中有指导意义的思想方法
1.运用函数框架有助于逆向思维的培养
数学归纳法第三步的证明可以用函数框架对应来解决.
如用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6.
证明 第三步：当n=k+1时，
12+22+32+…+k2+（k+1）2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2.
在n(n+1)(2n+1)6的框架中用k+1代替n，即要证明
k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2
=(k+1)(k+1+1)［2(k+1)+1］6
=(k+1)(k+2)(2k+3)6.
比较框架，16和k+1是共同的因式，
则将k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2先通分，提出16(k+1)，剩下的部分应该与(k+2)(2k+3)相等，则做一次因式分解即可.这样就得到了证明.公式13+23+33+…+n3=［n(n+1)］24也可用同样的方法很容易得到证明.
2.“框架式”对应的思想促进了数学中“整体思想”的形成和运用
运用一：初学阶段帮助学生求函数周期并理解其意义.
等式f(x+T)=f(x)左右两边应该是具有相同的函数结构.即将x和x+T用括号代替以后，就完全一样，此时T是函数的周期.
如：cosx=cos(x+2π)，两边的框架都为f( )=cos( )，函数y=cosx周期为2π，那么，f(x)=cos2x的周期为什么是π呢？从函数框架的角度可以这样给学生解释：
因为f(x)=cos2x的框架为f( )=cos2( )，所以求周期时最后也要化成这种框架的形式，因此cos2x=coss(2x+2π)=cos［2(x+π)］，即将x+π代替x，函数值不变.所以π是f(x)=cos2x的周期.同样的方法可得，求f(x)=cos2x+π4的周期时，应该要保留框架f( )=cos2( )+π4.故cos2x+π4=cos2x+π4+2π=cos2(x+π)+π4，对比可得π是周期.由此可以进一步得出f(x)=cos(ωx+φ)（ω>0）的周期是Ｔ＝2πω.
运用二：复合函数求导数.
在高等数学中，复合函数求导数的步骤学生往往出现遗漏，或者分不清求导的先后顺序.在此，笔者也引入框架对应的整体思想，帮助理解和把握.
复合函数一般形式为y=f［φ(x)］，导数y′=f′［φ(x)］•φ′(x)dx.即将φ(x)看成一个整体，先在f( )的框架里对φ(x)求导.第二步，再在φ(x)的框架里对x求导.最后两步相乘.如果φ(x)又是一个复合函数，那么，继续求导数，依次类推，最后所有的求导步骤全部相乘.
例 已知函数f(x)=cos［(lnx)2+3］，求f′(x).
分析 复合函数求导数是将分解的基本初等函数按照由外向里的顺序分别求导数再相乘的.因此，我们也可引入框架，让求导的先后顺序更加明了.该函数的框架为f( )=cos［(ln( ))2+3］：先求对数，再平方加3，最后再求余弦值.因为加一个常数不影响导数，所以对数值平方再加3可当成一步求导.按照由外向里的顺序求导为：先对余弦求导，再对平方加3求导，最后对对数求导.然后全部相乘.即：
f(x)=cos′( )(( )2+3)′(lnx)′dx=-sin( )2( )1xdx.每一步求导之后括号里的整体与求导之前保持一致，即只要对应着将括号里的整体放进去，最后得f′(x)=-sin［(lnx)2+3］•2lnx•1xdx.
由此可以看到，函数框架的思想和方法确实能使思路更加清晰，做题更加简洁，也不易出错.尤其是能更深层次的理解函数的抽象意义，举一反三，提高学习效率，培养数学能力.
本文系2008年度湖南第一师范学院院级课题“全科型小学教师数学能力培养的实践研究”（课题编号为XYS08N12）的阶段性研究成果.