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摘 要：奈奎斯特稳定判据是自动控制原理课程中的难点之一，内容抽象难懂，学生普遍反映理解困难。本文针对奈奎斯特稳定性判据的教和学的问题，提出了新的教学思路。经过教学实践证明，教学过程可以增进学生对于问题的理解，产生学习兴趣，提高教学质量。
关键词：奈奎斯特稳定性判据 ;自动控制原理;频域分析法
“自动控制原理”课程是自动化专业、电类相关专业的重要的专业基础课，是学好后续专业课程的重要基礎。”自动控制原理”课程理论性强，较为抽象，具有一定的深度和难度， 其中奈奎斯特稳定判据是频域分析法中比较重要的概念和内容，它使用方便，便于推广，同时也是比较难以理解和分析的部分。本文作者根据自己的教学实践，在本篇论文中探讨了一种效果良好的教学策略。
一、教与学中存在的问题和现状
根据笔者的一线教学观察，注意到“奈奎斯特稳定性判据”教与学中存在的问题与现状有三个方面。
（一）奈奎斯特稳定判据推导的教与学的困难
奈奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数的幅角定理，奈奎斯特稳定判据通过合理选择了辅助方程及奈奎斯特轨迹，将幅角定理与控制系统稳定性结合在一起，推导出了奈奎斯特稳定判据。目前，教材中奈奎斯特稳定性判据的引出重数学推导过程，大多数老师的教学同样偏重数学推理。一部分复变函数未学好的同学存在一定的基础缺陷，看到复数的计算和应用感到茫然有压力，看不懂书又跟不上老师讲的推导，直接导致了学习效果不佳。
（二）开环极点是否包括原点与奈奎斯特稳定判据的应用问题
奈奎斯特稳定判据，以上海电力大学采用的由杨平主编的“自动控制原理”[1]教材为例，对应开环传递函数在原点处是否存在极点及映射的对称性，分为奈奎斯特稳定判据1，奈奎斯特稳定判据2及实用奈奎斯特判据三种判据。教学过程中教师虽明确指出各种判据的应用背景及步骤，但大多数初学同学还是会茫然无措。从课后作业来看，大多数同学能较好的应用相对简单的奈奎斯特判据1，针对原点处不存在开环极点的0型系统进行稳定性判定。若原点处存在开环极点，即1，2型系统，作业错误率就很高，尤其增补特性曲线的绘制常常是生搬硬套，稀里糊涂。这反映出部分学生并未能一次性的理解掌握相关知识，尤其增补特性曲线的绘制概念不清。
（三）是否非最小相位系统的奈奎斯特稳定性判据的应用问题
大多数教材在奈奎斯特稳定判据部分的篇幅并不大，较少提及奈奎斯特稳定性判据在非最小相位系统稳定性中的应用。授课老师由于教学课时的有限，也很少提及这部分内容，甚至不讲。值得一提的是，基于奈奎斯特稳定判据的非最小相位系统稳定性判定是考研中的常考内容，学生书到用时方恨少，处理非最小相位系统的稳定性判定时会毫无头绪不加区分，反映了本科教学中的不足。
二、教学策略的探讨
（一）将MATLAB仿真引入到理论教学中
奈奎斯特稳定性判据理论推导的主要难点，在于选择了包围右半平面的奈奎斯特轨迹，根据辅助函数映射成奈奎斯特曲线的教学过程。传统教学可能采用板书或者PPT，映射的奈奎斯特曲线也不具备代表性。考虑到上述教与学的问题，笔者近年来在教学过程中采用递进式教学，利用MATLAB软件编程，将幅角定理中围绕右半平面的奈奎斯特曲线，如何点对点的映射为奈奎斯特曲线的过程，以动态递进式的映射过程展现在学生面前。开环系统有针对性的选择 三个系统作为案例，三个系统的开环奈奎斯特曲线较基础，可验证，作为启发引导学生初步理解奈奎斯特稳定判据较合理。教学过程直观生动，将学生从纯数学推理中解脱了出来，学习过程通俗易懂不再枯燥，实现了抽象的理论与具体案例有机结合。其中利用了pause（ ）函数完成动态显示，虚轴的无穷大，无穷用正负10000近似，而动态变化过程的取点可通过调试观察，合理选择。例如图1为教学过程中 系统的映射演示图，曲线映射的前期，0～1之间，映射点移动较大，将其按小步长0.05为间隔进行绘制，动态展示映射过程，而至后期可以加大步长，立足于能表现映射概略图即可。
（二）教学内容更系统，结论更统一
文章上述已经提出传统教学过程中存在奈奎斯特稳定判据的传统课堂教学内容较为初级，对于特殊系统的引导性教学不足的客观问题，这使得学生在特殊或者复杂的系统面前应用奈奎斯特稳定判据分析的知识储备不够完备。笔者认为在教学内容上应该更加丰富更加系统，除了基础简单系统的判据应用，应适当补充特殊系统的奈奎斯特稳定判据的应用的知识。
图2为笔者在教学内容上的知识架构。奈奎斯特判据根据系统是否存在位于原点处的开环极点推导出奈奎斯特判据1及奈奎斯特判据2，而二者都可以简化为 范围通过穿越次数判定稳定的实用奈奎斯特判据。
教学采用案例及递进式过程：
1. 由0型和1，2型最小相位系统（案例教学）进行基本概念的梳理，确定奈奎斯特判据1及2的基本概念及应用步骤;
2. 展开与上述案例有相关性的1，2型非最小相位系统的稳定性判据应用的讨论。笔者采用的对比案例为
其中每组的映射对应可结合Matlab编程，将实际的映射过程动态呈现，结合理论分析导出结论。
3. 展开虚轴上有其他极点系统的案例的讨论，例如 ，比较其相似性和不同点，找到解题思路和稳定判据的应用结论。
4. 结合较为复杂的案例，引出实用奈奎斯特稳定判据的必要性。例如选用杨平主编《自动控制原理》中的例题6-6， ，引导学生分别完成数圈及计算穿越的方法进行N的计算，分析参数K对于系统稳定性的影响。教学过程启发引导，将本例与已讲的判据1，2及例题相结合，为学生构建奈奎斯特稳定判据的完整体系。
（三）精选例题
在教学过程中，选择合理的例题，彼此之间有一定的相关性，同时又能对应奈奎斯特稳定判据使用的各种情况，也能使得教学效果事半功倍，学生有递进式的学习过程。笔者在教学过程中，选择如下实例，其结构分别对应0型，1，2型及虚轴有其他极点等情况，又包含了最小相位系统和非最小相位系统，教学过程启发式教学，让学生在如下实例中独立思考，对比其题目的异同，找到处理各类问题的主要方法和窍门。 （四）增加工程案例
纯粹的理论教学对于学生的专业发展来说时不够的，应尝试在科普期刊中寻找涉及到自动化控制系统中使用奈奎斯特稳定判据方面的文章，向学生介绍文章中所应用到的奈奎斯特稳定判据的理论知识，让学生了解科技前沿与所学知识的相关性。比如笔者在教学过程中摘选赵睿等发表的论文《基于奈奎斯特准则的换流变压器直流偏磁引发谐波不稳定的研究》[2]作为案例，将当前的电力技术发展与教学内容相结合，起到了很好的教学效果。
（五） 教学过程融入思政元素
在全国高校思想政治工作会议上，课堂教学这一渠道，各类课程要与思政课同向同行，把“立德树人”作为教育的根本任务。在奈奎斯特稳定判据的课程教学中，也应充分挖掘课程思政教育的功能，引导学生树立正确的三观，同时激发学生的学习热情。
（1）教学中应引入奈奎斯特判据的历史背景介绍，介绍奈奎斯特的科学贡献及成果，奈奎斯特判据由奈奎斯特在1932年发表论文“Regeneration Theory”确定主要内容，该论文被称为是二十世纪自动控制领域中最有影响的25篇经典论文之一。课堂教学以古知今，有助于为学生树立社会责任意识，提高学生学习该课程的兴趣和主动性;
（2）在课堂教学中力求与专业紧密结合，给学生介绍当前奈奎斯特稳定判据的具体应用，尝试在科普期刊中寻找涉及到工程技术研究使用奈奎斯特穩定判据方面的文章，向学生介绍文章中所应用到的奈奎斯特稳定判据的理论知识，让学生了解科技前沿与所学知识的相关性。
三、结语
笔者根据一线的教学观察及及经验，总结了“自动控制原理”课程中奈奎斯特稳定判据教与学中存在的不足，并针对性的进行了解决这些问题的教学探讨。通过教学实践证明，学生们在这样的教学过程中，能更快更全面的掌握知识，达到了良好的教学效果。
参考文献：
[1]杨平等.自动控制原理——理论篇（第二版）[M] .中国电力出版社，2009.
[2]赵睿等.基于奈奎斯特准则的换流变压器直流偏磁引发谐波不稳定的研究[J]. 南方电网技术，2018（12）：30-36.
[3]张倩.递进式讲授教学法在Nyquist稳定判据教学中的设计及应用[J].电气电子教学学报，2016（10）：69-71.
[4]黄莹，陈恩策，唐厚君. Nyquist 判据在特殊系统应用上的改进[J]. 哈尔滨理工大学学报，2013（18）： 16-19.
作者简介：余洁（1972.12），女，汉，四川渠县，硕士，副教授，研究方向：控制工程.
关键词：奈奎斯特稳定性判据 ;自动控制原理;频域分析法
“自动控制原理”课程是自动化专业、电类相关专业的重要的专业基础课，是学好后续专业课程的重要基礎。”自动控制原理”课程理论性强，较为抽象，具有一定的深度和难度， 其中奈奎斯特稳定判据是频域分析法中比较重要的概念和内容，它使用方便，便于推广，同时也是比较难以理解和分析的部分。本文作者根据自己的教学实践，在本篇论文中探讨了一种效果良好的教学策略。
一、教与学中存在的问题和现状
根据笔者的一线教学观察，注意到“奈奎斯特稳定性判据”教与学中存在的问题与现状有三个方面。
（一）奈奎斯特稳定判据推导的教与学的困难
奈奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数的幅角定理，奈奎斯特稳定判据通过合理选择了辅助方程及奈奎斯特轨迹，将幅角定理与控制系统稳定性结合在一起，推导出了奈奎斯特稳定判据。目前，教材中奈奎斯特稳定性判据的引出重数学推导过程，大多数老师的教学同样偏重数学推理。一部分复变函数未学好的同学存在一定的基础缺陷，看到复数的计算和应用感到茫然有压力，看不懂书又跟不上老师讲的推导，直接导致了学习效果不佳。
（二）开环极点是否包括原点与奈奎斯特稳定判据的应用问题
奈奎斯特稳定判据，以上海电力大学采用的由杨平主编的“自动控制原理”[1]教材为例，对应开环传递函数在原点处是否存在极点及映射的对称性，分为奈奎斯特稳定判据1，奈奎斯特稳定判据2及实用奈奎斯特判据三种判据。教学过程中教师虽明确指出各种判据的应用背景及步骤，但大多数初学同学还是会茫然无措。从课后作业来看，大多数同学能较好的应用相对简单的奈奎斯特判据1，针对原点处不存在开环极点的0型系统进行稳定性判定。若原点处存在开环极点，即1，2型系统，作业错误率就很高，尤其增补特性曲线的绘制常常是生搬硬套，稀里糊涂。这反映出部分学生并未能一次性的理解掌握相关知识，尤其增补特性曲线的绘制概念不清。
（三）是否非最小相位系统的奈奎斯特稳定性判据的应用问题
大多数教材在奈奎斯特稳定判据部分的篇幅并不大，较少提及奈奎斯特稳定性判据在非最小相位系统稳定性中的应用。授课老师由于教学课时的有限，也很少提及这部分内容，甚至不讲。值得一提的是，基于奈奎斯特稳定判据的非最小相位系统稳定性判定是考研中的常考内容，学生书到用时方恨少，处理非最小相位系统的稳定性判定时会毫无头绪不加区分，反映了本科教学中的不足。
二、教学策略的探讨
（一）将MATLAB仿真引入到理论教学中
奈奎斯特稳定性判据理论推导的主要难点，在于选择了包围右半平面的奈奎斯特轨迹，根据辅助函数映射成奈奎斯特曲线的教学过程。传统教学可能采用板书或者PPT，映射的奈奎斯特曲线也不具备代表性。考虑到上述教与学的问题，笔者近年来在教学过程中采用递进式教学，利用MATLAB软件编程，将幅角定理中围绕右半平面的奈奎斯特曲线，如何点对点的映射为奈奎斯特曲线的过程，以动态递进式的映射过程展现在学生面前。开环系统有针对性的选择 三个系统作为案例，三个系统的开环奈奎斯特曲线较基础，可验证，作为启发引导学生初步理解奈奎斯特稳定判据较合理。教学过程直观生动，将学生从纯数学推理中解脱了出来，学习过程通俗易懂不再枯燥，实现了抽象的理论与具体案例有机结合。其中利用了pause（ ）函数完成动态显示，虚轴的无穷大，无穷用正负10000近似，而动态变化过程的取点可通过调试观察，合理选择。例如图1为教学过程中 系统的映射演示图，曲线映射的前期，0～1之间，映射点移动较大，将其按小步长0.05为间隔进行绘制，动态展示映射过程，而至后期可以加大步长，立足于能表现映射概略图即可。
（二）教学内容更系统，结论更统一
文章上述已经提出传统教学过程中存在奈奎斯特稳定判据的传统课堂教学内容较为初级，对于特殊系统的引导性教学不足的客观问题，这使得学生在特殊或者复杂的系统面前应用奈奎斯特稳定判据分析的知识储备不够完备。笔者认为在教学内容上应该更加丰富更加系统，除了基础简单系统的判据应用，应适当补充特殊系统的奈奎斯特稳定判据的应用的知识。
图2为笔者在教学内容上的知识架构。奈奎斯特判据根据系统是否存在位于原点处的开环极点推导出奈奎斯特判据1及奈奎斯特判据2，而二者都可以简化为 范围通过穿越次数判定稳定的实用奈奎斯特判据。
教学采用案例及递进式过程：
1. 由0型和1，2型最小相位系统（案例教学）进行基本概念的梳理，确定奈奎斯特判据1及2的基本概念及应用步骤;
2. 展开与上述案例有相关性的1，2型非最小相位系统的稳定性判据应用的讨论。笔者采用的对比案例为
其中每组的映射对应可结合Matlab编程，将实际的映射过程动态呈现，结合理论分析导出结论。
3. 展开虚轴上有其他极点系统的案例的讨论，例如 ，比较其相似性和不同点，找到解题思路和稳定判据的应用结论。
4. 结合较为复杂的案例，引出实用奈奎斯特稳定判据的必要性。例如选用杨平主编《自动控制原理》中的例题6-6， ，引导学生分别完成数圈及计算穿越的方法进行N的计算，分析参数K对于系统稳定性的影响。教学过程启发引导，将本例与已讲的判据1，2及例题相结合，为学生构建奈奎斯特稳定判据的完整体系。
（三）精选例题
在教学过程中，选择合理的例题，彼此之间有一定的相关性，同时又能对应奈奎斯特稳定判据使用的各种情况，也能使得教学效果事半功倍，学生有递进式的学习过程。笔者在教学过程中，选择如下实例，其结构分别对应0型，1，2型及虚轴有其他极点等情况，又包含了最小相位系统和非最小相位系统，教学过程启发式教学，让学生在如下实例中独立思考，对比其题目的异同，找到处理各类问题的主要方法和窍门。 （四）增加工程案例
纯粹的理论教学对于学生的专业发展来说时不够的，应尝试在科普期刊中寻找涉及到自动化控制系统中使用奈奎斯特稳定判据方面的文章，向学生介绍文章中所应用到的奈奎斯特稳定判据的理论知识，让学生了解科技前沿与所学知识的相关性。比如笔者在教学过程中摘选赵睿等发表的论文《基于奈奎斯特准则的换流变压器直流偏磁引发谐波不稳定的研究》[2]作为案例，将当前的电力技术发展与教学内容相结合，起到了很好的教学效果。
（五） 教学过程融入思政元素
在全国高校思想政治工作会议上，课堂教学这一渠道，各类课程要与思政课同向同行，把“立德树人”作为教育的根本任务。在奈奎斯特稳定判据的课程教学中，也应充分挖掘课程思政教育的功能，引导学生树立正确的三观，同时激发学生的学习热情。
（1）教学中应引入奈奎斯特判据的历史背景介绍，介绍奈奎斯特的科学贡献及成果，奈奎斯特判据由奈奎斯特在1932年发表论文“Regeneration Theory”确定主要内容，该论文被称为是二十世纪自动控制领域中最有影响的25篇经典论文之一。课堂教学以古知今，有助于为学生树立社会责任意识，提高学生学习该课程的兴趣和主动性;
（2）在课堂教学中力求与专业紧密结合，给学生介绍当前奈奎斯特稳定判据的具体应用，尝试在科普期刊中寻找涉及到工程技术研究使用奈奎斯特穩定判据方面的文章，向学生介绍文章中所应用到的奈奎斯特稳定判据的理论知识，让学生了解科技前沿与所学知识的相关性。
三、结语
笔者根据一线的教学观察及及经验，总结了“自动控制原理”课程中奈奎斯特稳定判据教与学中存在的不足，并针对性的进行了解决这些问题的教学探讨。通过教学实践证明，学生们在这样的教学过程中，能更快更全面的掌握知识，达到了良好的教学效果。
参考文献：
[1]杨平等.自动控制原理——理论篇（第二版）[M] .中国电力出版社，2009.
[2]赵睿等.基于奈奎斯特准则的换流变压器直流偏磁引发谐波不稳定的研究[J]. 南方电网技术，2018（12）：30-36.
[3]张倩.递进式讲授教学法在Nyquist稳定判据教学中的设计及应用[J].电气电子教学学报，2016（10）：69-71.
[4]黄莹，陈恩策，唐厚君. Nyquist 判据在特殊系统应用上的改进[J]. 哈尔滨理工大学学报，2013（18）： 16-19.
作者简介：余洁（1972.12），女，汉，四川渠县，硕士，副教授，研究方向：控制工程.