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摘要： 分类是基本逻辑方法之一。依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。
分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，它都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。
关键词： 分类讨论 逻辑划分 思维能力
一、分类思想和分类讨论应遵循的原则及步骤
分类讨论应当遵循三个原则：同标准、无遗漏、不重复；分类的步骤是：明确对象的全体——确定分类标准——科学分类——逐类讨论——归纳小结得出结论。
二、引起分类的原因
需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为以下四种类型：①涉及的数学概念是
分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则的局限性或是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的应用。利用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一、不重复、不遗漏，并力求最简。运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。
例题1是因数学定理——余弦定理是在三角形中才能应用的定理这种局限性而要分类的；例题2是因数学概念——直线方程的斜截式是在斜率存在时才能应用的前提下而进行的分类。下面进行简单的举例分析。
例1 在ΔABC中，AB=15，AC=20，高AD=12，求ΔABC的面积S。
分析：本题因未给出图形，由于AB＜AC，故隐藏了角B是锐角还是钝角的前提条件，即角B的定义，而这个条件非常重要，因为三角形的面积在高一定时随底的变化而变化。本题中底又因角B的性质变化而变化，即底为BC或B′C，三角形就有△ABC和△AB′C之分，这样，它的面积的值就有了明显的差别。如图所示：
例2给出定点A（a,0)（a＞0）和直线l∶x=-1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C。求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。
分析：本题考查动点的轨迹、直线与圆锥曲线的基本知识和分类讨论的思想方法。本题中由于参数a的取值不同会造成曲线类型的改变，易错点就是学生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型。
解：依题意，记B（-1，b)，(b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx。
设点C(x,y)，则有0≤x＜a。
由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等。
根据点到直线的距离公式得|y|= ①
依题设，点C在直线AB上，故有
综上，得点C的轨迹方程为
(i)当a=1时，轨迹方程化为y =x(0≤x＜1） ③
此时方程③表示抛物线弧段；
轨迹方程化为 + =1(0≤x＜a) ④
所以当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段；
当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段。
例3设函数f(x)=x +｜x-a｜+1，x∈R。
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求函数f(x)的最小值。
分析：因为解析式中含有绝对值，所以去掉绝对值时要分类讨论。去掉绝对值后还要根据二次函数的对称轴的位置对参数a进行第二级分类讨论。
解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x) +｜-x｜+1=f(x)，
此时f(x)为偶函数。
此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。
（2）①当x≤a时，函数f(x)=x -x+a+1=(x- ) +a+ ，
若a≤ ，则函数f(x)在(-∞,a］上单调递减。
从而函数f(x)在（-∞,a］上的最小值为f(a)=a +1。
若a＞ ，则函数f(x)在（-∞,a］上的最小值为f( )= +a，
且f( )≤f(a)。
②当x≥a时，函数f(x)=x +x-a+1=(x+ ) -a+ ，
若a≤- ，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(- )= -a，
且f(- )≤f(a)；
若a＞- ，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增。
从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a +1。
综上，当a≤- 时，函数f(x)的最小值为 -a；
当- ＜a≤ 时，函数f(x)的最小值是a +1；
当a＞ 时，函数f(x)的最小值是a+ 。
分类讨论是一种重要的数学思想方法和解题策略，但它并非是解决所有问题的上策或良策。因此要注意克服动辄加以讨论的思维定势，充分挖掘数学问题中潜在的特殊性和简单性，尽力打破常规避免不必要的分类讨论。
总结
分类讨论思想渗透到整个中学数学中，它不仅在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着重要作用。学习这种思想方法解决问题，对提高学习思维能力、解决问题的能力有很大作用。但我们也要防止讨论过热，实际上，有些讨论是必然的，而有些讨论是没有必要的。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，它都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。
关键词： 分类讨论 逻辑划分 思维能力
一、分类思想和分类讨论应遵循的原则及步骤
分类讨论应当遵循三个原则：同标准、无遗漏、不重复；分类的步骤是：明确对象的全体——确定分类标准——科学分类——逐类讨论——归纳小结得出结论。
二、引起分类的原因
需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为以下四种类型：①涉及的数学概念是
分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则的局限性或是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的应用。利用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一、不重复、不遗漏，并力求最简。运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。
例题1是因数学定理——余弦定理是在三角形中才能应用的定理这种局限性而要分类的；例题2是因数学概念——直线方程的斜截式是在斜率存在时才能应用的前提下而进行的分类。下面进行简单的举例分析。
例1 在ΔABC中，AB=15，AC=20，高AD=12，求ΔABC的面积S。
分析：本题因未给出图形，由于AB＜AC，故隐藏了角B是锐角还是钝角的前提条件，即角B的定义，而这个条件非常重要，因为三角形的面积在高一定时随底的变化而变化。本题中底又因角B的性质变化而变化，即底为BC或B′C，三角形就有△ABC和△AB′C之分，这样，它的面积的值就有了明显的差别。如图所示：
例2给出定点A（a,0)（a＞0）和直线l∶x=-1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C。求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。
分析：本题考查动点的轨迹、直线与圆锥曲线的基本知识和分类讨论的思想方法。本题中由于参数a的取值不同会造成曲线类型的改变，易错点就是学生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型。
解：依题意，记B（-1，b)，(b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx。
设点C(x,y)，则有0≤x＜a。
由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等。
根据点到直线的距离公式得|y|= ①
依题设，点C在直线AB上，故有
综上，得点C的轨迹方程为
(i)当a=1时，轨迹方程化为y =x(0≤x＜1） ③
此时方程③表示抛物线弧段；
轨迹方程化为 + =1(0≤x＜a) ④
所以当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段；
当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段。
例3设函数f(x)=x +｜x-a｜+1，x∈R。
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求函数f(x)的最小值。
分析：因为解析式中含有绝对值，所以去掉绝对值时要分类讨论。去掉绝对值后还要根据二次函数的对称轴的位置对参数a进行第二级分类讨论。
解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x) +｜-x｜+1=f(x)，
此时f(x)为偶函数。
此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。
（2）①当x≤a时，函数f(x)=x -x+a+1=(x- ) +a+ ，
若a≤ ，则函数f(x)在(-∞,a］上单调递减。
从而函数f(x)在（-∞,a］上的最小值为f(a)=a +1。
若a＞ ，则函数f(x)在（-∞,a］上的最小值为f( )= +a，
且f( )≤f(a)。
②当x≥a时，函数f(x)=x +x-a+1=(x+ ) -a+ ，
若a≤- ，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(- )= -a，
且f(- )≤f(a)；
若a＞- ，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增。
从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a +1。
综上，当a≤- 时，函数f(x)的最小值为 -a；
当- ＜a≤ 时，函数f(x)的最小值是a +1；
当a＞ 时，函数f(x)的最小值是a+ 。
分类讨论是一种重要的数学思想方法和解题策略，但它并非是解决所有问题的上策或良策。因此要注意克服动辄加以讨论的思维定势，充分挖掘数学问题中潜在的特殊性和简单性，尽力打破常规避免不必要的分类讨论。
总结
分类讨论思想渗透到整个中学数学中，它不仅在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着重要作用。学习这种思想方法解决问题，对提高学习思维能力、解决问题的能力有很大作用。但我们也要防止讨论过热，实际上，有些讨论是必然的，而有些讨论是没有必要的。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”