论文部分内容阅读
一、填空题
1．i为虚数单位，则2(1+i)2=________．
2．设全集U=R，集合A={x|x≥1},B={x|0≤x<5},则集合(
瘙 綂 UA)∩B＝________．
3．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按分组，绘制成如图所示的频率分布直方图．则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有________．
4．已知α为第二象限角，且sinα=13,那么sin2α=________．
5．在等差数列{an}中,若a4+a5=15,a7=15,则a2的值为________．
6．阅读下面程序框图，如果输出的函数值在区间14,12〗内，那么输入实数x的取值范围是________．
7．已知向量a=(1,t),b=(-1,t)．若2a-b与b垂直, 则|a|=________．
8．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到．那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为________．
9．设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥α，a∥β，则α∥β；（2）若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
（3）若a∥α，b∥α，则a∥b；（4）若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
上述命题中，所有真命题的序号是________．
10．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
11．已知函数f(x)=sinx-13x,x∈，cosx0=13（x0∈）．
有下列结论：①f(x)在上是减函数；②f(x)在上是减函数；③x∈, f(x)>f(x0)；④x∈, f(x)≥f(x0)．那么结论正确的序号是________．
12．已知f(x)=log2(x-2)，若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值是________．
13．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．定义P（x1,y1）、Q（x2,y2）两点之间的“直角距离”为d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|．已知B（1,0），点M为直线x-y+2=0上动点，则d(B,M)的最小值为________．
14．已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，g(x)=x2-2x+2，若对任意x1∈(0,+∞)，均存在x2∈，使得f(x1) 二、解答题
15．已知函数f(x)=3sin2x-2sin2x．
（Ⅰ）求f(π6)的值；
（Ⅱ）若x∈π6,π3〗，求f(x)的最大值和最小值．
16．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．
（Ⅰ）求证：A1B//平面ADC1；
（Ⅱ）求证：C1A⊥B1C．
17．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)．现已知相距18km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为a,b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC=x（km）．
（Ⅰ）试将y表示为x的函数；
（Ⅱ）若a=1，且x=6时，y取得最小值，试求b的值．
18．如图，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(1,32)，其左、右焦点分别为F1,F2，离心率e=12，M,N是椭圆右准线上的两个动点，且F1M•F2N=0．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求MN的最小值；
（Ⅲ）以MN为直径的圆C是否过定点？
请证明你的结论．
19．已知函数f（x）=x+ax(a∈R), g（x）=lnx.
（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程g（x）x2=f（x）-2e(e为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a的值.
20．已知数列{an}的首项为1，对任意的n∈N*，定义bn=an+1-an．
（Ⅰ） 若bn=n+1，求a4；
（Ⅱ） 若bn+1bn-1=bn(n≥2)，且b1=a,b2=b(ab≠0)．
（i）当a=1,b=2时，求数列{bn}的前3n项和；
（ii）当a=1时，求证：数列{an}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次．
参考答案
一、填空题
1．-i
2．429
5．0
6．
7．2
8．π25
9．（2）（4）
10．2-1
11．②
12．7
13．3
14．a<-1e3
二、解答题
15．解：（Ⅰ）f(π6)=3sinπ3-2sin2π6 =32-2×14=1.
（Ⅱ）f（x）=3sin2x+cos2x-1=2sin(2x+π6)-1.
因为x∈π6,π3〗，所以-π6≤2x+π6≤5π6，
所以 -12≤sin(2x+π6)≤1， 所以f(x)的最大值为1 ，最小值为-2.
16．解：（Ⅰ）连结A1C，设A1C交AC1于点O，连结OD.
因为ACC1A1为正方形，所以O为A1C中点，
又D为BC中点，所以OD为ΔA1BC的中位线，所以A1B//OD.
因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，
所以A1B//平面ADC1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，C1A⊥CA1.
因为侧面ABB1A1是正方形，AB⊥AA1，
且∠BAC=90°，所以AB⊥平面ACC1A1.
又AB//A1B1，所以A1B1⊥平面ACC1A1.
又因为C1A平面ACC1A1，所以A1B1⊥C1A.
所以C1A⊥平面A1B1C.
又B1C平面A1B1C，所以C1A⊥B1C.
17．解：（Ⅰ）设点C受A污染源污染程度为kax2，点C受B污染源污染程度为kb(18-x)2，其中k为比例系数，且k>0．从而点C处受污染程度y=kax2+kb(18-x)2．
（Ⅱ）因为a=1，所以，y=kx2+kb(18-x)2，
y′=k-2x3+2b(18-x)3〗，令y′=0，得x=181+3b，
又此时x=6，解得b=8，经验证符合题意．
所以，污染源B的污染强度b的值为8．
18．解：（Ⅰ）∵e=ca=12，且过点P(1,32)，
∴1a2+94b2=1,a=2c,a2=b2+c2, 解得a=2,b=3, ∴椭圆方程为x24+y23=1.
（Ⅱ）设点M(4,y1),N(4,y2) 则F1M=(5,y1),F2N=(3,y2),F1M•F2N=15+y1y2=0，
∴y1y2=-15， 又∵MN=|y2-y1|=|-15y1-y1|=15|y1|+|y1|≥215，
∴MN的最小值为215．
（Ⅲ）圆心C的坐标为(4,y1+y22)，半径r=|y2-y1|2.
圆C的方程为(x-4)2+(y-y1+y22)2=(y2-y1)24，
整理得：x2+y2-8x-(y1+y2)y+16+y1y2=0.
∵y1y2=-15，∴x2+y2-8x-(y1+y2)y+1=0.
令y=0，得x2-8x+1=0，∴x=4±15. ∴圆C过定点(4±15,0).
19．解: （Ⅰ）函数F（x）=f（x）+g（x）=x+ax+lnx的定义域为（0,+∞）.
∴F′（x）=1-ax2+1x=x2+x-ax2.
① 当Δ=1+4a≤0, 即a≤-14时, 得x2+x-a≥0,则F′（x）≥0.
∴函数F（x）在（0,+∞）上单调递增.
② 当Δ=1+4a>0, 即a>-14时, 令F′（x）=0,得x2+x-a=0,
解得x1=-1-1+4a2<0,x2=-1+1+4a2.
(i) 若-14 ∵x∈（0,+∞）, ∴F′（x）>0,
∴函数F（x）在（0,+∞）上单调递增.
(ii)若a>0,则x∈（0,-1+1+4a2）时, F′（x）<0;
x∈（-1+1+4a2,+∞）时, F′（x）>0,
∴函数F（x）在区间（0,-1+1+4a2）上单调递减, 在区间（-1+1+4a2,+∞）上单调递增.
综上所述, 当a≤0时, 函数F（x）的单调递增区间为（0,+∞）; 当a>0时, 函数F（x）的单调递减区间为（0,-1+1+4a2）, 单调递增区间为（-1+1+4a2,+∞）.
（Ⅱ） 由g（x）x2=f（x）-2e, 得lnxx2=x+ax-2e, 化为lnxx=x2-2ex+a.
令h（x）=lnxx, 则h′（x）=1-lnxx2.
令h′（x）=0, 得x=e.
当00; 当x>e时, h′（x）<0.
∴函数h（x）在区间（0,e）上单调递增, 在区间（e,+∞）上单调递减.
∴当x=e时, 函数h（x）取得最大值, 其值为h（e）=1e.
而函数m（x）=x2-2ex+a=（x-e）2+a-e2,
当x=e时, 函数m（x）取得最小值, 其值为m（e）=a-e2.
∴ 当a-e2=1e, 即a=e2+1e时, 方程g（x）x2=f（x）-2e只有一个根.
20．(Ⅰ) 解：a1=1,a2=a1+b1=1+2=3,a3=a2+b2=3+3=6，
a4=a3+b3=6+4=10.
（Ⅱ）（i）解：因为bn+1bn-1=bn（n≥2），
所以，对任意的n∈N*有bn+6=bn+5bn+4=1bn+3=bn+1bn+2=bn，
即数列{bn}各项的值重复出现，周期为6.
又数列{bn}的前6项分别为1,2,2,1,12,12，且这六个数的和为7.
设数列{bn}的前n项和为Sn，则，
当n=2k(k∈N*)时，S3n=S6k=k(b1+b2+b3+b4+b5+b6)=7k，
当n=2k+1(k∈N*)时，
S3n=S6k+3=k(b1+b2+b3+b4+b5+b6)+b6k+1+b6k+2+b6k+3
=7k+b1+b2+b3=7k+5 ，
所以，当n为偶数时，S3n=72n；当n为奇数时，S3n=7n+32.
（ii）证明：由（i）知：对任意的n∈N*有bn+6=bn，
又数列{bn}的前6项分别为1,b,b,1,1b,1b，且这六个数的和为2b+2b+2.
设cn=a6n+i(n≥0)，（其中i为常数且i∈{1,2,3,4,5,6}），
所以c1=2b+2b+2.
所以cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=2b+2b+2，数列{a6n+i}均为以2b+2b+2为公差的等差数列.
因为b>0时，2b+2b+2>0，b<0时，2b+2b+2≤-2<0，
所以{a6n+i}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.
所以数列{an}中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次.
1．i为虚数单位，则2(1+i)2=________．
2．设全集U=R，集合A={x|x≥1},B={x|0≤x<5},则集合(
瘙 綂 UA)∩B＝________．
3．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按分组，绘制成如图所示的频率分布直方图．则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有________．
4．已知α为第二象限角，且sinα=13,那么sin2α=________．
5．在等差数列{an}中,若a4+a5=15,a7=15,则a2的值为________．
6．阅读下面程序框图，如果输出的函数值在区间14,12〗内，那么输入实数x的取值范围是________．
7．已知向量a=(1,t),b=(-1,t)．若2a-b与b垂直, 则|a|=________．
8．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到．那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为________．
9．设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥α，a∥β，则α∥β；（2）若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
（3）若a∥α，b∥α，则a∥b；（4）若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
上述命题中，所有真命题的序号是________．
10．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
11．已知函数f(x)=sinx-13x,x∈，cosx0=13（x0∈）．
有下列结论：①f(x)在上是减函数；②f(x)在上是减函数；③x∈, f(x)>f(x0)；④x∈, f(x)≥f(x0)．那么结论正确的序号是________．
12．已知f(x)=log2(x-2)，若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值是________．
13．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．定义P（x1,y1）、Q（x2,y2）两点之间的“直角距离”为d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|．已知B（1,0），点M为直线x-y+2=0上动点，则d(B,M)的最小值为________．
14．已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，g(x)=x2-2x+2，若对任意x1∈(0,+∞)，均存在x2∈，使得f(x1)
15．已知函数f(x)=3sin2x-2sin2x．
（Ⅰ）求f(π6)的值；
（Ⅱ）若x∈π6,π3〗，求f(x)的最大值和最小值．
16．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．
（Ⅰ）求证：A1B//平面ADC1；
（Ⅱ）求证：C1A⊥B1C．
17．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)．现已知相距18km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为a,b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC=x（km）．
（Ⅰ）试将y表示为x的函数；
（Ⅱ）若a=1，且x=6时，y取得最小值，试求b的值．
18．如图，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(1,32)，其左、右焦点分别为F1,F2，离心率e=12，M,N是椭圆右准线上的两个动点，且F1M•F2N=0．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求MN的最小值；
（Ⅲ）以MN为直径的圆C是否过定点？
请证明你的结论．
19．已知函数f（x）=x+ax(a∈R), g（x）=lnx.
（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程g（x）x2=f（x）-2e(e为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a的值.
20．已知数列{an}的首项为1，对任意的n∈N*，定义bn=an+1-an．
（Ⅰ） 若bn=n+1，求a4；
（Ⅱ） 若bn+1bn-1=bn(n≥2)，且b1=a,b2=b(ab≠0)．
（i）当a=1,b=2时，求数列{bn}的前3n项和；
（ii）当a=1时，求证：数列{an}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次．
参考答案
一、填空题
1．-i
2．429
5．0
6．
7．2
8．π25
9．（2）（4）
10．2-1
11．②
12．7
13．3
14．a<-1e3
二、解答题
15．解：（Ⅰ）f(π6)=3sinπ3-2sin2π6 =32-2×14=1.
（Ⅱ）f（x）=3sin2x+cos2x-1=2sin(2x+π6)-1.
因为x∈π6,π3〗，所以-π6≤2x+π6≤5π6，
所以 -12≤sin(2x+π6)≤1， 所以f(x)的最大值为1 ，最小值为-2.
16．解：（Ⅰ）连结A1C，设A1C交AC1于点O，连结OD.
因为ACC1A1为正方形，所以O为A1C中点，
又D为BC中点，所以OD为ΔA1BC的中位线，所以A1B//OD.
因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，
所以A1B//平面ADC1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，C1A⊥CA1.
因为侧面ABB1A1是正方形，AB⊥AA1，
且∠BAC=90°，所以AB⊥平面ACC1A1.
又AB//A1B1，所以A1B1⊥平面ACC1A1.
又因为C1A平面ACC1A1，所以A1B1⊥C1A.
所以C1A⊥平面A1B1C.
又B1C平面A1B1C，所以C1A⊥B1C.
17．解：（Ⅰ）设点C受A污染源污染程度为kax2，点C受B污染源污染程度为kb(18-x)2，其中k为比例系数，且k>0．从而点C处受污染程度y=kax2+kb(18-x)2．
（Ⅱ）因为a=1，所以，y=kx2+kb(18-x)2，
y′=k-2x3+2b(18-x)3〗，令y′=0，得x=181+3b，
又此时x=6，解得b=8，经验证符合题意．
所以，污染源B的污染强度b的值为8．
18．解：（Ⅰ）∵e=ca=12，且过点P(1,32)，
∴1a2+94b2=1,a=2c,a2=b2+c2, 解得a=2,b=3, ∴椭圆方程为x24+y23=1.
（Ⅱ）设点M(4,y1),N(4,y2) 则F1M=(5,y1),F2N=(3,y2),F1M•F2N=15+y1y2=0，
∴y1y2=-15， 又∵MN=|y2-y1|=|-15y1-y1|=15|y1|+|y1|≥215，
∴MN的最小值为215．
（Ⅲ）圆心C的坐标为(4,y1+y22)，半径r=|y2-y1|2.
圆C的方程为(x-4)2+(y-y1+y22)2=(y2-y1)24，
整理得：x2+y2-8x-(y1+y2)y+16+y1y2=0.
∵y1y2=-15，∴x2+y2-8x-(y1+y2)y+1=0.
令y=0，得x2-8x+1=0，∴x=4±15. ∴圆C过定点(4±15,0).
19．解: （Ⅰ）函数F（x）=f（x）+g（x）=x+ax+lnx的定义域为（0,+∞）.
∴F′（x）=1-ax2+1x=x2+x-ax2.
① 当Δ=1+4a≤0, 即a≤-14时, 得x2+x-a≥0,则F′（x）≥0.
∴函数F（x）在（0,+∞）上单调递增.
② 当Δ=1+4a>0, 即a>-14时, 令F′（x）=0,得x2+x-a=0,
解得x1=-1-1+4a2<0,x2=-1+1+4a2.
(i) 若-14
∴函数F（x）在（0,+∞）上单调递增.
(ii)若a>0,则x∈（0,-1+1+4a2）时, F′（x）<0;
x∈（-1+1+4a2,+∞）时, F′（x）>0,
∴函数F（x）在区间（0,-1+1+4a2）上单调递减, 在区间（-1+1+4a2,+∞）上单调递增.
综上所述, 当a≤0时, 函数F（x）的单调递增区间为（0,+∞）; 当a>0时, 函数F（x）的单调递减区间为（0,-1+1+4a2）, 单调递增区间为（-1+1+4a2,+∞）.
（Ⅱ） 由g（x）x2=f（x）-2e, 得lnxx2=x+ax-2e, 化为lnxx=x2-2ex+a.
令h（x）=lnxx, 则h′（x）=1-lnxx2.
令h′（x）=0, 得x=e.
当0
∴函数h（x）在区间（0,e）上单调递增, 在区间（e,+∞）上单调递减.
∴当x=e时, 函数h（x）取得最大值, 其值为h（e）=1e.
而函数m（x）=x2-2ex+a=（x-e）2+a-e2,
当x=e时, 函数m（x）取得最小值, 其值为m（e）=a-e2.
∴ 当a-e2=1e, 即a=e2+1e时, 方程g（x）x2=f（x）-2e只有一个根.
20．(Ⅰ) 解：a1=1,a2=a1+b1=1+2=3,a3=a2+b2=3+3=6，
a4=a3+b3=6+4=10.
（Ⅱ）（i）解：因为bn+1bn-1=bn（n≥2），
所以，对任意的n∈N*有bn+6=bn+5bn+4=1bn+3=bn+1bn+2=bn，
即数列{bn}各项的值重复出现，周期为6.
又数列{bn}的前6项分别为1,2,2,1,12,12，且这六个数的和为7.
设数列{bn}的前n项和为Sn，则，
当n=2k(k∈N*)时，S3n=S6k=k(b1+b2+b3+b4+b5+b6)=7k，
当n=2k+1(k∈N*)时，
S3n=S6k+3=k(b1+b2+b3+b4+b5+b6)+b6k+1+b6k+2+b6k+3
=7k+b1+b2+b3=7k+5 ，
所以，当n为偶数时，S3n=72n；当n为奇数时，S3n=7n+32.
（ii）证明：由（i）知：对任意的n∈N*有bn+6=bn，
又数列{bn}的前6项分别为1,b,b,1,1b,1b，且这六个数的和为2b+2b+2.
设cn=a6n+i(n≥0)，（其中i为常数且i∈{1,2,3,4,5,6}），
所以c1=2b+2b+2.
所以cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=2b+2b+2，数列{a6n+i}均为以2b+2b+2为公差的等差数列.
因为b>0时，2b+2b+2>0，b<0时，2b+2b+2≤-2<0，
所以{a6n+i}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.
所以数列{an}中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次.