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摘 要：就《测圆海镜》识别杂记中600多个命题的发现和证明，以及各卷中的一些简明、有趣的算题重新进行整理，将其作为一数学探究课题学习，有目的、有步骤地介绍给中学生。对宏扬传播和发展中国古代数学文化，增强民族自豪感将起到积极的作用。
关键词：中国古代数学；测圆海镜；探究学习
中图分类号：G42 文献标识码：A 文章编号：1009-0118（2010）-12-0197-02
我国著名的数学家和数学史家吴文俊教授说：“研究历史决非是历史癖好而已，其主要目的应在于古为今用。”中国数学的发展源远流长，中华民族有几千年的数学文化传统，它是整个人类文化的重要组成部分。我们不能仅限于在数学课程中指出某某成果比西方早若干年来培养学生的爱国主义情感，而要看中国传统数学的观念、思想、方法在整个人类文化中的地位与贡献。进一步挖掘中国古代数学文化传统，并将中国古代数学中的观念、思想、方法整理出来，更多的渗透融合到数学课程中，必将会使我国数学课程现代化走上健康发展的道路。
现代数学水平已远远超过《测圆海镜》，当今学者对《测圆海镜》的研究都是站在数学史的角度。但历史上一些优秀成果在现代数学中仍有生命力。深入挖掘《测圆海镜》的数学思想，可以发现许多对现代数学有用的东西。主要体现在:
一、德育功能
数学家李冶对朝廷赐予的高官厚禄视若草芥，也不为流言蜚语所动摇，弃官隐居，常常饥寒至不能自存，仍以讲学著书为乐。李冶一生著述很多，其中《测圆海镜》、《益古演段》是我国数学名著。像这些数学家世所罕见的学习和工作精神都是后人的楷模。学生通过学习这些史实，必然会唤起他们严谨的科学思想和坚韧不拨的拼搏精神。也使学生懂得做事必须勤奋认真，专心致志，一丝不苟，特别是学知识，做学问更应该如此，来不得半点虚假。
二、知识教育价值
主要体现在巩固知识、强化技能、引起同化;学生用已有的知识来解决问题，因而丰富了学生原有的认知结构， 兼有同化和顺应的作用，直到信息迁移的作用;能引起新知识的发现或对旧知识的一种新的领悟起顺应作用。
如在下面的问题1中，学生在通过自己探索解决问题的过程中，不仅复习了直角三角形的有关知识，而且能从整体上把握直角三角形中角与角之间、边与边之间、三角形与三角形之间关系，以及直角三角形及其内切圆之间的知识联系。这样就不仅同化了原有认知结构，而且丰富和发展了原有认知结构，同时也使认知结构得到了优化，为今后继续学习奠定了牢固的基础。而在对问题3的探索解决过程中，能引起新知识的发现和对旧知识的一种新的领悟，起顺应作用。
三、发展能力价值
它有利于培养学生发散思维和创造能力。这也是其教育价值最核心的内容和最主要的体现。
同样在问题1、2、3中，要求尽可能多地得出不同的答案，这就给学生进行创造性学习营造了宽松、自由的环境。学生必须打破原有的思维模式，展开联想和想象的翅膀，从多角度、多方位、多层次进行探究，其思维方向和模式的发散性有利于创造性能力的形成。
四、人文教育价值
由于问题1、2、3独特的叙述方式、宽松的解题环境和极富挑战性的解题略，学生在迫切要求下进行数学学习创造了条件，有利于激发学生的好奇心和好胜心增强了学习的内驱力，对数学探索产生浓厚兴趣。由于其宽松的解题环境和答案的多样性，学生可以根据自己的经验、知识水平、认知能力，按自己的意愿选择思维方式解决问题。这样，不同的学生就可以体验不同的数学，不同的学习水平的学生均能有所收获，从而使每位学生都能享受到“做数学”成功的乐趣，增强了他们学习数学的自信心。
下面就《测圆海镜》识别杂记中600多个命题的发现和证明，以及各卷中的一些简明、有趣的算题重新进行整理，将其作为一数学探究课题学习，有目的、有步骤地介绍给中学生。同时不失时机地将《测圆海镜》这部世界数学史上不可多得的珍品介绍给大家，使学生们对中国古代数学史有一定的了解。对宏扬传播和发展中国古代数学文化，增强民族自豪感将起到积极的作用。
由《测圆海镜》这样一个普通的几何图形出发(如图)，我们可以得到一个由浅到深，而且具有很好的层次性和梯度性的“问题串”。学生们通过在不同阶段、不同层次的探究学习，在对勾股形与内切圆的位置关系和数量关系有了进一步的理解的同时又可以从我国古代数学家在“创造过程中的斗争、挫折，以及在建立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。而学生一旦认识到这些，他将不仅获得真知灼见，还将获得顽强地追究他所攻问题的勇气，并且不会因为他们自己的工作并非完美无缺而颓丧。”
从第二卷开始，《测圆海镜》中一共出现了一百七十个问题，它们都是围绕着同一个题设背景而展开。在第二卷开头，李冶作出了以后题目公用的总假设：
假令圆城一所，不知周径，四面开门，门外纵横各有十字大道。其西北十字道头定为干地，其东北十字道头定为艮地，其东南十字道头定为巽地，其西南十字道头定为坤地。所有测望杂法，一一设问如后。
探究问题1：请同学们从图中尽可能多地找出三角形与三角形，三角形的边与边以及内切圆径与三角形各边的等量关系并证明之。
问题1提供了一个开放性数学内容，通过不同学生的探究，探究能力得到相应的提高。1、学生通过主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。可能得到很多公式，不同能力的学生得到的公式的个数可能，复杂程度也不一样；2、各种各样的公式中蕴涵着丰富的数学规律；3、整个教学过程设计是开放的。为学生发现问题、提出问题、给出猜想、解决问题创设情境，为培养学生的创新精神提供机会；4、教师的鼓励、学生的赞扬为每个学生探索研究问题创设良好课堂氛围。
教师应鼓励学生“大胆假设，小心求证”。把自己发现或猜想出的公式随时随地的将它记录下来，再进行认真的证明。
探究问题2：通过计算面积等方法或相似三角形的比例关系，尽可能地找出圆径的计算公式。即:已知各三角形的任意两条边的边长，求圆径。
从常规问题出发，研究数学问题的规律性是数学探究学习的重要方式之一。在原有常规问题基础上，使学生的思维向纵深发展，发散开去，能够启发学生有独创性的理解。 在数学探究性学习中教师首先呈现给学生常规问题，学生解答完之后，教师进一步引导学生进行探究，比如探究更一般的结论，探究更多的情形，通过应用相似三角形的比例关系和“出入相补原理”。
拓展探究问题3：用设未知数立方程的方法求圆径(不必求解方程)。即:已知任一三角形的一条边与另外三角形的另一条边或二条边的边长，求圆径。
问题3可以作为一个探究性课题来进行学习。通过对这一问题的探讨，可以引发出学生们对一元高次方程的探究。
如卷七第十八问：“或问甲丙二人俱在西北隅，甲向东行丙向南行，又乙出南门东行，丁出东门南行，各不知步数而立。四人遥相望见，悉与城参相直。即而相会，甲云我与乙共行了三百九十二步，丙云我与丁共行了六百三十步。”[1]即已知：求D。
解此问题可以得到一个4次方程：
-0.4375x4+766.5x3-16596x2-252393120x+60989241600=0
建立方程的依据是应用公式D2=a5×b4。
在对这类问题进行探究的同时，可以不失时机地将中国古代数学家列方程的思想介绍给学生。列方程可追溯到汉代的《九章算术》，该书中用文字叙述的方法建立了二次方程，但没有明确的未知数概念。随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种普遍的建立方程的方法，天元术便在北宋应运而生。金元数学家李冶决心在前人的基础上，创造一种简便而用途广泛的天元术。他把勾股容圆问题作为一个系统，研究了在各种条件下用天元术求圆径的问题，并在1248年著成了堪称世界上第一流的数学著作《测圆海镜》，它使天元术达到了相当完善的程度。
参考文献:
[1]孔国平.测圆海镜导读.湖北教育出版社,1996,(12).
[2]张维忠.数学·文化与数学课程[M].上海科学教育出版社,1999,(9):119-121.
[3]张奠宙.课程·教材·教法.2003,(6).
[4]高中数学课程标准.数学通报,2002,(4).
[5]Kline M.Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.New York:Oxford University,1972.
关键词：中国古代数学；测圆海镜；探究学习
中图分类号：G42 文献标识码：A 文章编号：1009-0118（2010）-12-0197-02
我国著名的数学家和数学史家吴文俊教授说：“研究历史决非是历史癖好而已，其主要目的应在于古为今用。”中国数学的发展源远流长，中华民族有几千年的数学文化传统，它是整个人类文化的重要组成部分。我们不能仅限于在数学课程中指出某某成果比西方早若干年来培养学生的爱国主义情感，而要看中国传统数学的观念、思想、方法在整个人类文化中的地位与贡献。进一步挖掘中国古代数学文化传统，并将中国古代数学中的观念、思想、方法整理出来，更多的渗透融合到数学课程中，必将会使我国数学课程现代化走上健康发展的道路。
现代数学水平已远远超过《测圆海镜》，当今学者对《测圆海镜》的研究都是站在数学史的角度。但历史上一些优秀成果在现代数学中仍有生命力。深入挖掘《测圆海镜》的数学思想，可以发现许多对现代数学有用的东西。主要体现在:
一、德育功能
数学家李冶对朝廷赐予的高官厚禄视若草芥，也不为流言蜚语所动摇，弃官隐居，常常饥寒至不能自存，仍以讲学著书为乐。李冶一生著述很多，其中《测圆海镜》、《益古演段》是我国数学名著。像这些数学家世所罕见的学习和工作精神都是后人的楷模。学生通过学习这些史实，必然会唤起他们严谨的科学思想和坚韧不拨的拼搏精神。也使学生懂得做事必须勤奋认真，专心致志，一丝不苟，特别是学知识，做学问更应该如此，来不得半点虚假。
二、知识教育价值
主要体现在巩固知识、强化技能、引起同化;学生用已有的知识来解决问题，因而丰富了学生原有的认知结构， 兼有同化和顺应的作用，直到信息迁移的作用;能引起新知识的发现或对旧知识的一种新的领悟起顺应作用。
如在下面的问题1中，学生在通过自己探索解决问题的过程中，不仅复习了直角三角形的有关知识，而且能从整体上把握直角三角形中角与角之间、边与边之间、三角形与三角形之间关系，以及直角三角形及其内切圆之间的知识联系。这样就不仅同化了原有认知结构，而且丰富和发展了原有认知结构，同时也使认知结构得到了优化，为今后继续学习奠定了牢固的基础。而在对问题3的探索解决过程中，能引起新知识的发现和对旧知识的一种新的领悟，起顺应作用。
三、发展能力价值
它有利于培养学生发散思维和创造能力。这也是其教育价值最核心的内容和最主要的体现。
同样在问题1、2、3中，要求尽可能多地得出不同的答案，这就给学生进行创造性学习营造了宽松、自由的环境。学生必须打破原有的思维模式，展开联想和想象的翅膀，从多角度、多方位、多层次进行探究，其思维方向和模式的发散性有利于创造性能力的形成。
四、人文教育价值
由于问题1、2、3独特的叙述方式、宽松的解题环境和极富挑战性的解题略，学生在迫切要求下进行数学学习创造了条件，有利于激发学生的好奇心和好胜心增强了学习的内驱力，对数学探索产生浓厚兴趣。由于其宽松的解题环境和答案的多样性，学生可以根据自己的经验、知识水平、认知能力，按自己的意愿选择思维方式解决问题。这样，不同的学生就可以体验不同的数学，不同的学习水平的学生均能有所收获，从而使每位学生都能享受到“做数学”成功的乐趣，增强了他们学习数学的自信心。
下面就《测圆海镜》识别杂记中600多个命题的发现和证明，以及各卷中的一些简明、有趣的算题重新进行整理，将其作为一数学探究课题学习，有目的、有步骤地介绍给中学生。同时不失时机地将《测圆海镜》这部世界数学史上不可多得的珍品介绍给大家，使学生们对中国古代数学史有一定的了解。对宏扬传播和发展中国古代数学文化，增强民族自豪感将起到积极的作用。
由《测圆海镜》这样一个普通的几何图形出发(如图)，我们可以得到一个由浅到深，而且具有很好的层次性和梯度性的“问题串”。学生们通过在不同阶段、不同层次的探究学习，在对勾股形与内切圆的位置关系和数量关系有了进一步的理解的同时又可以从我国古代数学家在“创造过程中的斗争、挫折，以及在建立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。而学生一旦认识到这些，他将不仅获得真知灼见，还将获得顽强地追究他所攻问题的勇气，并且不会因为他们自己的工作并非完美无缺而颓丧。”
从第二卷开始，《测圆海镜》中一共出现了一百七十个问题，它们都是围绕着同一个题设背景而展开。在第二卷开头，李冶作出了以后题目公用的总假设：
假令圆城一所，不知周径，四面开门，门外纵横各有十字大道。其西北十字道头定为干地，其东北十字道头定为艮地，其东南十字道头定为巽地，其西南十字道头定为坤地。所有测望杂法，一一设问如后。
探究问题1：请同学们从图中尽可能多地找出三角形与三角形，三角形的边与边以及内切圆径与三角形各边的等量关系并证明之。
问题1提供了一个开放性数学内容，通过不同学生的探究，探究能力得到相应的提高。1、学生通过主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。可能得到很多公式，不同能力的学生得到的公式的个数可能，复杂程度也不一样；2、各种各样的公式中蕴涵着丰富的数学规律；3、整个教学过程设计是开放的。为学生发现问题、提出问题、给出猜想、解决问题创设情境，为培养学生的创新精神提供机会；4、教师的鼓励、学生的赞扬为每个学生探索研究问题创设良好课堂氛围。
教师应鼓励学生“大胆假设，小心求证”。把自己发现或猜想出的公式随时随地的将它记录下来，再进行认真的证明。
探究问题2：通过计算面积等方法或相似三角形的比例关系，尽可能地找出圆径的计算公式。即:已知各三角形的任意两条边的边长，求圆径。
从常规问题出发，研究数学问题的规律性是数学探究学习的重要方式之一。在原有常规问题基础上，使学生的思维向纵深发展，发散开去，能够启发学生有独创性的理解。 在数学探究性学习中教师首先呈现给学生常规问题，学生解答完之后，教师进一步引导学生进行探究，比如探究更一般的结论，探究更多的情形，通过应用相似三角形的比例关系和“出入相补原理”。
拓展探究问题3：用设未知数立方程的方法求圆径(不必求解方程)。即:已知任一三角形的一条边与另外三角形的另一条边或二条边的边长，求圆径。
问题3可以作为一个探究性课题来进行学习。通过对这一问题的探讨，可以引发出学生们对一元高次方程的探究。
如卷七第十八问：“或问甲丙二人俱在西北隅，甲向东行丙向南行，又乙出南门东行，丁出东门南行，各不知步数而立。四人遥相望见，悉与城参相直。即而相会，甲云我与乙共行了三百九十二步，丙云我与丁共行了六百三十步。”[1]即已知：求D。
解此问题可以得到一个4次方程：
-0.4375x4+766.5x3-16596x2-252393120x+60989241600=0
建立方程的依据是应用公式D2=a5×b4。
在对这类问题进行探究的同时，可以不失时机地将中国古代数学家列方程的思想介绍给学生。列方程可追溯到汉代的《九章算术》，该书中用文字叙述的方法建立了二次方程，但没有明确的未知数概念。随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种普遍的建立方程的方法，天元术便在北宋应运而生。金元数学家李冶决心在前人的基础上，创造一种简便而用途广泛的天元术。他把勾股容圆问题作为一个系统，研究了在各种条件下用天元术求圆径的问题，并在1248年著成了堪称世界上第一流的数学著作《测圆海镜》，它使天元术达到了相当完善的程度。
参考文献:
[1]孔国平.测圆海镜导读.湖北教育出版社,1996,(12).
[2]张维忠.数学·文化与数学课程[M].上海科学教育出版社,1999,(9):119-121.
[3]张奠宙.课程·教材·教法.2003,(6).
[4]高中数学课程标准.数学通报,2002,(4).
[5]Kline M.Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.New York:Oxford University,1972.