论文部分内容阅读
基本不等式是高考热点问题，也是常考常新的内容.题型通常为填空题，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，但是它在高考中不外乎大小判断、求最值、求取值范围等.基本不等式它形式简单，但其应用灵活，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件，即每个项都是正值，和或积是定值，所有的项能同时相等；而“二定”这个条件是对不等式进行巧妙分拆、组合、添加系数等使之能变成可用基本不等式的形式的关键.倘若要多次用基本不等式求最值，必须保持每次取“=”的一致性.本文从以下几方面的应用来举例说明.
一、 直接求最值型（如f(x)=x+ax, a＞0）
例1 （2008.安徽文）设函数f(x)=2x+1x-1(x<0),则f(x)的最大值为 .
解析： ∵ x＜0
∴ -2x＞,-1x＞0,-2x+(-1x)≥22
∴ f(x)=2x+1x=-(2x+1x)-1≤-22-1当且仅当2x=1x即x=-22时取“=”
二、 有限制条件求最值型
这类问题关键在于利用条件化和或积为定值，需运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.
例2 （2008.江苏）设为x,y,z为正实数，满足x-2y+3z+0，则y2xz的最小值是 .
解析：由x-2y+3z=0得y=y=x+3z2，代入y2xz得，x2+9z2+6xz4xz≥6xz+6xz4xz=3当且仅当x=3z时取“=”
评注：应用基本不等式求最值的难点是如何获得定值的条件，常用的方法有：
（1） 常值代换（“1”的妙用）如例4中a+b2=1代入，经常使用；
（2） 代入消元，即从条件中解出一个字母，然后代入所求的式子进行化简再求最值，如例3；
（3） 配凑法，巧妙分拆、组合、添加系数等使之能变成可用基本不等式的形式，如例2.
三、 “和、积”式求最值型
例3 （2010.重庆）已知x＞0,y＞0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是 .
解析：由已知得8=x+2y+2xy≤(x+2y)+x+2y22，令x+2y=t，则t2+4t-32≥0，解得t≤-8或t≥4，又t＞0，则x+2y≥4
评注：应主意“和”与“积”的相互转化，注意所求式子与等式的关系，注重整体思想的应用.
四、 综合型求最值
基本不等式还可以与其他知识综合在一起考察，在能力上有更高要求.
例4 （2007.江苏）已知二次函数f(x)=x2+bx+c的导函数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为 .
解析： ∵ f′(0)=b＞0，f(x)≥0恒成立得
a＞0，b2-4ac≤0
∴ 0＜b2≤4ac，a＞0，c＞0
∴ f(1)f′(0)=a+b+cb=1+a+cb≥1+2acb≥1+2b24b=2
则最小值为2.
五、 若基本不等式不满足时用函数的单调性求最值
例5 （2010.辽宁）已知数列{an}满足a1=33，an+1-an=2n，则ann的最小值为 .
解析：由累加法得an=（an-an-1）+(an-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n2-n=33，则ann=n+33n-1，若利用基本不等式等号不满足，令f(n)=n+33n-1,易知当n≤5，f(n)单调递减，当n≥6时，f(n)单调递增且f(5)＞f(6)=212,所以ann的最小值为212.
总之，基本不等式求最值应用很广泛，我们应当学会一些解题方法，掌握一些规律，这样才能举一反三，触类旁通.
一、 直接求最值型（如f(x)=x+ax, a＞0）
例1 （2008.安徽文）设函数f(x)=2x+1x-1(x<0),则f(x)的最大值为 .
解析： ∵ x＜0
∴ -2x＞,-1x＞0,-2x+(-1x)≥22
∴ f(x)=2x+1x=-(2x+1x)-1≤-22-1当且仅当2x=1x即x=-22时取“=”
二、 有限制条件求最值型
这类问题关键在于利用条件化和或积为定值，需运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.
例2 （2008.江苏）设为x,y,z为正实数，满足x-2y+3z+0，则y2xz的最小值是 .
解析：由x-2y+3z=0得y=y=x+3z2，代入y2xz得，x2+9z2+6xz4xz≥6xz+6xz4xz=3当且仅当x=3z时取“=”
评注：应用基本不等式求最值的难点是如何获得定值的条件，常用的方法有：
（1） 常值代换（“1”的妙用）如例4中a+b2=1代入，经常使用；
（2） 代入消元，即从条件中解出一个字母，然后代入所求的式子进行化简再求最值，如例3；
（3） 配凑法，巧妙分拆、组合、添加系数等使之能变成可用基本不等式的形式，如例2.
三、 “和、积”式求最值型
例3 （2010.重庆）已知x＞0,y＞0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是 .
解析：由已知得8=x+2y+2xy≤(x+2y)+x+2y22，令x+2y=t，则t2+4t-32≥0，解得t≤-8或t≥4，又t＞0，则x+2y≥4
评注：应主意“和”与“积”的相互转化，注意所求式子与等式的关系，注重整体思想的应用.
四、 综合型求最值
基本不等式还可以与其他知识综合在一起考察，在能力上有更高要求.
例4 （2007.江苏）已知二次函数f(x)=x2+bx+c的导函数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为 .
解析： ∵ f′(0)=b＞0，f(x)≥0恒成立得
a＞0，b2-4ac≤0
∴ 0＜b2≤4ac，a＞0，c＞0
∴ f(1)f′(0)=a+b+cb=1+a+cb≥1+2acb≥1+2b24b=2
则最小值为2.
五、 若基本不等式不满足时用函数的单调性求最值
例5 （2010.辽宁）已知数列{an}满足a1=33，an+1-an=2n，则ann的最小值为 .
解析：由累加法得an=（an-an-1）+(an-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n2-n=33，则ann=n+33n-1，若利用基本不等式等号不满足，令f(n)=n+33n-1,易知当n≤5，f(n)单调递减，当n≥6时，f(n)单调递增且f(5)＞f(6)=212,所以ann的最小值为212.
总之，基本不等式求最值应用很广泛，我们应当学会一些解题方法，掌握一些规律，这样才能举一反三，触类旁通.