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摘要：在常微分方程教学中，选择有实际背景的案例，提高学生学习的兴趣，提高学生理论联系实际的能力。
关键词：常微分方程;案例教学
1 引言
常微分方程是高校数学类专业的一门基础课，教学的主要内容包括：微分方程的基本概念、 解法、定性理论等。因为内容理论性较强，学生在学习中时有倦怠。为了引起他们的学习兴趣，使得他们更主动的学习，我们在教学过程中采用了更多的案例来教学。
案例，就像一道应用题，在给出物理背景后建模，求解，分析，这个过程就是应用常微分方程的知识来解决实际问题。真实的案例显示我们学到的知识是怎样反馈到生活，学有所用，学生对学到的东西很感兴趣，对后续枯燥的理论学习也有积极的意义。
2 具体案例
2.1 碳定年——放射性碳元素的断代
考古学家在法国西南部拉斯科洞窟的墙上和天花板上发现了一些很古老的画，在洞窟的地面上，还发现了作画用的木炭、颜料和雕刻工具等。对木炭检测发现，木炭上的C-14已经有85.5%衰减，推断画的年代。
对这个案例的讲解分为下面的步奏。
2.2 建模
设是t时刻木炭中C-14的数量，是画画时木炭中C-14的数量（假设木炭刚烧好就拿来画画）。放射性元素的衰变是一个稳定的过程，它的变化率和它的数量成正比，所以有方程。C-14的半衰期是5600年，所以有定解条件。这样我们就得到定解问题 。
2.3 求解定解问题
先求方程通解。这是一个一阶线性方程，可以用线性方程的解法，也可以用分离变量法来做。方程通解是，代入定解条件得到定解问题的解是
2.4 讨论当时的时间t，即洞窟上的画经过了多长时间
把代入，算出t=15600，所以洞窟上的画至今已有15600年。那是旧石器时代的画。
通过上面的推导过程可以知道，“碳定年”这种利用C-14来断定年代的手段，看起来很神秘莫测，实质上只需要用到一个很简单的常微分方程。在这个案例里我们复习了一阶方程的线性方程解法和分离变量解法。
2 体重控制
经常听到有学生要减肥不吃或少吃饭，有些同学觉得饿还会买昂贵的代餐。我们试图用数学来描述减肥的正确过程。
对这个案例的讲解分为下面的步奏。
2.1 建模
假设体重变化主要由身体脂肪提供，每公斤脂肪转化的热量是D。W（t）表示t时刻的体重，若每天的饮食产生热量A，用于新陈代谢消耗热量B，活动消耗热量C*体重，由热量平衡方程得到，从而得到定解问题 ，其中是刚开始减肥时的体重。
2.2 求解定解问题
先求方程通解。这是一阶线性方程，用积分因子的方法求解。求得，其中a是待定常数。代入定解条件得到定解问题的解是。
2.3 解析上述结果
在上述式子中，用于新陈代谢消耗热量B和每公斤脂肪转化的热量是D是固定的，A可以由饮食控制，C可以用活动控制。理论上， 。所以理论上，选择合适的A、C和时间t，想要体重是多少都可以。
不吃食物当然不行，，。长期只吃刚好能维持新陈代谢的食物也是不行的，因为此时。人不可能一点活动都没有，所以对以上两种情况，。长时间这样会导致死亡。
只吃不动也是不行的。此时C=0，代进定解问题并求解得到，，这说明时间长了人会得肥胖症。
想在短时间内减掉期望的体重，不仅需要控制饮食，更重要的是要有大量的运动。只要合理安排饮食和运动，理论上是可以减到自己期望的重量的。
3 行车距离
在汽车行驶过程中，为了安全起见，前车和后车行车之间要保持足够的距离。这个安全距离应该是前车突然停止，后车急刹车停下来的距离。它包括反应距离和制动距离。当发生意外时，从人看到情况不妙，到踩刹车使车减速，需要一段时间，这包括人的反应时间和车子的响应时间，这段时间约需1秒。在这一秒里车辆的行驶距离就是反应距离。制动距离是从刹车踩下去到停下来的距离。在忽略掉诸如刹车的效率、轮胎的类型和状态、道路表面的情况以及天气条件等不确定因素外，影响制动距离的一个重要因素是车辆的车速。假设汽车最大刹车力与汽车质量成正比，计算车辆的安全距离.
3.1 建模
记车辆行驶速度为，表示刹车开始后t时刻车辆的位移，v（t）是速度，a是加速度，在T时刻车辆停止不动。由牛顿第二定律得到，其中，g是重力加速度，所以得到定解问题
3.2 求解定解问题
方程是常系数2阶常微分方程，求得定解问题的解是
3.3 分析
由 知道，所以，制动时间与车速成正比;制动距离与车速的平方成正比;车速越快制动时间越长，距离越长。
安全距离，车速快安全距离越长。比如在高速上车速是33.34米/秒（限速120km/小時），安全车距是224米;小区里限速5.56米/秒（20km/小时），安全车距是11米。
4 结语
案例教学的目的是提高学生的学习兴趣，让学生最终能够运用数学的方法解决实际问题。除此之外，因为案例教学与实际生活联系紧密，在讲案例的同时可以对学生进行思政教育。例如在体重控制的例子中教育学生要健康饮食，在行车距离的例子中教育学生要安全行驶等等。
参考文献：
[1] Dennis G. Zill. Differential Equations with Modeling Appplications[M].北京：世界图书出版公司北京公司，2004.
[2] 李心灿编.高等数学应用205例[M].北京：高等教育出版社，1999.
[3] Frank R G，William P F，et al. A First Course in Mathematical Modelling （ Fourth Edition）[M].Cengage Learning，2003.
（作者单位：中国民航大学理学院数学系）
关键词：常微分方程;案例教学
1 引言
常微分方程是高校数学类专业的一门基础课，教学的主要内容包括：微分方程的基本概念、 解法、定性理论等。因为内容理论性较强，学生在学习中时有倦怠。为了引起他们的学习兴趣，使得他们更主动的学习，我们在教学过程中采用了更多的案例来教学。
案例，就像一道应用题，在给出物理背景后建模，求解，分析，这个过程就是应用常微分方程的知识来解决实际问题。真实的案例显示我们学到的知识是怎样反馈到生活，学有所用，学生对学到的东西很感兴趣，对后续枯燥的理论学习也有积极的意义。
2 具体案例
2.1 碳定年——放射性碳元素的断代
考古学家在法国西南部拉斯科洞窟的墙上和天花板上发现了一些很古老的画，在洞窟的地面上，还发现了作画用的木炭、颜料和雕刻工具等。对木炭检测发现，木炭上的C-14已经有85.5%衰减，推断画的年代。
对这个案例的讲解分为下面的步奏。
2.2 建模
设是t时刻木炭中C-14的数量，是画画时木炭中C-14的数量（假设木炭刚烧好就拿来画画）。放射性元素的衰变是一个稳定的过程，它的变化率和它的数量成正比，所以有方程。C-14的半衰期是5600年，所以有定解条件。这样我们就得到定解问题 。
2.3 求解定解问题
先求方程通解。这是一个一阶线性方程，可以用线性方程的解法，也可以用分离变量法来做。方程通解是，代入定解条件得到定解问题的解是
2.4 讨论当时的时间t，即洞窟上的画经过了多长时间
把代入，算出t=15600，所以洞窟上的画至今已有15600年。那是旧石器时代的画。
通过上面的推导过程可以知道，“碳定年”这种利用C-14来断定年代的手段，看起来很神秘莫测，实质上只需要用到一个很简单的常微分方程。在这个案例里我们复习了一阶方程的线性方程解法和分离变量解法。
2 体重控制
经常听到有学生要减肥不吃或少吃饭，有些同学觉得饿还会买昂贵的代餐。我们试图用数学来描述减肥的正确过程。
对这个案例的讲解分为下面的步奏。
2.1 建模
假设体重变化主要由身体脂肪提供，每公斤脂肪转化的热量是D。W（t）表示t时刻的体重，若每天的饮食产生热量A，用于新陈代谢消耗热量B，活动消耗热量C*体重，由热量平衡方程得到，从而得到定解问题 ，其中是刚开始减肥时的体重。
2.2 求解定解问题
先求方程通解。这是一阶线性方程，用积分因子的方法求解。求得，其中a是待定常数。代入定解条件得到定解问题的解是。
2.3 解析上述结果
在上述式子中，用于新陈代谢消耗热量B和每公斤脂肪转化的热量是D是固定的，A可以由饮食控制，C可以用活动控制。理论上， 。所以理论上，选择合适的A、C和时间t，想要体重是多少都可以。
不吃食物当然不行，，。长期只吃刚好能维持新陈代谢的食物也是不行的，因为此时。人不可能一点活动都没有，所以对以上两种情况，。长时间这样会导致死亡。
只吃不动也是不行的。此时C=0，代进定解问题并求解得到，，这说明时间长了人会得肥胖症。
想在短时间内减掉期望的体重，不仅需要控制饮食，更重要的是要有大量的运动。只要合理安排饮食和运动，理论上是可以减到自己期望的重量的。
3 行车距离
在汽车行驶过程中，为了安全起见，前车和后车行车之间要保持足够的距离。这个安全距离应该是前车突然停止，后车急刹车停下来的距离。它包括反应距离和制动距离。当发生意外时，从人看到情况不妙，到踩刹车使车减速，需要一段时间，这包括人的反应时间和车子的响应时间，这段时间约需1秒。在这一秒里车辆的行驶距离就是反应距离。制动距离是从刹车踩下去到停下来的距离。在忽略掉诸如刹车的效率、轮胎的类型和状态、道路表面的情况以及天气条件等不确定因素外，影响制动距离的一个重要因素是车辆的车速。假设汽车最大刹车力与汽车质量成正比，计算车辆的安全距离.
3.1 建模
记车辆行驶速度为，表示刹车开始后t时刻车辆的位移，v（t）是速度，a是加速度，在T时刻车辆停止不动。由牛顿第二定律得到，其中，g是重力加速度，所以得到定解问题
3.2 求解定解问题
方程是常系数2阶常微分方程，求得定解问题的解是
3.3 分析
由 知道，所以，制动时间与车速成正比;制动距离与车速的平方成正比;车速越快制动时间越长，距离越长。
安全距离，车速快安全距离越长。比如在高速上车速是33.34米/秒（限速120km/小時），安全车距是224米;小区里限速5.56米/秒（20km/小时），安全车距是11米。
4 结语
案例教学的目的是提高学生的学习兴趣，让学生最终能够运用数学的方法解决实际问题。除此之外，因为案例教学与实际生活联系紧密，在讲案例的同时可以对学生进行思政教育。例如在体重控制的例子中教育学生要健康饮食，在行车距离的例子中教育学生要安全行驶等等。
参考文献：
[1] Dennis G. Zill. Differential Equations with Modeling Appplications[M].北京：世界图书出版公司北京公司，2004.
[2] 李心灿编.高等数学应用205例[M].北京：高等教育出版社，1999.
[3] Frank R G，William P F，et al. A First Course in Mathematical Modelling （ Fourth Edition）[M].Cengage Learning，2003.
（作者单位：中国民航大学理学院数学系）