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我们知道，我们对数学的认知理解还是比较混沌的，且互相之间缺乏基本共识。在面对混沌不清时，首先得有光——看得见实体，然后才有认识，认识到实体的现象、性质与规律，再次才有方法，成为实现目标的手段。这也许是哲学上的本体论、方法、认识论——形而上学的原始由来吧。
我们研究理解数学，为什么要做基础界定呢？很简单，因为我们对数学的认知、理解基础比较混沌，不做出基础界定，大家自说自话，无法达成真正的认知和理解。
基础界定之一：
1.物、事、频率、时、空
事实上，数学的基础，与哲学尤其是形而上学不分。
所以，研究或理解数学，在基础上与哲学、形而上学差不多。
我们先来看何为“物”。
1.1：物：客观存在。我们感官可以感受到的一切自然万物、人工制品、人、群体等可见可感的存在。
1.2：事：物的运动、变化。
1.3：频率：物运动或变化的有无、周期。也就我们平时常说的——规律。事实上，规律的实质就是频率，或说是周期。
1.4：时：物的运动或变化过程的有无、频率，也称时间。
1.5：空：物事存在与否，存在的大小、远近（位置）、速度。
我们讨论的一切认知和理解，都是在这些要素的感知和界定范围之内。
我们讨论、认知和理解自然万物等，根据奥卡姆剃刀原则，有这些实体就足够了。
实质上，除了物实体外，其他实体（事、空、频率、时）都是以物为原点而做出的推理和界定，这样，就形成了一个简洁的、统一的概念体系和逻辑链。
我们必须注意“物→空→事→频率→时”之间的逻辑关系。
这些基本的概念不太好理解，
而且在我们现在（用中式数学理解看）看来似对理解数学也无用处。但事实上，这是认知和理解数学的基础和关键要素——这其实就是古希腊理念、理性、Logos、概念、逻辑推理的体现。
不从这些出发、不以这些为依据，我们学到的和理解的就不是西方数学——真正的数学，摆脱不了中国古代数学和文化——如果中国古代的算术可以成为数学的话。
认知和理解数学，第一要害是理念（Logos理念、绝对理念），第二要害是事实（数学事实），第三要害是概念（用分类比较系统界定事实），第四要害是逻辑推理，第五要害是证明，第六要害才是计算、图形等。
越看似简单的东西，越不容易理解和界定。像物、事、频率、时间、空间，对我们而言太习以为常了。但，大家认真仔细想过没有？这个习以为常，是约定俗成造成的；约定俗成，就不是我们能认知和理解的，我们只能感知和意会。
西方数学——真正的数学，除了极少数直觉经验共识（公设、公理）算是约定俗成外，其他一切都必须是基于指定共识、理念、事实、分类比较系统形成的概念、逻辑、命题，不能有约定俗成、观念、感知经验及其他非事实、非逻辑的东西。
基础界定之二：
2.感觉、感知、认知、探知
这个更为重要，也更为费解——主要是我国的师范教育及学科专业教育，很少讲解学习，或说
认知、理解的这些基本事实和规律。
感觉、感知、认知、探知，是我们对事物、时空、频率、知识等认知、理解和应用的基础。四者各不相同，互相不能替代。
2.1：感觉：即感受、体验等，是人类意识、认知等来源——通过感官接受声、光、电、热等信号，对物事、时空、频率等产生感受和体验。
人类的感觉主要有视觉、听觉、动觉。主要是感觉物事、时空、频率有无利害。这是学习的源头——开
始之处。
2.2：感知：即经验、直觉等，对感觉（感受、体验）的区分与判断。是人类认知与理解的起点，也是各种意的来源——通过区分与判断信号而形成信息，生成人类的感性认识。
这是学习、教学的起点。
主要是通过感知（经验、直觉）来区分与判断事物的存在、时空、频率，并在习俗或文化场中形成记忆和表达的各种信息和“会意”——感性认识是人类对自然万物等记忆与理解的源头与起点。
感知信息、形成会意、发生记忆，主要通过人类的视听动觉神经信号系统，伴随发生兴趣、情感、价值感等，形成量感、质感、频率感（周期感、规律感）。
2.3：认知：即利用观念（理念）、工具和方法，对感知信息进行有目的或方向的建构而形成知识——形成各种义（词义、定义等）；或利用观念（理念）、工具和方法结合感知信息（经验、直觉），对书面信息（知识）进行感知还原。即还原为具体的经验或直觉（还原为各种意——音意、形意等）。
认知建构：信息→知识；知
识→信息。
会意→定义；定义→会意。
认知，建构为知识；知识，解构为信息或会意。
对现代人类而言，认知发生，主要是面对书面信息。人类认知的基本要素有：音、形、文字、数字、
指令符号。
2.4：探知：即对感知或认知进行类推（联想）、推理、归纳、统计等，形成概念、推理、结构、系统。
对感知、认知的探知，形成理解和应用——结合兴趣、情感、价值、效能感等，形成稳定、精确的存在感、意义感、价值感。
对现代人类而言，知识不再是建立在感知、认知基础之上，而是建立在探知之上。
界定完认知基础，再来界定一下认知的内容元要素。
我们知道数学在书面上，是由文字、图形、数字、指令符号组成的。那么，数学的这些文字、图形、数字、符号，是否与语文或其他学科一样呢？
基础界定之三：
3.命名，词意（字意）、词义（字义），定义、概念
3.1：命名：即给予事物或事实以名称。命名是人类认知事物或事实的最基础行为。 因为命名，形成了人类最原始、最基本的字词。
3.2：词意：字词的含意——会意。
3.3：词义：字词的定义——界定。
3.4：定义：类比 类推。
属于人类的联想（类比）类推范畴。用简洁明确的语言对事物的本质特征作概括性说明，即给出确定的意思。
一般而言，是通过对某个命名
的词汇赋与一定的意义或形象（有利于交流中的识别及认同），或用已知、熟知的来解释和形容未知、陌生的事物并加以区别，给出确定的意思——定义。
3.5：概念：“属 种差”。
属于人类的逻辑推理范畴。是建立在严格的分类比较系统基础上，对物、事、规律（频率）、时、空等进行分类比较，形成确定的内涵和外延——“属 种差”。
大家注意，书面的数学，在我们眼前呈现的是文字、数字、图形、符号等。但没有直接呈现出来的——所谓隐形知识，其基本要素就是：名称、词意、词义、定义、概念。
从词义、定义，到概念，是人类思维的一个飞跃。而这个飞跃，也恰恰是理解数学的关键点。
基础界定之四：
4.量感、形感、质感；计量、测量、估量；数、图、质；概念
这里，我用分号区分开了这四组概念，有互相对应关系，最后归一，统一于概念。
4.1：量感：对大小、多少、远近、高低、轻重等的感觉；
4.2：形感：对各种事物形状、形态的感觉；
4.3：质感：对各种物的质地（软硬、冷热等）的感觉；
因为量感、形感、质感的发生和发展，加上生活和交流的需要，逐步产生了——
4.4：计量：对多少、大小、远近等量进行计数和表示，产生了记“个”数；
4.5：测量：对各种形状、形态进行观测、测绘，产生了测量、绘图、记“比较”数；
4.6：估量：对各种质地（软硬、冷热等）进行估量，产生了测量、记“比较”数。
数，产生了。
4.7：数字：对两种数都进行标记，产生了数字。数字从产生起，就形成了两种性质不同的数：个数、比较数——在分类比较系统中形成概念数：基数、序数。
4.8：图形：对各种图像、形状、形态进行分类比较后，形成几何图形——也即概念图形。
4.9：质：对各种质的认知、理解，逐渐形成了各个学科。
数学，是人类认识和理解世
界的基本工具和方法。不能很好地理解数学的这些基本要素和基础，我们就很难理解数学，就很难用数学去认识、理解世界、生活
等等。
这段界定，可能对理解数学格外重要——因为这是理解数学的必要基础条件。如果不能有效理解以上这些基本界定，很难想象能理解数学。
（作者单位：公众教育研究院）
我们研究理解数学，为什么要做基础界定呢？很简单，因为我们对数学的认知、理解基础比较混沌，不做出基础界定，大家自说自话，无法达成真正的认知和理解。
基础界定之一：
1.物、事、频率、时、空
事实上，数学的基础，与哲学尤其是形而上学不分。
所以，研究或理解数学，在基础上与哲学、形而上学差不多。
我们先来看何为“物”。
1.1：物：客观存在。我们感官可以感受到的一切自然万物、人工制品、人、群体等可见可感的存在。
1.2：事：物的运动、变化。
1.3：频率：物运动或变化的有无、周期。也就我们平时常说的——规律。事实上，规律的实质就是频率，或说是周期。
1.4：时：物的运动或变化过程的有无、频率，也称时间。
1.5：空：物事存在与否，存在的大小、远近（位置）、速度。
我们讨论的一切认知和理解，都是在这些要素的感知和界定范围之内。
我们讨论、认知和理解自然万物等，根据奥卡姆剃刀原则，有这些实体就足够了。
实质上，除了物实体外，其他实体（事、空、频率、时）都是以物为原点而做出的推理和界定，这样，就形成了一个简洁的、统一的概念体系和逻辑链。
我们必须注意“物→空→事→频率→时”之间的逻辑关系。
这些基本的概念不太好理解，
而且在我们现在（用中式数学理解看）看来似对理解数学也无用处。但事实上，这是认知和理解数学的基础和关键要素——这其实就是古希腊理念、理性、Logos、概念、逻辑推理的体现。
不从这些出发、不以这些为依据，我们学到的和理解的就不是西方数学——真正的数学，摆脱不了中国古代数学和文化——如果中国古代的算术可以成为数学的话。
认知和理解数学，第一要害是理念（Logos理念、绝对理念），第二要害是事实（数学事实），第三要害是概念（用分类比较系统界定事实），第四要害是逻辑推理，第五要害是证明，第六要害才是计算、图形等。
越看似简单的东西，越不容易理解和界定。像物、事、频率、时间、空间，对我们而言太习以为常了。但，大家认真仔细想过没有？这个习以为常，是约定俗成造成的；约定俗成，就不是我们能认知和理解的，我们只能感知和意会。
西方数学——真正的数学，除了极少数直觉经验共识（公设、公理）算是约定俗成外，其他一切都必须是基于指定共识、理念、事实、分类比较系统形成的概念、逻辑、命题，不能有约定俗成、观念、感知经验及其他非事实、非逻辑的东西。
基础界定之二：
2.感觉、感知、认知、探知
这个更为重要，也更为费解——主要是我国的师范教育及学科专业教育，很少讲解学习，或说
认知、理解的这些基本事实和规律。
感觉、感知、认知、探知，是我们对事物、时空、频率、知识等认知、理解和应用的基础。四者各不相同，互相不能替代。
2.1：感觉：即感受、体验等，是人类意识、认知等来源——通过感官接受声、光、电、热等信号，对物事、时空、频率等产生感受和体验。
人类的感觉主要有视觉、听觉、动觉。主要是感觉物事、时空、频率有无利害。这是学习的源头——开
始之处。
2.2：感知：即经验、直觉等，对感觉（感受、体验）的区分与判断。是人类认知与理解的起点，也是各种意的来源——通过区分与判断信号而形成信息，生成人类的感性认识。
这是学习、教学的起点。
主要是通过感知（经验、直觉）来区分与判断事物的存在、时空、频率，并在习俗或文化场中形成记忆和表达的各种信息和“会意”——感性认识是人类对自然万物等记忆与理解的源头与起点。
感知信息、形成会意、发生记忆，主要通过人类的视听动觉神经信号系统，伴随发生兴趣、情感、价值感等，形成量感、质感、频率感（周期感、规律感）。
2.3：认知：即利用观念（理念）、工具和方法，对感知信息进行有目的或方向的建构而形成知识——形成各种义（词义、定义等）；或利用观念（理念）、工具和方法结合感知信息（经验、直觉），对书面信息（知识）进行感知还原。即还原为具体的经验或直觉（还原为各种意——音意、形意等）。
认知建构：信息→知识；知
识→信息。
会意→定义；定义→会意。
认知，建构为知识；知识，解构为信息或会意。
对现代人类而言，认知发生，主要是面对书面信息。人类认知的基本要素有：音、形、文字、数字、
指令符号。
2.4：探知：即对感知或认知进行类推（联想）、推理、归纳、统计等，形成概念、推理、结构、系统。
对感知、认知的探知，形成理解和应用——结合兴趣、情感、价值、效能感等，形成稳定、精确的存在感、意义感、价值感。
对现代人类而言，知识不再是建立在感知、认知基础之上，而是建立在探知之上。
界定完认知基础，再来界定一下认知的内容元要素。
我们知道数学在书面上，是由文字、图形、数字、指令符号组成的。那么，数学的这些文字、图形、数字、符号，是否与语文或其他学科一样呢？
基础界定之三：
3.命名，词意（字意）、词义（字义），定义、概念
3.1：命名：即给予事物或事实以名称。命名是人类认知事物或事实的最基础行为。 因为命名，形成了人类最原始、最基本的字词。
3.2：词意：字词的含意——会意。
3.3：词义：字词的定义——界定。
3.4：定义：类比 类推。
属于人类的联想（类比）类推范畴。用简洁明确的语言对事物的本质特征作概括性说明，即给出确定的意思。
一般而言，是通过对某个命名
的词汇赋与一定的意义或形象（有利于交流中的识别及认同），或用已知、熟知的来解释和形容未知、陌生的事物并加以区别，给出确定的意思——定义。
3.5：概念：“属 种差”。
属于人类的逻辑推理范畴。是建立在严格的分类比较系统基础上，对物、事、规律（频率）、时、空等进行分类比较，形成确定的内涵和外延——“属 种差”。
大家注意，书面的数学，在我们眼前呈现的是文字、数字、图形、符号等。但没有直接呈现出来的——所谓隐形知识，其基本要素就是：名称、词意、词义、定义、概念。
从词义、定义，到概念，是人类思维的一个飞跃。而这个飞跃，也恰恰是理解数学的关键点。
基础界定之四：
4.量感、形感、质感；计量、测量、估量；数、图、质；概念
这里，我用分号区分开了这四组概念，有互相对应关系，最后归一，统一于概念。
4.1：量感：对大小、多少、远近、高低、轻重等的感觉；
4.2：形感：对各种事物形状、形态的感觉；
4.3：质感：对各种物的质地（软硬、冷热等）的感觉；
因为量感、形感、质感的发生和发展，加上生活和交流的需要，逐步产生了——
4.4：计量：对多少、大小、远近等量进行计数和表示，产生了记“个”数；
4.5：测量：对各种形状、形态进行观测、测绘，产生了测量、绘图、记“比较”数；
4.6：估量：对各种质地（软硬、冷热等）进行估量，产生了测量、记“比较”数。
数，产生了。
4.7：数字：对两种数都进行标记，产生了数字。数字从产生起，就形成了两种性质不同的数：个数、比较数——在分类比较系统中形成概念数：基数、序数。
4.8：图形：对各种图像、形状、形态进行分类比较后，形成几何图形——也即概念图形。
4.9：质：对各种质的认知、理解，逐渐形成了各个学科。
数学，是人类认识和理解世
界的基本工具和方法。不能很好地理解数学的这些基本要素和基础，我们就很难理解数学，就很难用数学去认识、理解世界、生活
等等。
这段界定，可能对理解数学格外重要——因为这是理解数学的必要基础条件。如果不能有效理解以上这些基本界定，很难想象能理解数学。
（作者单位：公众教育研究院）