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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.
1.设集合A={x|x=5-4a+a2，a∈R}，B={y|y=4b2+4b+2，b∈R}，则A，B的关系是 .
2.已知x∈R，i为虚数单位，若（1-2i）（x+i）=4-3i，则x的值等于 .
3.某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过70km/h，否则视为违规扣分.某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规扣分的汽车大约为 辆.
4.（1+tan10°）（1+tan12°）（1+tan33°）（1+tan35°）= .
5.某商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过500元，则超过500元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠金额折扣率
不超过500元的部分5%
超过500元的部分10%
某人在此商场购物获得的折扣金额为35元，则他购物实际所付金额为 元.
6.已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则ACBC+BCAC+AB2BC·AC的最大值为 .
7.等腰Rt△ABC中，斜边BC=42，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的离心率为 .
8.点P在曲线y=x3-x+23上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 .
9.已知点Q∈（x，y）x2+y2<8x+6y3x+4y>24，如果直线l：ax+y+2=0经过点Q，那么实数a的取值范围是 .
10.设函数f（x）=sin（x+φ）（>0，-π2<φ<π2），给出以下四个论断：
①它的图像关于x=π12对称；
②它的图像关于点（π3，0）对称；
③它的周期是π；
④在区间[-π6，0）上是增函数.
以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出一个你认为正确的命题： .
11.已知函数f（x）=|lg|x||，（x≠0）0，（x=0），则方程f2（x）-f（x）=0所有非零实根之积为 .
12.若数列{an}满足a1=2，a2=1，且an+1（an-1-an）=an-1（an-an+1）（n≥2），那么该数列的第10项为 .
13.P为半径为1的圆外一点，过P引圆的两条切线，切点为A、B，则PA·PB的范围为 .
14.已知函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈（0，1]，总有f（x）≥0成立，则a的范围为 .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.
15.（本小题满分14分）
如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA1=2a，点D为BC的中点，点E为CC1上的点，且CE=14CC1.
（1）求三棱锥BAB1D的体积；
（2）求证：BE⊥平面ADB1.
16.（本小题满分14分）
（1）已知p在[0，5]上随机地取值，求方程x2+px+p4+12=0有实数根的概率.
（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.设函数f（x）=|x-a|，函数g（x）=x-b，令F（x）=f（x）-g（x），求函数F（x）有且只有一个零点的概率.
17.（本小题满分15分）
某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A、B，且AB=80米，
当航模在C处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°.请你根据以上条件求出航模的速度.（答案保留根号）
18.（本小题满分15分）
已知数列{an}满足an>0，a1=1，且3a2n+1-2an+1-3a2n-2an=0，n∈N.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5，…，a2na2n+1，求Tn；
（3）令bn=1an-1an（n≥2），b1=3，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn 19.（本小题满分16分）
已知椭圆的中心在原点，准线方程为x=±4.如果直线l：3x-2y=0与椭圆的交点在x正半轴上的射影恰为椭圆的焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆在第一象限的一个交点为P，F是椭圆的右焦点，试探究以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系；
（3）把（2）的情况作一推广，提出如下问题：如果椭圆的方程是x2a2+y2b2=1（a>b>0），P是椭圆上的任意一点，F是椭圆的一个焦点，试探究以PF长为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.
20.（本小题满分16分）
设函数f（x）=lnx-x-1x（x≥1），g（x）=2（x-1）-（x2+1）lnx（x≥1）.
（1）求证：f（x）和g（x）在[1，+∞）上均为减函数；
（2）设b>1，证明不等式：2b2+1 数学Ⅱ（附加题）
1.已知变换T把平面上的点A（2，0），B（3，1）分别变换成点A′（2，1），B′（3，2），试求变换T对应的矩阵M. 2.经过曲线C：x=3+3cosθ，y=3sinθ（θ为参数）的中心作直线l：x=3ty=3t（t为参数）的垂线，求中心到垂足的距离.
3.已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=12an·（4-an），n∈N.
（1）求a1，a2；（2）证明an 4.（本小题满分10分）
已知an=A1n+A2n+A3n+…+Ann（n∈N），当n≥2时，求证：
（1）an-1+1=ann；
（2）（1+1a1）（1+1a2）（1+1a3）…（1+1an）≤3-1n.
参考答案
1. A=B； 2. 2； 3. 110； 4. 4； 5. 1065；
6. 22； 7. 6-3； 8. [0，π2）∪[3π4，π）；
9. （-∞，-14）； 10. ②③①④； 11. 1；12. 15； 13. [22-3，+∞）； 14. [4，+∞）.
15.（1）解：∵AB=AC=a，∠BAC=90°，点D为BC中点，B1B=C1C=A1A=2a，CE=14CC1=a2.
∴S△ABD=12S△ABC=12（12AB·AC）=14a2，
∴VBAB1D=VB1ABD=13S△ABD·BB1=13·14a2·2a=16a3.
（2）证明：由AB=AC，点D是BC的中点，
得AD⊥BC且B1B⊥平面ABC，则B1B⊥AD，从而AD⊥平面B1BCC1.
又BE平面B1BCC1，所以AD⊥BE.
由已知AB=AC=a，∠BAC=90°，得BC=2a.
在Rt△BB1D中，tan∠BB1D=BDBB1=12BCBB1=24.
在Rt△CBE中，tan∠CBE=CEBC=a22a=24.
于是∠BB1D=∠CBE，设EB∩DB1=G，
∠BB1D+∠B1BG=∠CBE+∠B1BG=90°，
则DB1⊥BE.又AD∩DB1=D，
故BE⊥平面ADB1.
16.解：（1）由Δ=p2-4（p4+12）≥0得p≤-1或p≥2
又p∈[0，5]
∴p∈[2，5]
∴方程有实数根的概率为35.
（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6=36.
∵函数F（x）有且只有一个零点
∴函数f（x）=|x-a|与函数g（x）=x-b有且只有一个交点
所以b ∴满足条件的情况有a=2，b=1；a=3，b=1，2；a=4，b=1，2，3；a=5，b=1，2，3，4；a=6，b=1，2，3，4，5.共1+2+3+4+5=15种情况.
∴函数F（x）有且只有一个零点的概率是1536=512
17.解法一：在△ABC中，∵∠BAD=90°，∠ABD=45°，∴∠ADB=45°
∴AD=AB=80，∴BD=802
在△ABC中，BCsin30°=ABsin45°
∴BC=ABsin30°sin45°=80×1222=402
在△DBC中，∠CBD=∠ABC-∠ABD=105°-45°=60°，DC2=DB2+BC2-2DB·BCcos60°=（802）2+（402）2-2×802×402×12=9600
∴DC=406
航模的速度V=40620=26（米/秒）
答：航模的速度为26（米/秒）.
解法二：在△ADC中，AD=80，△ABC中AC=40（1+3），∠DAC=60°
在△ACD中，DC2=AD2+AC2-2AD·ACcos60°=9600
∴DC=406
航模的速度V=40620=26（米/秒）
答：航模的速度为26（米/秒）.
解法三：如图建立直角坐标系，
则A（0，0），B（80，0），D（0，80）
由△ABC，AC=40（1+3），∴C（60+203，20+203）
∴DC=（60+203）2+（20+203-80）2=9600=406
航模的速度V=40620=26（米/秒）
答：航模的速度为26（米/秒）.
18.解：（1）由3a2n+1-2an+1-3a2n-2an=0，变形得（an+1+an）（an+1-an-23）=0，
又an>0，则an+1-an=23
∴{an}是以23为公差的等差数列
又a1=1，∴an=23n+13
（2）Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1
=a2（a1-a3）+a4（a3-a5）+…+a2n（a2n-1-a2n+1）
=-43（a2+a4+…+a2n）
=-43·n（53+4n3+13）2=-49（2n2+3n）
（3）当n≥2时，bn=1an-1an=1（2n3-13）（2n3+13）=92（12n-1-12n+1）
又b1=3=92（1-13），
∴Sn=b1+b2+…+bn
=92（1-13+13-15+…+12n-1-12n+1）=92（1-12n+1）=9n2n+1
1.设集合A={x|x=5-4a+a2，a∈R}，B={y|y=4b2+4b+2，b∈R}，则A，B的关系是 .
2.已知x∈R，i为虚数单位，若（1-2i）（x+i）=4-3i，则x的值等于 .
3.某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过70km/h，否则视为违规扣分.某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规扣分的汽车大约为 辆.
4.（1+tan10°）（1+tan12°）（1+tan33°）（1+tan35°）= .
5.某商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过500元，则超过500元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠金额折扣率
不超过500元的部分5%
超过500元的部分10%
某人在此商场购物获得的折扣金额为35元，则他购物实际所付金额为 元.
6.已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则ACBC+BCAC+AB2BC·AC的最大值为 .
7.等腰Rt△ABC中，斜边BC=42，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的离心率为 .
8.点P在曲线y=x3-x+23上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 .
9.已知点Q∈（x，y）x2+y2<8x+6y3x+4y>24，如果直线l：ax+y+2=0经过点Q，那么实数a的取值范围是 .
10.设函数f（x）=sin（x+φ）（>0，-π2<φ<π2），给出以下四个论断：
①它的图像关于x=π12对称；
②它的图像关于点（π3，0）对称；
③它的周期是π；
④在区间[-π6，0）上是增函数.
以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出一个你认为正确的命题： .
11.已知函数f（x）=|lg|x||，（x≠0）0，（x=0），则方程f2（x）-f（x）=0所有非零实根之积为 .
12.若数列{an}满足a1=2，a2=1，且an+1（an-1-an）=an-1（an-an+1）（n≥2），那么该数列的第10项为 .
13.P为半径为1的圆外一点，过P引圆的两条切线，切点为A、B，则PA·PB的范围为 .
14.已知函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈（0，1]，总有f（x）≥0成立，则a的范围为 .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.
15.（本小题满分14分）
如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA1=2a，点D为BC的中点，点E为CC1上的点，且CE=14CC1.
（1）求三棱锥BAB1D的体积；
（2）求证：BE⊥平面ADB1.
16.（本小题满分14分）
（1）已知p在[0，5]上随机地取值，求方程x2+px+p4+12=0有实数根的概率.
（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.设函数f（x）=|x-a|，函数g（x）=x-b，令F（x）=f（x）-g（x），求函数F（x）有且只有一个零点的概率.
17.（本小题满分15分）
某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A、B，且AB=80米，
当航模在C处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°.请你根据以上条件求出航模的速度.（答案保留根号）
18.（本小题满分15分）
已知数列{an}满足an>0，a1=1，且3a2n+1-2an+1-3a2n-2an=0，n∈N.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5，…，a2na2n+1，求Tn；
（3）令bn=1an-1an（n≥2），b1=3，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn
已知椭圆的中心在原点，准线方程为x=±4.如果直线l：3x-2y=0与椭圆的交点在x正半轴上的射影恰为椭圆的焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆在第一象限的一个交点为P，F是椭圆的右焦点，试探究以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系；
（3）把（2）的情况作一推广，提出如下问题：如果椭圆的方程是x2a2+y2b2=1（a>b>0），P是椭圆上的任意一点，F是椭圆的一个焦点，试探究以PF长为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.
20.（本小题满分16分）
设函数f（x）=lnx-x-1x（x≥1），g（x）=2（x-1）-（x2+1）lnx（x≥1）.
（1）求证：f（x）和g（x）在[1，+∞）上均为减函数；
（2）设b>1，证明不等式：2b2+1
1.已知变换T把平面上的点A（2，0），B（3，1）分别变换成点A′（2，1），B′（3，2），试求变换T对应的矩阵M. 2.经过曲线C：x=3+3cosθ，y=3sinθ（θ为参数）的中心作直线l：x=3ty=3t（t为参数）的垂线，求中心到垂足的距离.
3.已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=12an·（4-an），n∈N.
（1）求a1，a2；（2）证明an
已知an=A1n+A2n+A3n+…+Ann（n∈N），当n≥2时，求证：
（1）an-1+1=ann；
（2）（1+1a1）（1+1a2）（1+1a3）…（1+1an）≤3-1n.
参考答案
1. A=B； 2. 2； 3. 110； 4. 4； 5. 1065；
6. 22； 7. 6-3； 8. [0，π2）∪[3π4，π）；
9. （-∞，-14）； 10. ②③①④； 11. 1；12. 15； 13. [22-3，+∞）； 14. [4，+∞）.
15.（1）解：∵AB=AC=a，∠BAC=90°，点D为BC中点，B1B=C1C=A1A=2a，CE=14CC1=a2.
∴S△ABD=12S△ABC=12（12AB·AC）=14a2，
∴VBAB1D=VB1ABD=13S△ABD·BB1=13·14a2·2a=16a3.
（2）证明：由AB=AC，点D是BC的中点，
得AD⊥BC且B1B⊥平面ABC，则B1B⊥AD，从而AD⊥平面B1BCC1.
又BE平面B1BCC1，所以AD⊥BE.
由已知AB=AC=a，∠BAC=90°，得BC=2a.
在Rt△BB1D中，tan∠BB1D=BDBB1=12BCBB1=24.
在Rt△CBE中，tan∠CBE=CEBC=a22a=24.
于是∠BB1D=∠CBE，设EB∩DB1=G，
∠BB1D+∠B1BG=∠CBE+∠B1BG=90°，
则DB1⊥BE.又AD∩DB1=D，
故BE⊥平面ADB1.
16.解：（1）由Δ=p2-4（p4+12）≥0得p≤-1或p≥2
又p∈[0，5]
∴p∈[2，5]
∴方程有实数根的概率为35.
（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6=36.
∵函数F（x）有且只有一个零点
∴函数f（x）=|x-a|与函数g（x）=x-b有且只有一个交点
所以b
∴函数F（x）有且只有一个零点的概率是1536=512
17.解法一：在△ABC中，∵∠BAD=90°，∠ABD=45°，∴∠ADB=45°
∴AD=AB=80，∴BD=802
在△ABC中，BCsin30°=ABsin45°
∴BC=ABsin30°sin45°=80×1222=402
在△DBC中，∠CBD=∠ABC-∠ABD=105°-45°=60°，DC2=DB2+BC2-2DB·BCcos60°=（802）2+（402）2-2×802×402×12=9600
∴DC=406
航模的速度V=40620=26（米/秒）
答：航模的速度为26（米/秒）.
解法二：在△ADC中，AD=80，△ABC中AC=40（1+3），∠DAC=60°
在△ACD中，DC2=AD2+AC2-2AD·ACcos60°=9600
∴DC=406
航模的速度V=40620=26（米/秒）
答：航模的速度为26（米/秒）.
解法三：如图建立直角坐标系，
则A（0，0），B（80，0），D（0，80）
由△ABC，AC=40（1+3），∴C（60+203，20+203）
∴DC=（60+203）2+（20+203-80）2=9600=406
航模的速度V=40620=26（米/秒）
答：航模的速度为26（米/秒）.
18.解：（1）由3a2n+1-2an+1-3a2n-2an=0，变形得（an+1+an）（an+1-an-23）=0，
又an>0，则an+1-an=23
∴{an}是以23为公差的等差数列
又a1=1，∴an=23n+13
（2）Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1
=a2（a1-a3）+a4（a3-a5）+…+a2n（a2n-1-a2n+1）
=-43（a2+a4+…+a2n）
=-43·n（53+4n3+13）2=-49（2n2+3n）
（3）当n≥2时，bn=1an-1an=1（2n3-13）（2n3+13）=92（12n-1-12n+1）
又b1=3=92（1-13），
∴Sn=b1+b2+…+bn
=92（1-13+13-15+…+12n-1-12n+1）=92（1-12n+1）=9n2n+1