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摘 要：本文介绍了案例教学法结合思政元素在理解《概率论与数理统计》中假设检验概念的应用，既帮助学生更好从生活角度掌握统计学概念，同时培养了学生的社会主义核心价值观。
关键词：两类错误;显著性水平;课程思政
中图分类号：G4 文献标识码：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.12.068
0 引言
案例教学法是以典型案例为基础撰写真实或虚拟的情景，让学生把自己纳入案例场景，进行师生问答、讨论等互动的教学过程。教师对教学中含有问题或者是对问题情境在内的真实发生的典型事件，通过研究，结合案例教学中涉及的背景，多角度、全方位的解读、分析、就其中涉及教学理论问题进行阐释。以贴合学生生活的案例分析，将听讲式学习导向参与式学习，让学生从“做中学”，通过对具体案例的思考，培养学生真正利用数学解决问题的能力，感受到数学的作用，从而激发学生的学习兴趣和求知欲。将案例教学与课程思政相结合应用于课堂教学中既符合当代高等数学教育的要求，又适应了社会发展的需求。
习近平总书记在学校思想政治理论课教师座谈会上也提出了“八个统一”的具体要求，为思政课的改革创新指明了方向。大学数学课程作为理工科重要基础课程，教学时数长，课程蕴含丰富的数学文化与自然辩证法关联度高，所以要推进“课程思政”建设，努力挖掘大学数学课程中所蕴含的思想政治元素和所承载的思想教育功能。本文就《概率论与数理统计》中假设检验中为何选择去控制犯第一类错误的概率的问题，以问题为中心的情境式教学设计原理作为基本思想，设计就2020年新冠肺炎疫情背景下关于此问题的教学案例。
1 假设检验的基本原理
假设检验的基本思路是小概率事件基本不会发生即小概率原理（或实际推断原理），若小概率（α<0.05）事件在一次试验中发生了，就有充分的理由怀疑“原假设为真”，即应拒绝原假设。
在假设检验问题中，把要检验的假设称为原假设（零假设或基本假设），记为H0。把原假设的对立面称为备择假设或对立假设，记为H1。原假设和备择假设两者中必有且仅有一个为真。
假设检验用到的主要数学思想概率意义下的反证思想。由文献可知，拒绝原假设是有充分逻辑引导的，但接受原假设没有，所以原假设H0应是希望否定的假设，即把想证明的放在备择假设H1。因此，假设检验的一般步骤如表1。
2 假设检验的两类错误
假设检验意味着我们需要给出一个决定：到底是相信原假设，还是相信备择假设。而不否定H0并不是肯定H0争取，而只是说差异并没有明显到可以否定H0的程度;这意味着无论是做什么样的决定，都存在着一定的风险：我们把事实上原假设是正确的，但是我们选择了备择假设称作第一类错误;事实上备择假设是正确的，但是我们选择了原假设称作第二类错误。将犯第一类错误的概率，即拒绝了一个真的假设的概率称为显著性水平，significance level，通常用字母α表示，即：
α=P{拒绝H0|H0为真}
假设检验即使得犯第一类错误的概率α可控，当然是越小越好。但是α也不能太小，否则可能会导致接受备择假设的概率增大，最常用的选择是α=0.05。
2.1 教学案例1——试剂假阳问题
新冠肺炎疫情爆发初期，新闻报道中时常会出现同一个人几天内做三四次检测结果可能前几次是阴性，后几次是阳性，也就是会出现假阳的检测结果。既此阶段新冠病毒检测试剂的准率不高，有医学技术方面的问题，我们从假设检验研究两类错误的角度思考：实施情况是测试者未染病或染病，检测结果是阳性或阴性。
从实际情况看，任何的检验方法使犯错误的可能性不存在。理想的试剂应使假阴假阳出现的概率都越小越好，但样本量有限、检测技术没有明显优化提升时，一类错误概率的减少必会导致另一类错误概率的增加，因此处理原则是人为限定犯第一类错误的概率α，为降低犯第二类错误的概率我们可以采用的方法之一是增大样本容量，实际上随着检测技术的提升是可以实现犯两类错误的概率同时降低的。所以，从统计学的观点看，新闻报道中假阴假阳患者出现并不奇怪，通过试剂结果判断是否染病出现这两类错误是可以理解的。
在选取原假设与备择假设时，二者地位应平等，而在控制犯第一类错误的概率α的原则下，使得采取拒绝H0的决策变得较慎重，即H0得到特别的保护。于是通常根据生活和研究的经验选取更为实际的结论作为原假设，或者尽可能使更无力承担后果的错误成为第一类错誤。疫情初期测试的目的是为了筛选出染病的患者以进行隔离治疗，因此染病作为备择假设H1。会出现四种情况如表2。
例：某制药企业研发的新冠病毒特效药进入临床测试阶段。已知新冠患者痊愈时间服从正态分布，且痊愈的平均时间是72小时，标准差是8小时。现在对100人进行临床试验，发现平均的痊愈时间是69.6小时，你认为该药物是否有效？（α=0.05）
解：（1）选取原假设与备择假设。
H0：药物无效，痊愈平均时间μ>μ0=72小时;
H1：药物有效，μ0=72小时
（2）构造检验统计量。
取检验统计量为：T=X--μ0S/n
（3）对于α（显著性水平），确定H0的拒绝域。
拒绝域为：ttα（n-1）
（4）代入样本值进行检验。
x-=69.8，S=8，n=100 t=x--μ0S/n=69.6-728/10=3t0.05（99）≈1.645
故拒绝H0，即认为药物无效。
2.2 课程思政
利用试剂假阳问题不仅加深了对本课程的两类错误、假设检验等概念的理解，还培养了学生以下方面：（1）爱国意识：此次疫情大家共同经历的种种让学生认识到中国的智慧和精神，克服崇洋媚外的心理，以自己是炎黄子孙而骄傲，增强民族自豪感，弘扬爱国主义精神，引导学生在时代和社会的发展中吸取营养，充分认识到自己的社会责任，传承弘扬优秀传统文化。（2）科学务实精神：结合试剂盒精度分析，及精度提升等问题，引导学生思考、讨论，去除次要因素，如何建立合理的容错机制，教育当代大学生科学态度对待疫情，尊重科学，理性看待新冠状病毒以及各项防疫措施。（3）责任意识：提醒学生如果学校一旦发生疫情，结果难以想象。结合假阳假阴情况出现因此需要多次测试的必要性，向学生讲解疫情数据的准确性会对决策起到非常重要的作用。疫情凶猛，谁都无法独善其身，谁都肩负一份责任。引导青年学生要勇于担当，应具有高度的社会责任感，知行合一，不为防疫“抗疫”添乱，积极传播正能量，为打赢这场“抗疫”大戰做出青年人应有的贡献。同时提醒大家提高自身防范能力，保护好身体，以健康、阳光的姿态成长，是家长和学校对你的希望，更是社会对你的要求。（4）树立远大的理想，正确的世界观和价值观：结合钟南山先生的事迹，教育同学们要读书，未来才能成为对社会有用的人，树立正确人生导向。用知识去战胜危险，用勇敢和担当去化解危难。
参考文献
[1]盛骤，谢式千，潘承毅，等.概率论与数理统计第四版[M].北京：高等教育出版社，2019.
[2]胡素敏.案例教学在金融数学课程教学中的应用[J].金融理论与教学，2019，（4）：104-106.
[3]张德燕，叶永升等.高等数学中求函数极值的教学案例 ——攀岩问题[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2020，（20）：104-107.
[4]魏巍，余亚辉.金课背景下融入思政元素的高等数学教学设计的探索——以“定积分的概念”为例[J].国际公关，2020，（12）：112-113.
[5]高尔生，周利锋.统计学知识 第一讲 统计学基本概念与假设检验的步骤[J].上海实验动物科学杂志，1999，（2）：64-65.
[6]胡月.基于生物特征的真随机数发生器的研究与设计[D].重庆：重庆大学，2008.
关键词：两类错误;显著性水平;课程思政
中图分类号：G4 文献标识码：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.12.068
0 引言
案例教学法是以典型案例为基础撰写真实或虚拟的情景，让学生把自己纳入案例场景，进行师生问答、讨论等互动的教学过程。教师对教学中含有问题或者是对问题情境在内的真实发生的典型事件，通过研究，结合案例教学中涉及的背景，多角度、全方位的解读、分析、就其中涉及教学理论问题进行阐释。以贴合学生生活的案例分析，将听讲式学习导向参与式学习，让学生从“做中学”，通过对具体案例的思考，培养学生真正利用数学解决问题的能力，感受到数学的作用，从而激发学生的学习兴趣和求知欲。将案例教学与课程思政相结合应用于课堂教学中既符合当代高等数学教育的要求，又适应了社会发展的需求。
习近平总书记在学校思想政治理论课教师座谈会上也提出了“八个统一”的具体要求，为思政课的改革创新指明了方向。大学数学课程作为理工科重要基础课程，教学时数长，课程蕴含丰富的数学文化与自然辩证法关联度高，所以要推进“课程思政”建设，努力挖掘大学数学课程中所蕴含的思想政治元素和所承载的思想教育功能。本文就《概率论与数理统计》中假设检验中为何选择去控制犯第一类错误的概率的问题，以问题为中心的情境式教学设计原理作为基本思想，设计就2020年新冠肺炎疫情背景下关于此问题的教学案例。
1 假设检验的基本原理
假设检验的基本思路是小概率事件基本不会发生即小概率原理（或实际推断原理），若小概率（α<0.05）事件在一次试验中发生了，就有充分的理由怀疑“原假设为真”，即应拒绝原假设。
在假设检验问题中，把要检验的假设称为原假设（零假设或基本假设），记为H0。把原假设的对立面称为备择假设或对立假设，记为H1。原假设和备择假设两者中必有且仅有一个为真。
假设检验用到的主要数学思想概率意义下的反证思想。由文献可知，拒绝原假设是有充分逻辑引导的，但接受原假设没有，所以原假设H0应是希望否定的假设，即把想证明的放在备择假设H1。因此，假设检验的一般步骤如表1。
2 假设检验的两类错误
假设检验意味着我们需要给出一个决定：到底是相信原假设，还是相信备择假设。而不否定H0并不是肯定H0争取，而只是说差异并没有明显到可以否定H0的程度;这意味着无论是做什么样的决定，都存在着一定的风险：我们把事实上原假设是正确的，但是我们选择了备择假设称作第一类错误;事实上备择假设是正确的，但是我们选择了原假设称作第二类错误。将犯第一类错误的概率，即拒绝了一个真的假设的概率称为显著性水平，significance level，通常用字母α表示，即：
α=P{拒绝H0|H0为真}
假设检验即使得犯第一类错误的概率α可控，当然是越小越好。但是α也不能太小，否则可能会导致接受备择假设的概率增大，最常用的选择是α=0.05。
2.1 教学案例1——试剂假阳问题
新冠肺炎疫情爆发初期，新闻报道中时常会出现同一个人几天内做三四次检测结果可能前几次是阴性，后几次是阳性，也就是会出现假阳的检测结果。既此阶段新冠病毒检测试剂的准率不高，有医学技术方面的问题，我们从假设检验研究两类错误的角度思考：实施情况是测试者未染病或染病，检测结果是阳性或阴性。
从实际情况看，任何的检验方法使犯错误的可能性不存在。理想的试剂应使假阴假阳出现的概率都越小越好，但样本量有限、检测技术没有明显优化提升时，一类错误概率的减少必会导致另一类错误概率的增加，因此处理原则是人为限定犯第一类错误的概率α，为降低犯第二类错误的概率我们可以采用的方法之一是增大样本容量，实际上随着检测技术的提升是可以实现犯两类错误的概率同时降低的。所以，从统计学的观点看，新闻报道中假阴假阳患者出现并不奇怪，通过试剂结果判断是否染病出现这两类错误是可以理解的。
在选取原假设与备择假设时，二者地位应平等，而在控制犯第一类错误的概率α的原则下，使得采取拒绝H0的决策变得较慎重，即H0得到特别的保护。于是通常根据生活和研究的经验选取更为实际的结论作为原假设，或者尽可能使更无力承担后果的错误成为第一类错誤。疫情初期测试的目的是为了筛选出染病的患者以进行隔离治疗，因此染病作为备择假设H1。会出现四种情况如表2。
例：某制药企业研发的新冠病毒特效药进入临床测试阶段。已知新冠患者痊愈时间服从正态分布，且痊愈的平均时间是72小时，标准差是8小时。现在对100人进行临床试验，发现平均的痊愈时间是69.6小时，你认为该药物是否有效？（α=0.05）
解：（1）选取原假设与备择假设。
H0：药物无效，痊愈平均时间μ>μ0=72小时;
H1：药物有效，μ0=72小时
（2）构造检验统计量。
取检验统计量为：T=X--μ0S/n
（3）对于α（显著性水平），确定H0的拒绝域。
拒绝域为：ttα（n-1）
（4）代入样本值进行检验。
x-=69.8，S=8，n=100 t=x--μ0S/n=69.6-728/10=3t0.05（99）≈1.645
故拒绝H0，即认为药物无效。
2.2 课程思政
利用试剂假阳问题不仅加深了对本课程的两类错误、假设检验等概念的理解，还培养了学生以下方面：（1）爱国意识：此次疫情大家共同经历的种种让学生认识到中国的智慧和精神，克服崇洋媚外的心理，以自己是炎黄子孙而骄傲，增强民族自豪感，弘扬爱国主义精神，引导学生在时代和社会的发展中吸取营养，充分认识到自己的社会责任，传承弘扬优秀传统文化。（2）科学务实精神：结合试剂盒精度分析，及精度提升等问题，引导学生思考、讨论，去除次要因素，如何建立合理的容错机制，教育当代大学生科学态度对待疫情，尊重科学，理性看待新冠状病毒以及各项防疫措施。（3）责任意识：提醒学生如果学校一旦发生疫情，结果难以想象。结合假阳假阴情况出现因此需要多次测试的必要性，向学生讲解疫情数据的准确性会对决策起到非常重要的作用。疫情凶猛，谁都无法独善其身，谁都肩负一份责任。引导青年学生要勇于担当，应具有高度的社会责任感，知行合一，不为防疫“抗疫”添乱，积极传播正能量，为打赢这场“抗疫”大戰做出青年人应有的贡献。同时提醒大家提高自身防范能力，保护好身体，以健康、阳光的姿态成长，是家长和学校对你的希望，更是社会对你的要求。（4）树立远大的理想，正确的世界观和价值观：结合钟南山先生的事迹，教育同学们要读书，未来才能成为对社会有用的人，树立正确人生导向。用知识去战胜危险，用勇敢和担当去化解危难。
参考文献
[1]盛骤，谢式千，潘承毅，等.概率论与数理统计第四版[M].北京：高等教育出版社，2019.
[2]胡素敏.案例教学在金融数学课程教学中的应用[J].金融理论与教学，2019，（4）：104-106.
[3]张德燕，叶永升等.高等数学中求函数极值的教学案例 ——攀岩问题[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2020，（20）：104-107.
[4]魏巍，余亚辉.金课背景下融入思政元素的高等数学教学设计的探索——以“定积分的概念”为例[J].国际公关，2020，（12）：112-113.
[5]高尔生，周利锋.统计学知识 第一讲 统计学基本概念与假设检验的步骤[J].上海实验动物科学杂志，1999，（2）：64-65.
[6]胡月.基于生物特征的真随机数发生器的研究与设计[D].重庆：重庆大学，2008.