【摘要】通过对变限积分和定积分的学习和研究,认识到处理含积分极限问题需利用被积函数、变限积分的相关性质,根据极限变量的类型需要相应的解决方法。
　　【关键词】变限积分 定积分 极限 洛必达法则 等价无穷小 积分中值定理 夹逼准则 积分估值定理
　　
　　 1.含变限积分的极限的求法。
　　 1.1 利用洛必达法则。洛必达法则则是在求解型或者型未定式极限的一种行之有效的法则,同时也要注意某些技巧,如:等价无穷小因子代换、变量代换法、恒等变形、有确定极限对的因子先求出极限等。
　　 小结:对变限积分施行适当的变量代换,变形成带有型或型的极限问题后,一般用洛必达法则求解。而对于积分变量不是连续型变量,一般不用洛必达法则求之。
　　 当然,洛必达法则也不是处处可以用的,例如“已知是以T为周期的连续函数,设求”,此题不能用洛必达法则,是因为分子和分母同时求导后得到,其极限不存在。一个比较直观的解法是令,其中。利用被积函数的周期性将积分区间分解成和,最终得到
　　 1.2 换元法。积分中使用换元法实质就是对积分实施适当的变量替换,运用积分基本性质和运算法则,推出所要证明的结果,这是积分中经常使用的方法。
　　 例2.设函数可导,且 ,求
　　 例3.设在点x=0的某领域内连续,并且,求
　　 解:当时,,令则于是
　　 小结:但是要注意的是在使用换元法时要注意积分上下限要跟着变化,在等式两边上下限相同时,要把等式的一边化为另一边时,一般使用换元法来达到目的。
　　 1.3 利用变限积分的等价无穷小代换。作等价无穷小代换时,如果只对分子或(分母)中的某一项做替换就会出错,必须将分子和分母的整体分别换成它们各自的等价无穷小,但是如果分子或者分母为若干个无穷小因子做替换,这时可以保证所得的新的分子或(分母)的整体与原来的分子或(分母)的整体式等价无穷小。
　　 1.4 使用积分中值定理。
　　 积分中值定理就是:设在上连续,则存在,使得
　　 例5.证明
　　 证明:设,,则在(0,1)上不变号。
　　 由积分中值定理:
　　 =
　　 小结:若积分算不出来,或不易算,可先用积分中值定理处理,或者去掉积分号,或者再积分。但值得注意的是积分中值定理或推广的积分中值定理中的可能取在区间的两个端点,这与微分中值定理是不同的。
　　 2.极限变量仅含在被积函数中的定积分极限的求法。有时被积函数的原函数不能用初等函数表示,此时就无法先积分,再求极限。实际上也不需要,只要仔细分析已知条件,利用函数的性质及微积分中值定理,设法去掉积分号,就能灵活处理。
　　 2.1 先求定积分,再求极限。
　　 例6.设在上有连续导数,试求:
　　从而
　　 小结:在处理含积分的极限问题时,若将积分计算出来再求极限,这是可行的方法之一。
　　 2.2 利用夹逼准则。夹逼准则,顾名思义就是寻找一个适当的下限函数和一个上限函数,使得被积函数处于这两者之间,进而简化求解的复杂性。
　　 例7.证明
　　 证明:用夹逼准则证之。因当时,有,故,
　　 0<
　　 用除上式不等式的各项,得到
　　又有,,故
　　 于是
　　 在上述不等式两端取极限,根据夹逼准则,得到:
　　
　　 2.3 利用积分估值定理。
　　 例8.求 (0　　 解法1 析:本题利用利用积分中值定理去掉积分号,以简化求解。由积分估值定理知,存在,使得:
　　
　　 因在上(0　　 从而
　　 而0　　 此题不能直接得到这是因为当n变化时,表示不同的函数,因而也不同,故是n的函数,于是实际上是幂指函数,不能简单的套用幂函数的极限结果(q为绝对值小于1的常数)。
　　 解法2 析:因在(0　　 因a<1,故,根据夹逼准则,必有
　　 3.极限变量为离散型变量n且积分限和(或)积分限中含n的定积分的极限的求法。
　　 例9.求。
　　 解:当n>0时,在上连续,恒成立,故由推广的积分中值定理得到:
　　 小结:由于极限变量不是连续型变量,一般不用洛必达法则求之。常用积分中值定理、积分估值定理去掉积分号,再(用夾逼准则)求极限。
　　
　　参考文献
　　 1 雷发社.高等数学重点难点100讲[M].陕西:陕西科学技术出版社,2003
　　 2 毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳上册[M].华中科技大学出版社,2001
　　 3 同济大学数学系.高等数学.上册[M].北京高等教育出版社,2007