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【摘 要】探究性作业能促进学生对概念本质的理解，促进学生高阶思维能力的形成。围绕人教版六年级上册“圆”这一单元，设计了画图形、讲概念、辨题目三类探究性作业。从学生的作业反馈情况可以看出，这些内容能促进学生数学思想的发展，对学生高阶思维的形成能起到良好的推动作用。
【关键词】圆;高阶思维;探究性作业
“高阶思维”是指发生在较高认知水平层次上的心智活动和认知能力。在目标分类中主要表现为分析、综合、评价和创造等。圆是学生在小学阶段认识的最后一个平面图形。本单元的教学，可以通过设计探究性作业，促进学生认知的提升和创新思维的发展。
一、教学内容分析
学生在学习“圆”之前，对圆这个图形并不陌生，本单元的学习中，学生要在对圆已有的直观认知基础上，进一步了解圆（扇形）的组成，掌握圆（扇形）的特征，理解圆（扇形）的性质;通过测量、实验操作，认识圆周率，掌握圆周长、圆面积计算的方法;体验化曲为直、极限、等积变形等数学思想;通过解决实际问题感受生活和数学的联系，形成解决问题的策略，提升综合应用能力。
（一）激活认知经验，借多维操作，理解概念及性质
在学生的学习历程中，从能够在众多图形中识别圆，到理解圆的本质特征，是思维层次的一次跨越。教材基于学生的原有经验，分两个板块呈现了学生的体验活动：一是用多种形式画“圆”，让学生在操作中感知圆心、半径、直径等与圆相关的基本概念;二是用“圆”设计图案，让学生在对圆心和半径的探寻中，深入理解圆特征的本质，熟练画圆。
（二）打破认知壁垒，借实验探究，经历转化和推理
圆是曲线图形。学生要真正认识圆，要从打破两层认知壁垒着手。首先是直线测量的局限造成的壁垒。教材通过呈现“绕一圈”“滚一圈”等测量圆周长的实验活动，让周长的概念得以外延，让学生在活动中形成新的探索活动，并以不完全归纳的方法得到直径与周长之间的关系。其次是直线图形通过简单割补、“等积变形”求得面积的壁垒。学生需要探索和经历“极限思想”背景下“化圆为方”的过程，或是通过演绎、归纳等推理方法得到圆面积计算的一般方法。
（三）建构认知模型，借综合应用，提炼方法与策略
问题解决是本单元重要的组成部分。教材中呈现的对圆的研究从生活问题开始，同时安排了大量与生活有关的实际问题。用圆的相关知识解决问题要注重疏通新旧知识、同类问题之间的关联，使经验、方法得到提升，形成策略和思维方式。
二、现有教材常见习题概述
教材中现有的习题大致分为三类。
1.基础知识复现类
这类习题的价值在于帮助学生掌握基础知识与基本技能。如：用圆规画圆;填写圆的各部分名称等。
2.数学公式巩固类
圆的周长与面积的计算是本单元的重要内容，这类习题多指向于对圆周长、圆面积公式的巩固练习。
3.问题解决类
该类习题主要体现数学与生活的联系，引导学生学以致用，培养与考查学生从生活情境中抽象出数学问题并加以解决的能力。
通过学习掌握基础知识与基本技能当然是重要的，但教材呈现的相关习题一般都是静态的，这导致学生通过解题夯实基础的过程也往往是机械重复的。因此，教师需要在教学活动中创造性地设计相关练习，让基础知识与基本技能的习得也能变得生动有趣。基本思想方法和基本活动经验的形成往往需要学生参与、体验，需要他们主动建构、自主思考，然而教材中指向让学生实践、探究和推理的内容较少，指向引导学生对自我解题过程进行剖析和提炼、逐步形成个性化解题策略、真正展现数学思考的内容较少，因此教学中教师需要通过作业设计来加以补充。
三、探究性作业设计
根据对教学内容及现有习题的分析，可以发现，本单元需要从单元整体出发，补充课前自主探究式、课后剖析提炼式的探究性作业，以实现对学生学习过程中思考力的有效“激活”和充分“沉淀”，以卷入式学习数学，促进学生高阶思维的生长。
（一）设计思考
1.单元探究性学习目标描述
（1）通过预学明确“圆”这一单元的研究内容。
（2）了解圆的特征，会用圆规画圆。
（3）经历研究探索的过程，理解圆周长和圆面积公式的推导过程，感悟转化、极限等数学思想。
（4）通过对相近题组的对比、分析，形成对应的解题策略，提升问题解决的水平。
2.探究性作业设计点
（1）设计强技能的作业。画圆是一项基本技能，让学生用“美丽的圆”设计图案，不但可以在练习中提高学生的画图技能，还能提升学生的审美能力。
（2）设计夯基础的作业。圆周长、圆面积的计算是本单元重要的基础知识。通过让学生用自己的方式表达对圆周、方圆关系等相关基础知识的理解，可以让学生的学习更加自主，体验更加深刻。
（3）设计促联系的作业。学生的学习过程就是对事物的认知不断完善的过程，沟通知识之间的联系非常重要，但这样的内容在线状呈现的教学过程中需要教师有意识地进行补充。
（二）具体设计
1.强技能
在学生学习了“圆的认识”，已经会用圆规画圆以后，布置作业：同学们，我们已经认识了圆，相信你已经学会画圆的方法了。用圆可以设计许多漂亮的图案，请你试着用圆规和直尺画一画教材中那些美丽的图案，也可以用圆设计你自己喜欢的图案。
画圆是一项基本技能，技能的形成需要练习，但重复枯燥的训练容易让学生感到疲惫厌倦。用圆来设计图案，学生会觉得这是一项体现创造力的活动，他们会想方设法画出各种漂亮的图案，从而达成熟练画圆、形成技能的目的。
2.夯基础
计算圆的周长和面积是本单元的重要学习内容。以夯实基础为目的，设计了两份探究性作业。
第一份作业是在学生学习圆周长之前做。这时学生已经知道什么是周长，但还没有学习过如何计算曲线图形的周长。教师布置作业：同学们，下面哪些平面图形的周长你会求？（如图1）分别怎么求？它们的周长分别是多少？请你以毫米为单位（保留整数），一个一个写出测量和计算的过程。
在学习圆的周长之前，教师设置前置性作业引导学生通过测量、计算等方式，体会到曲线图形同样可以测量周长，但要测量准确并不容易。学生在动手操作的过程中既经历了化曲为直的过程，又体会到曲线图形与直线图形得到周长的方法有所区别。这为学生正式学习圆的周长奠定了基础。
第二份作业是在学生学习了圆面积之后做。教师布置作业：如果下图（如图2）中3个正方形的面积都是10平方厘米，那么请你算一算每幅图中阴影部分的面积。要清楚写出计算的步骤，可以画草图辅助说明。算好以后写一写你的收获或发现。
方与圆的关系是学生解决组合图形面积问题的重要基础。设计这项作业的目的是引导学生通过对不同方圆问题的研究，加深对方圆内部数学关系的了解。学生通过对不同形式题目的对比和分析，形成新的面积求解的思路和方案，感受从整体角度思考和解决问题的便捷。这样的作业可以拓宽学生研究问题的视角，体验通过方与圆的关系解决问题的过程。
3.促联系
数学是一门思维严密、逻辑性很强的学科。学习了一些知识以后，有意识地将相关内容进行梳理，有助于学生将新知纳入到旧知的图式中。在整个单元内容基本学完以后，设计以促联系为目的的作業内容：我们已经学习过圆环面积的计算（S环=πR2-πr2）。根据你的理解，介绍圆环面积的计算过程与公式。梳理你做过的求环形面积的数学题，将它们按照由易到难的顺序进行介绍，说清楚每一题的解题关键。用你喜欢的方式进行呈现，主题自定。图3是一份学生作业。
本文只是以“圆”这一单元为例，介绍了根据单元教学内容设计探究性作业的部分做法，其实围绕“强技能、夯基础、促联系”教学目标，还有很多单元可以设计出有趣、有价值的探究性作业。设计出好的探究性作业，需要教师对教学内容有精准的把握，对学生在学习过程中可能遇到的困难有充分的了解。设计探究性作业的过程本身也是教师自我成长、自我提高的过程。
【关键词】圆;高阶思维;探究性作业
“高阶思维”是指发生在较高认知水平层次上的心智活动和认知能力。在目标分类中主要表现为分析、综合、评价和创造等。圆是学生在小学阶段认识的最后一个平面图形。本单元的教学，可以通过设计探究性作业，促进学生认知的提升和创新思维的发展。
一、教学内容分析
学生在学习“圆”之前，对圆这个图形并不陌生，本单元的学习中，学生要在对圆已有的直观认知基础上，进一步了解圆（扇形）的组成，掌握圆（扇形）的特征，理解圆（扇形）的性质;通过测量、实验操作，认识圆周率，掌握圆周长、圆面积计算的方法;体验化曲为直、极限、等积变形等数学思想;通过解决实际问题感受生活和数学的联系，形成解决问题的策略，提升综合应用能力。
（一）激活认知经验，借多维操作，理解概念及性质
在学生的学习历程中，从能够在众多图形中识别圆，到理解圆的本质特征，是思维层次的一次跨越。教材基于学生的原有经验，分两个板块呈现了学生的体验活动：一是用多种形式画“圆”，让学生在操作中感知圆心、半径、直径等与圆相关的基本概念;二是用“圆”设计图案，让学生在对圆心和半径的探寻中，深入理解圆特征的本质，熟练画圆。
（二）打破认知壁垒，借实验探究，经历转化和推理
圆是曲线图形。学生要真正认识圆，要从打破两层认知壁垒着手。首先是直线测量的局限造成的壁垒。教材通过呈现“绕一圈”“滚一圈”等测量圆周长的实验活动，让周长的概念得以外延，让学生在活动中形成新的探索活动，并以不完全归纳的方法得到直径与周长之间的关系。其次是直线图形通过简单割补、“等积变形”求得面积的壁垒。学生需要探索和经历“极限思想”背景下“化圆为方”的过程，或是通过演绎、归纳等推理方法得到圆面积计算的一般方法。
（三）建构认知模型，借综合应用，提炼方法与策略
问题解决是本单元重要的组成部分。教材中呈现的对圆的研究从生活问题开始，同时安排了大量与生活有关的实际问题。用圆的相关知识解决问题要注重疏通新旧知识、同类问题之间的关联，使经验、方法得到提升，形成策略和思维方式。
二、现有教材常见习题概述
教材中现有的习题大致分为三类。
1.基础知识复现类
这类习题的价值在于帮助学生掌握基础知识与基本技能。如：用圆规画圆;填写圆的各部分名称等。
2.数学公式巩固类
圆的周长与面积的计算是本单元的重要内容，这类习题多指向于对圆周长、圆面积公式的巩固练习。
3.问题解决类
该类习题主要体现数学与生活的联系，引导学生学以致用，培养与考查学生从生活情境中抽象出数学问题并加以解决的能力。
通过学习掌握基础知识与基本技能当然是重要的，但教材呈现的相关习题一般都是静态的，这导致学生通过解题夯实基础的过程也往往是机械重复的。因此，教师需要在教学活动中创造性地设计相关练习，让基础知识与基本技能的习得也能变得生动有趣。基本思想方法和基本活动经验的形成往往需要学生参与、体验，需要他们主动建构、自主思考，然而教材中指向让学生实践、探究和推理的内容较少，指向引导学生对自我解题过程进行剖析和提炼、逐步形成个性化解题策略、真正展现数学思考的内容较少，因此教学中教师需要通过作业设计来加以补充。
三、探究性作业设计
根据对教学内容及现有习题的分析，可以发现，本单元需要从单元整体出发，补充课前自主探究式、课后剖析提炼式的探究性作业，以实现对学生学习过程中思考力的有效“激活”和充分“沉淀”，以卷入式学习数学，促进学生高阶思维的生长。
（一）设计思考
1.单元探究性学习目标描述
（1）通过预学明确“圆”这一单元的研究内容。
（2）了解圆的特征，会用圆规画圆。
（3）经历研究探索的过程，理解圆周长和圆面积公式的推导过程，感悟转化、极限等数学思想。
（4）通过对相近题组的对比、分析，形成对应的解题策略，提升问题解决的水平。
2.探究性作业设计点
（1）设计强技能的作业。画圆是一项基本技能，让学生用“美丽的圆”设计图案，不但可以在练习中提高学生的画图技能，还能提升学生的审美能力。
（2）设计夯基础的作业。圆周长、圆面积的计算是本单元重要的基础知识。通过让学生用自己的方式表达对圆周、方圆关系等相关基础知识的理解，可以让学生的学习更加自主，体验更加深刻。
（3）设计促联系的作业。学生的学习过程就是对事物的认知不断完善的过程，沟通知识之间的联系非常重要，但这样的内容在线状呈现的教学过程中需要教师有意识地进行补充。
（二）具体设计
1.强技能
在学生学习了“圆的认识”，已经会用圆规画圆以后，布置作业：同学们，我们已经认识了圆，相信你已经学会画圆的方法了。用圆可以设计许多漂亮的图案，请你试着用圆规和直尺画一画教材中那些美丽的图案，也可以用圆设计你自己喜欢的图案。
画圆是一项基本技能，技能的形成需要练习，但重复枯燥的训练容易让学生感到疲惫厌倦。用圆来设计图案，学生会觉得这是一项体现创造力的活动，他们会想方设法画出各种漂亮的图案，从而达成熟练画圆、形成技能的目的。
2.夯基础
计算圆的周长和面积是本单元的重要学习内容。以夯实基础为目的，设计了两份探究性作业。
第一份作业是在学生学习圆周长之前做。这时学生已经知道什么是周长，但还没有学习过如何计算曲线图形的周长。教师布置作业：同学们，下面哪些平面图形的周长你会求？（如图1）分别怎么求？它们的周长分别是多少？请你以毫米为单位（保留整数），一个一个写出测量和计算的过程。
在学习圆的周长之前，教师设置前置性作业引导学生通过测量、计算等方式，体会到曲线图形同样可以测量周长，但要测量准确并不容易。学生在动手操作的过程中既经历了化曲为直的过程，又体会到曲线图形与直线图形得到周长的方法有所区别。这为学生正式学习圆的周长奠定了基础。
第二份作业是在学生学习了圆面积之后做。教师布置作业：如果下图（如图2）中3个正方形的面积都是10平方厘米，那么请你算一算每幅图中阴影部分的面积。要清楚写出计算的步骤，可以画草图辅助说明。算好以后写一写你的收获或发现。
方与圆的关系是学生解决组合图形面积问题的重要基础。设计这项作业的目的是引导学生通过对不同方圆问题的研究，加深对方圆内部数学关系的了解。学生通过对不同形式题目的对比和分析，形成新的面积求解的思路和方案，感受从整体角度思考和解决问题的便捷。这样的作业可以拓宽学生研究问题的视角，体验通过方与圆的关系解决问题的过程。
3.促联系
数学是一门思维严密、逻辑性很强的学科。学习了一些知识以后，有意识地将相关内容进行梳理，有助于学生将新知纳入到旧知的图式中。在整个单元内容基本学完以后，设计以促联系为目的的作業内容：我们已经学习过圆环面积的计算（S环=πR2-πr2）。根据你的理解，介绍圆环面积的计算过程与公式。梳理你做过的求环形面积的数学题，将它们按照由易到难的顺序进行介绍，说清楚每一题的解题关键。用你喜欢的方式进行呈现，主题自定。图3是一份学生作业。
本文只是以“圆”这一单元为例，介绍了根据单元教学内容设计探究性作业的部分做法，其实围绕“强技能、夯基础、促联系”教学目标，还有很多单元可以设计出有趣、有价值的探究性作业。设计出好的探究性作业，需要教师对教学内容有精准的把握，对学生在学习过程中可能遇到的困难有充分的了解。设计探究性作业的过程本身也是教师自我成长、自我提高的过程。