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角，是几何图形中最为基本的图形之一.三角形、四边形等图形中都有角的身影.熟练地掌握角的知识，对日后学习几何有着很大的帮助.
一、基本概念
角，是有公共端点的两条射线组成的图形，这个公共端点就是角的顶点，这两条射线是角的两条边.如图1，O是这个角的顶点，射线OA、OB是这个角的两条边.
[图1][图2]
角的符号为“∠”，读作“角”.为了表示一个角，通常会用三个大写字母，如图1可以用∠AOB或∠BOA来表示.其中应注意表示顶点的字母必须放在中间.当用一个字母表示角没有歧义时，可以直接用顶点字母来表示这个角，反之，则不可以.如图1可以直接记作∠O.在图2中，∠AOB则不能表示为∠O，因为∠AOC、∠BOC的顶点均为O.当角内标上希腊字母或数字时，也可以直接表达.如图1也可以用∠α来表示.此外，从运动的角度来看，角还可以看成是一条射线绕着端点（也就是顶点）旋转到另一个位置所形成的图形.
二、角的分类
角的基本度量单位是“°”，读作“度”.根据度数的大小可以进行如下分类：如图3，90°以下0°以上的角看上去比较尖锐，叫做锐角；如图4，90°的角称为直角；如图5，大于90°且小于180°的角叫做钝角；180°的角看上去像是一条直线（其实中间有一个顶点），称为平角；大于180°且小于360°的角称为优角；360°的角是由两条完全重合的射线构成的，称为周角.初中阶段，主要研究前三种角，即锐角、直角、钝角.
[图3][图4][图5]
三、角的大小比较
显然，钝角>直角>锐角，这是比较简单的一种粗略对比方式.如果同属一种类型的角，我们可以使用叠合法，将角的顶点和一条边重合，并使另外一条边处于同侧，角的大小便很容易看出.当然，这一个方法也有一定的局限性.当角度相当接近时，实际操作中可能难以分辨或出现判断误差.所以，我们还可以用量角器度量（如图6），或者通过计算来加以对比.
图6
四、角的度量单位
除了度（°）以外，还有一些其他的度量单位，例如分（′）和秒（″）.是不是有点眼熟？没错，在时间单位上也有分和秒.更有意思的是，角度单位（度、分、秒）之间的换算也和时间一样，为六十进制.即1度=60分，1分=60秒.归纳一下就是1°=60′=3600″.
五、画一个角
如果要求画一个规定度数的角该怎么做？
部分特殊的角可以直接用三角尺画出，如30°、60°、90°、120°等等，其余的一些角我们可以用量角器画出.我们先画的是角的顶点和一边，这和度量角度的方法类似，顶点和一边可以随意画，它们的位置并不影响最后所成角的度数.完成之后我们需要把角的顶点和量角器中心重合，一边和零刻度线重合，需要画多少度的角，就在量角器上多少度的刻度的地方点一点，再以画的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画出另一射线.
六、角平分线
当一条射线将一个角分为两个相等的角时，我们就说这条射线是这个角的角平分线，或者说这条射线平分了这个角，如图7所示.若∠AOC=∠BOC，我们便可以说OC是∠AOB的角平分线或者 OC平分∠AOB.被分出来的两个角的度数是原角度数的一半.
图7
七、余角、补角、对顶角
如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余.如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补.两个角，在顶点重合的情况下，若两边互为反向延长线，则这样的两个角被称为对顶角，值得注意的是，对顶角都是成对出现的.同样地，我们也可以这样理解对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角互为对顶角.显然对顶角相等.
八、能力挑战
【問题探究1】若在同一平面内，有三条直线两两相交，有几组对顶角？猜想：如果有n条直线两两相交，有几组对顶角？
【问题解析】这道题显然是属于找规律类型的题目，当我们面对较大或未知的数据时，不用担心，我们可以从最简单的数据入手，画出基本图形.如图8，三条直线交于一个点；如图9，三条直线两两相交的一般情形.我们都知道，两条直线相交，可以产生两组对顶角，以此类推，那么在图8、图9的情况下，我们可以看成有三组这样的两条直线分别相交，3×2=6，一共有6组对顶角.进而可以猜想，n条直线两两相交，一共有n（n-1）组对顶角.
[图8][图9]
【问题探究2】
（1）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数.
（2）一个角的余角与这个角的补角的和比平角多2°，求这个角.
【问题解析】
（1）本题属于对概念的考查，互补的角之和为180°，互余的角之和为90°，所以，我们不妨设这个角度数为α，由题意可知：180°-α 10°=3·（90°-α）.
解得α=40°.
∴180°-α=140°，90°-α=50°.
答：这个角为40°，它的余角为50°，补角为140°.
（2）此题比上题多考查了平角这一知识点，平角即180°的角.设这个角度数为β，则它的补角为（180°-β），余角为（90°-β）.由题意知90°-β 180°-β=180° 2°，解得β=44°.
答：这个角为44°.
角，作为构成简单或复杂图形的重要部分，在日后的学习中我们将会经常碰到，难度也千变万化.所以，上面所讲到的角的基础知识一定要掌握牢固.未来还有许多更为复杂的角的知识需要我们去探索、去学习.相信，与“角”的初相识，这一步走好，走扎实了，对我们今后的数学学习大有裨益.在今后的几何学习中，我们还会发现更多“角”的无穷奥秘！
（作者单位：江苏省无锡市蠡园中学）
一、基本概念
角，是有公共端点的两条射线组成的图形，这个公共端点就是角的顶点，这两条射线是角的两条边.如图1，O是这个角的顶点，射线OA、OB是这个角的两条边.
角的符号为“∠”，读作“角”.为了表示一个角，通常会用三个大写字母，如图1可以用∠AOB或∠BOA来表示.其中应注意表示顶点的字母必须放在中间.当用一个字母表示角没有歧义时，可以直接用顶点字母来表示这个角，反之，则不可以.如图1可以直接记作∠O.在图2中，∠AOB则不能表示为∠O，因为∠AOC、∠BOC的顶点均为O.当角内标上希腊字母或数字时，也可以直接表达.如图1也可以用∠α来表示.此外，从运动的角度来看，角还可以看成是一条射线绕着端点（也就是顶点）旋转到另一个位置所形成的图形.
二、角的分类
角的基本度量单位是“°”，读作“度”.根据度数的大小可以进行如下分类：如图3，90°以下0°以上的角看上去比较尖锐，叫做锐角；如图4，90°的角称为直角；如图5，大于90°且小于180°的角叫做钝角；180°的角看上去像是一条直线（其实中间有一个顶点），称为平角；大于180°且小于360°的角称为优角；360°的角是由两条完全重合的射线构成的，称为周角.初中阶段，主要研究前三种角，即锐角、直角、钝角.
三、角的大小比较
显然，钝角>直角>锐角，这是比较简单的一种粗略对比方式.如果同属一种类型的角，我们可以使用叠合法，将角的顶点和一条边重合，并使另外一条边处于同侧，角的大小便很容易看出.当然，这一个方法也有一定的局限性.当角度相当接近时，实际操作中可能难以分辨或出现判断误差.所以，我们还可以用量角器度量（如图6），或者通过计算来加以对比.
图6
四、角的度量单位
除了度（°）以外，还有一些其他的度量单位，例如分（′）和秒（″）.是不是有点眼熟？没错，在时间单位上也有分和秒.更有意思的是，角度单位（度、分、秒）之间的换算也和时间一样，为六十进制.即1度=60分，1分=60秒.归纳一下就是1°=60′=3600″.
五、画一个角
如果要求画一个规定度数的角该怎么做？
部分特殊的角可以直接用三角尺画出，如30°、60°、90°、120°等等，其余的一些角我们可以用量角器画出.我们先画的是角的顶点和一边，这和度量角度的方法类似，顶点和一边可以随意画，它们的位置并不影响最后所成角的度数.完成之后我们需要把角的顶点和量角器中心重合，一边和零刻度线重合，需要画多少度的角，就在量角器上多少度的刻度的地方点一点，再以画的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画出另一射线.
六、角平分线
当一条射线将一个角分为两个相等的角时，我们就说这条射线是这个角的角平分线，或者说这条射线平分了这个角，如图7所示.若∠AOC=∠BOC，我们便可以说OC是∠AOB的角平分线或者 OC平分∠AOB.被分出来的两个角的度数是原角度数的一半.
图7
七、余角、补角、对顶角
如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余.如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补.两个角，在顶点重合的情况下，若两边互为反向延长线，则这样的两个角被称为对顶角，值得注意的是，对顶角都是成对出现的.同样地，我们也可以这样理解对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角互为对顶角.显然对顶角相等.
八、能力挑战
【問题探究1】若在同一平面内，有三条直线两两相交，有几组对顶角？猜想：如果有n条直线两两相交，有几组对顶角？
【问题解析】这道题显然是属于找规律类型的题目，当我们面对较大或未知的数据时，不用担心，我们可以从最简单的数据入手，画出基本图形.如图8，三条直线交于一个点；如图9，三条直线两两相交的一般情形.我们都知道，两条直线相交，可以产生两组对顶角，以此类推，那么在图8、图9的情况下，我们可以看成有三组这样的两条直线分别相交，3×2=6，一共有6组对顶角.进而可以猜想，n条直线两两相交，一共有n（n-1）组对顶角.
【问题探究2】
（1）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数.
（2）一个角的余角与这个角的补角的和比平角多2°，求这个角.
【问题解析】
（1）本题属于对概念的考查，互补的角之和为180°，互余的角之和为90°，所以，我们不妨设这个角度数为α，由题意可知：180°-α 10°=3·（90°-α）.
解得α=40°.
∴180°-α=140°，90°-α=50°.
答：这个角为40°，它的余角为50°，补角为140°.
（2）此题比上题多考查了平角这一知识点，平角即180°的角.设这个角度数为β，则它的补角为（180°-β），余角为（90°-β）.由题意知90°-β 180°-β=180° 2°，解得β=44°.
答：这个角为44°.
角，作为构成简单或复杂图形的重要部分，在日后的学习中我们将会经常碰到，难度也千变万化.所以，上面所讲到的角的基础知识一定要掌握牢固.未来还有许多更为复杂的角的知识需要我们去探索、去学习.相信，与“角”的初相识，这一步走好，走扎实了，对我们今后的数学学习大有裨益.在今后的几何学习中，我们还会发现更多“角”的无穷奥秘！
（作者单位：江苏省无锡市蠡园中学）