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分类计数原理与分步计数原理是排列组合的基础，如果掌握不牢固，解题时就容易出错。那么两个原理的区别是什么?如何运用好这两个原理呢?下面举例分析。
一、两个原理的区别
分类计数原理与分步计数原理是求“完成一件事”所需多少方法的重要依据，两个原理的区别可以从以下三点进行理解。
1、从“完成一件事”的含义看，分类完成一件事指做这件事可有若干类方法，每类方法都能独立完成这件事，各类方法相互独立。而分步完成一件事指完成这件事要分成几个步骤，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，任意一步骤都不能独立地完成这件事。
2、从分类与分步的角度看，分类计数原理中的各类具有并列性、独立性，分步计数原理的各步具有相关性，前后之间有联系。
3、从特殊字词看，从两组元素中“任取一个”和“各取一个”，虽一字之差，但“任取一个”是分类，“各取一个”是分步，充分体现了分类计数原理与分步计数原理的区别。
二、两个原理的应用
1、分类问题。
侧，某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成。选其中1人为校学生会主席，有多少种不同的选法?
解：此题属分类问题。
根据分类计数原理，选其中1人为学生会主席的选法有5+6+4=15(种)。
倒2把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分类方法共有( )种。
A、4 B、5 C、6 D、7
解：此题属分类计数问题，列出各种情况即可，注意不重不漏。
依据每堆苹果的数量可分为四类，即1、4、5，2、3、5，3、3、4，2、4、4，且每类中只有一种分法，所以答案为A。
2、分步问题。
例3 已知集合A={a，b，c}，B={w，x，y，z}，则从集合A到集合B的映射个数最多有_____个。
解：此题是分步问题，需要通过分步来完成。从映射的定义出发，(1)A到B不能一对二或一对多，(2)A中元素不能有剩余，全部有对应。满足了这两条便可以从分步角度求解。
因为A中的每个元素有4种对应的可能，A中的每个元素都要有对应，则映射个数最多有4×4×4=64(个)。
3、两个原理的混合问题。
例4 某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成。若要选出不同年级的2人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法?
解：此题属分类、分步的混合问题，需先分类，再分步。
根据题意，选不同组合的情况有3种，即一、二年级，二、三年级，三、一年级，而每一种情况对应的数字分别为5×6，6×4，4×5，则共有5×6+6×4+4×5=74(种)。
例5 同室4人各写1张贺年片，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年片，则4张贺年片的不同分配方式有( )种。
A、6 B、9 C、11 D、12
解：此题属分类、分步的混合问题，需结合两个原理解题。
4人分别记为1号、2号、3号、4号，则1号送出的贺年片可以且只可以由其他3人收到，有3种可能，以2号收到为例，其他人收到贺年片的情况可分为两类：(1)1号收到2号送出的贺年片，这时3号、4号只有互送贺年片分配方式；(2)1号收到的不是2号送出的贺年片，这时1号有2种情形(分别是3号和4号送出的)，对于每一种情形，4号收到贺年片的方式只有1种。
因此，不同的分配方式有3×(1+2)=9(种)。
总结：分类计数原理与分步计数原理是解答排列组合问题的基础。应用分类计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成，应用分步计数原理则要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤。一般是先分类后分步，分类要设计好分类标准，防止重复和遗漏，分步时要注意各步之间的连续性。
(责任编辑 徐利杰)
一、两个原理的区别
分类计数原理与分步计数原理是求“完成一件事”所需多少方法的重要依据，两个原理的区别可以从以下三点进行理解。
1、从“完成一件事”的含义看，分类完成一件事指做这件事可有若干类方法，每类方法都能独立完成这件事，各类方法相互独立。而分步完成一件事指完成这件事要分成几个步骤，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，任意一步骤都不能独立地完成这件事。
2、从分类与分步的角度看，分类计数原理中的各类具有并列性、独立性，分步计数原理的各步具有相关性，前后之间有联系。
3、从特殊字词看，从两组元素中“任取一个”和“各取一个”，虽一字之差，但“任取一个”是分类，“各取一个”是分步，充分体现了分类计数原理与分步计数原理的区别。
二、两个原理的应用
1、分类问题。
侧，某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成。选其中1人为校学生会主席，有多少种不同的选法?
解：此题属分类问题。
根据分类计数原理，选其中1人为学生会主席的选法有5+6+4=15(种)。
倒2把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分类方法共有( )种。
A、4 B、5 C、6 D、7
解：此题属分类计数问题，列出各种情况即可，注意不重不漏。
依据每堆苹果的数量可分为四类，即1、4、5，2、3、5，3、3、4，2、4、4，且每类中只有一种分法，所以答案为A。
2、分步问题。
例3 已知集合A={a，b，c}，B={w，x，y，z}，则从集合A到集合B的映射个数最多有_____个。
解：此题是分步问题，需要通过分步来完成。从映射的定义出发，(1)A到B不能一对二或一对多，(2)A中元素不能有剩余，全部有对应。满足了这两条便可以从分步角度求解。
因为A中的每个元素有4种对应的可能，A中的每个元素都要有对应，则映射个数最多有4×4×4=64(个)。
3、两个原理的混合问题。
例4 某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成。若要选出不同年级的2人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法?
解：此题属分类、分步的混合问题，需先分类，再分步。
根据题意，选不同组合的情况有3种，即一、二年级，二、三年级，三、一年级，而每一种情况对应的数字分别为5×6，6×4，4×5，则共有5×6+6×4+4×5=74(种)。
例5 同室4人各写1张贺年片，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年片，则4张贺年片的不同分配方式有( )种。
A、6 B、9 C、11 D、12
解：此题属分类、分步的混合问题，需结合两个原理解题。
4人分别记为1号、2号、3号、4号，则1号送出的贺年片可以且只可以由其他3人收到，有3种可能，以2号收到为例，其他人收到贺年片的情况可分为两类：(1)1号收到2号送出的贺年片，这时3号、4号只有互送贺年片分配方式；(2)1号收到的不是2号送出的贺年片，这时1号有2种情形(分别是3号和4号送出的)，对于每一种情形，4号收到贺年片的方式只有1种。
因此，不同的分配方式有3×(1+2)=9(种)。
总结：分类计数原理与分步计数原理是解答排列组合问题的基础。应用分类计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成，应用分步计数原理则要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤。一般是先分类后分步，分类要设计好分类标准，防止重复和遗漏，分步时要注意各步之间的连续性。
(责任编辑 徐利杰)