定理一 设数列{an}满足an+1=ban+cdan+e(be-dc≠0，db≠0)，记系数组成矩阵A=bc
　　de，则an+l可表示为an+l=blan+cldlan+el，此处blcl
　　dlel=Al.
　　定理二 对于递推数列an+1=ban+cdan+e，其系数对应于A=bc
　　de，则该数列为非常数的周期数列的充要条件是存在一个正整数l≥2，使Al为数量矩阵，即Al=a0
　　0a(a≠0)，其中l就是数列{an}的一个周期.
　　以上两个定理对递推数列an+1=ban+cdan+e具有周期性的判别进行了很好的简述，笔者从中获取到如下启发：数列中的an与an+1就是函数值，那么抽象函数f(x)满足f(x+a)=bf(x)+cdf(x)+e恒成立的周期性能用上面的定理的系数关系解决吗?若能，周期与l有什么关系？笔者通过研究论证，发现将上述两个定理可以改进如下:
　　定理一(改) 设抽象函数f(x)满足
　　f(x+a)=bf(x)+cdf(x)+e(be-dc≠0，db≠0)，
　　记系数组成矩阵A=bc
　　de，则
　　f(x+la)可表示为f(x+la)=blf(x)+cldlf(x)+el，
　　此处blcl
　　dlel=Al.
　　证明 当l=1时，f(x+a)=bf(x)+cdf(x)+e，则
　　f(x+a)对应矩阵A=bc
　　de.当l=2时，
　　∵f(x+2a)=bf(x+a)+cdf(x+a)+e=(b2+dc)f(x)+bc+ec(bd+de)f(x)+dc+e2，
　　∴f(x+2a)对应矩阵b2+dcbc+ec
　　bd+dedc+e2.
　　而A2=bc
　　debc
　　de，∴f(x+2a)对应矩阵A2.
　　假设l=k时，f(x+ka)=bkf(x)+ckdkf(x)+ek，f(x+ka)对应于矩阵Ak=bkck
　　dkek，则l=k+1时，
　　f(x+(k+1)a)=bf(x+ka)+cdf(x+ka)+e
　　=(bbk+cdk)f(x)+bck+cek(dbk+edk)f(x)+dck+eek，
　　而Ak+1=AAk=bc
　　debkck
　　dkek=bbk+cdkbck+cek
　　dbk+edkdck+eek，
　　∴f(x+(k+1))对应于矩阵Ak+1.
　　定理二(改) 对抽象函数f(x)满足f(x+a)=bf(x)+cdf(x)+e(be-dc≠0,db≠0)，记系数组成矩阵A=bc
　　de，则该函数为非常数的周期函数的充要条件是存在一个正整数l≥2，使Al为数量矩阵，即Al=h0
　　0h(h≠0)，其中l|a|就是函数f(x)的一个正周期.
　　证明 由定理一(改)可知，该函数为非常数的周期函数存在一个正整数l≥2，对于任意x∈R都有f(x+la)=f(x)=hf(x)+00f(x)+hAl为数量矩阵h0
　　0h(h≠0).
　　注 对于抽象函数f(x)满足f(x+a)=bf(x+m)+ddf(x+m)+e(a≠m)，只要用x-m替换x，可转化为定理二(改)情况处理.
　　例1 (2006年北京东城模拟)设函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)［1-f(x)］=1+f(x).又f(2)=2+2，则f(2006)=
　　解 由f(x+2)［1-f(x)］=1+f(x)，
　　得f(x+2)=f(x)+1-f(x)+1.
　　其系数对应于矩阵A=11
　　-11.
　　∵A4=-40
　　0-4，
　　由定理二(改)知，该函数f(x)的周期为8.
　　又 ∵A2=02
　　-22，则f(x+4)=0f(x)+2-2f(x)+0=-1f(x).
　　又 f(2)=2+2，
　　∴f(2006)=f(250×8+6)=f(6)=-1f(2)=2-22.
　　例2 已知定义在(-∞,+∞)上的奇函数f(x)满足关系式f(x+1)=1-f(x)1+f(x)，当0　　A.1B.-1C.12D.-12
　　解析 A=-11
　　11.又A2=20
　　02，
　　由定理二（改）可知，该函数为周期函数，周期为2.
　　又 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数，
　　故f(5.5)=f(5.5-6)=f(-0.5)=-f(0.5)=-1.