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摘 要：为了引导学生更好地理解算理，教师要善于选择多种方式。常用的算理理解方式有实物原型、直观模型、已有知识等。其中实物原型指的是具有一定结构的实物材料，如元、角、分等人民币，千米、米等测量单位；而直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料，如小棒、计数器、长方形或点子图等。在教具演示、学具操作和图片对照等直观模型的刺激下，学生更容易通过数形结合的方式，清晰地理解算理。
关键词：直观模型；意义理解；算理；两位数乘两位数
计算教学在小学数学教学当中，看似直观简单，但要提高计算的速度和正确率，必须把直观简单的计算转化成大脑当中的抽象思维。因此，需要让学生掌握计算的算理，这样才能理清计算思路，达到较高的计算水平。
一、课前思考
（一）教材解读
两位数乘两位数（横式笔算）是北师大版三年级下册第三单元的内容，横式笔算独立成页是北师大版教材的一大特点。教材结合“队列表演”的具体情境，借助点子图、列表等介质，逐步引导学生探究两位数乘两位数横式笔算的过程与方法，理解算理。
两位数与两位数相乘是学生在学习了乘法的意义、表内乘法、两位数乘一位数的基础上进行的。在教学实践中，教师大多采取的是鼓励学生联系已有知识经验来探索如何进行计算，特别是如何运用竖式计算。很多教师都认为既然学生已经有了两位数乘一位数竖式计算的基础，两位数乘两位数就不需要再借助一些直观模型了。所以很多教师在教学这一内容时，选择一笔带过。
（二）课前调查
1. 我们对四年级下册已经学过两位数乘两位数和除数是两位数的除法的45名学生进行了学后调查，调查内容如下：根据竖式，可以直接解决问题吗？
四年级学生用竖式计算“28×42”已经非常熟练，但从调查的数据（表1）来看，只有60%左右的学生真正掌握了两位数乘两位数的算理。
2.我们对三年级一个班的45名学生进行了学前调查和访谈。调查内容是：计算 “14×12=（ ）”。调查结果如表2。
对18名列竖式的学生进行分析，基本掌握方法且计算结果正确的有11名学生。列竖式最典型的两种错误情况是：
当问某一步骤表示什么意义时，学生大都含糊其辞。与年级组其他教师分析后认为，即使计算正确，也可能是家长提前将列竖式计算教授给孩子，学生只得其形却未知其理，因而出现了错误，即使得其形也未必能完全理解算理。
而用分拆办法的典型错误是：
10×10=100 2×4=8 100 8=108
看来如何将抽象的算理通过更直观的操作转化为头脑中的表象，使学生真正理解算理，是两位数乘两位数教学的关键所在。
二、教学过程
（一）复习旧知，做好铺垫
口算：
20×30= 140×20= 150×3=
50×80= 4×120= 50×40=
【評析】通过练习回顾两位数乘整数的计算方法，利用比赛的形式，提高学生参与学习的积极性。
（二）新课教学，理清算理
1. 课件导入，明确问题
题：学校举行队列表演，一共有12行，每行有14人。
师：根据信息，提出一个数学问题。
生：一共有多少人？
师：哪位同学来列一列算式？
生：14×12=？
师：这个算式表示什么意思？
生：每排14人，一共有12排，求一共有多少人。
师：估计一下，大约有多少人？
生：100多人。
师：为什么说是100多人呢？
生：因为是两位数，14×12分别看成10×10，两个1相乘就等于1，那就是100，不计算个位的。
师：这样的理解大家同意吗？
生：同意。
师：那具体是多少人呢？
生：算一算！
【评析】借助学生熟知的“排队问题”，拉近课堂与学生的距离，激发学习兴趣。引导学生探求“一共有多少人”，进而引出将要学习的内容，体现数学来源于生活，又服务于生活的特点。在算式列出后，让学生进行了估算。
2. 动手操作，感悟算理
（1）在点子图上画一画，想一想，怎样求出一共多少人，并且把想法或思考的过程写在纸上。
学生思考、操作，写出自己的想法，教师选择有代表性的作品贴在黑板上。
（2）学生汇报，分析算理。
师：黑板上有同学们找到的很多种方法，请大家看一看，想一想，能理解这些算法吗？如有不同的意见，也说一说。
生1：先圈10个12，再圈4个12， 120 48=168。
师：哪位同学再来说一说这种算法的理解。
生2：14×12可以看成14个12，就是10个12加上4个12。
师：你这种算法又是怎么想的？
生2：先圈10个14，再圈2个14， 140 28=168。
【评析】在孩子的眼中，上面两种算法属于不同的算法，这就需要教师给他们建立联系，帮助学生理清思路。
师：你发现这两种算法有什么共同点？
生3：我发现乘数都是按十位和个位上的数进行分拆的。
师：怎么想到要这样分拆呢？
生4：拆成整十数相乘，就变成我们学过的知识了。
师：讲得真好，这两种方法，表面上看不一样，其实内在是一样的。计算的时候，都是把乘数分拆成整十数和一位数，转化成了我们学过的知识，再进行计算。
师：看看这位同学的做法，你能看懂吗？
生5：我把14×12分拆，把12分成4和3，变成两位数乘一位数的计算。从图上看，每份都是4个14，14×4=56，一共3份，56×3=168。 师：这位同学的思路大家能看懂吗？
学生独立观察并分析算法。教师出示列表：
100 20 40 8=168
提问：①表格中的每个数据表示什么？
②结合点子图，说说它的计算过程。
【评析】教师有效利用点子图提供给学生相应的直观模型支撑，让学生更好地理解相对抽象的算理。直观图在为学生呈现多种算法的过程中同样具有重要的价值。运用点子图鼓励学生从多种角度思考问题，不同的学生有不同的思考方式，借助点子图，乘法计算就有了趣味性和创造性。有的学生思考方式是由“数”到“形”，而有的学生思考方式是由“形”到“数”，点子图就是最好的“形”的支撑。学生借助点子图不同的圈画方法得到不同的计算方法，也激发了他们的创造力。
（三）巩固练习，课堂总结（略）
三、全课点评
学生的学习不是单纯地模仿、练习与记忆。两位数乘两位数（横式笔算）把“点子图”“列表”等作为一种几何直观的形式引入教学，力图展现“知识背景——意义理解——感悟算理——揭示联系”这一过程，积累基本的数学活动经验。教学过程紧紧抓住数的拆分，理解“几个十加几个几”的运算意义，揭示相关数学知识之间的内在联系，使学生从整体上理解两位数乘两位数的意义，完善认知结构，掌握算理。
（一）通过直观操作和多元表征，促进对算理的理解
数学课程标准指出，学生学习数学的过程应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。数学教学强调的是学生经历学习的过程，这是学生真实的学习体验。在计算教学中，直观模型是幫助学生理解算理的一种重要方式。学生的已有经验中，更多的是“操作是操作，计算是计算”，这两者是脱节的，学生很难借助“操作”自主实现用“直观模型”解决数学问题的跨越。从上述课例研究中我们发现，学生在教师的引导下，利用点子图这一直观模型来领悟运算的意义，在理解算理的基础上让学生更好地体会“转化”的思想，以及计算方法的多样化。这个学习体验的过程才是教学的真谛。
这节课在算理形成的过程中，始终借助点子图、列表支撑每一步形成的过程，“先圈10个12，再圈4个12”“14×12可以看成14个12，就是10个12加上4个12”……把圈的过程和横式笔算的每一步意义进行思维层面的一一对应，相互融合，不但让学生理解了算理，还自然地形成了算法。
（二）通过丰富的教学活动来熟“法”悟“理”
理解算理和掌握算法是计算教学的两大任务，算法是解决问题的操作程序，算理是算法得以成立的数学原理。计算教学的关键是要正确处理好两者的关系。在看待计算教学算理和算法的问题上，按照“虚者实之，实者虚之”的原则，并将此作为计算课上算理教学的基本策略。虚即“算理”，实即“算法”，两者“一虚一实”，处理好“算理直观和算法抽象”之间的过渡，使学生不仅知其然，更知其所以然。如果教师在教学时忽略引导学生对算理的理解，这种急功近利的做法，会使学生失去独立思考以及对算理进行感悟的机会，影响学生计算能力的提高。
画一画、看一看、想一想、圈一圈、议一议、问一问、说一说、算一算，运用多种语言表征的形式，尊重学生，因势利导，为学生在算法和算理之间搭起一座桥梁，以提高学生的计算能力，并且为笔算乘法的学习打下基础。
关键词：直观模型；意义理解；算理；两位数乘两位数
计算教学在小学数学教学当中，看似直观简单，但要提高计算的速度和正确率，必须把直观简单的计算转化成大脑当中的抽象思维。因此，需要让学生掌握计算的算理，这样才能理清计算思路，达到较高的计算水平。
一、课前思考
（一）教材解读
两位数乘两位数（横式笔算）是北师大版三年级下册第三单元的内容，横式笔算独立成页是北师大版教材的一大特点。教材结合“队列表演”的具体情境，借助点子图、列表等介质，逐步引导学生探究两位数乘两位数横式笔算的过程与方法，理解算理。
两位数与两位数相乘是学生在学习了乘法的意义、表内乘法、两位数乘一位数的基础上进行的。在教学实践中，教师大多采取的是鼓励学生联系已有知识经验来探索如何进行计算，特别是如何运用竖式计算。很多教师都认为既然学生已经有了两位数乘一位数竖式计算的基础，两位数乘两位数就不需要再借助一些直观模型了。所以很多教师在教学这一内容时，选择一笔带过。
（二）课前调查
1. 我们对四年级下册已经学过两位数乘两位数和除数是两位数的除法的45名学生进行了学后调查，调查内容如下：根据竖式，可以直接解决问题吗？
四年级学生用竖式计算“28×42”已经非常熟练，但从调查的数据（表1）来看，只有60%左右的学生真正掌握了两位数乘两位数的算理。
2.我们对三年级一个班的45名学生进行了学前调查和访谈。调查内容是：计算 “14×12=（ ）”。调查结果如表2。
对18名列竖式的学生进行分析，基本掌握方法且计算结果正确的有11名学生。列竖式最典型的两种错误情况是：
当问某一步骤表示什么意义时，学生大都含糊其辞。与年级组其他教师分析后认为，即使计算正确，也可能是家长提前将列竖式计算教授给孩子，学生只得其形却未知其理，因而出现了错误，即使得其形也未必能完全理解算理。
而用分拆办法的典型错误是：
10×10=100 2×4=8 100 8=108
看来如何将抽象的算理通过更直观的操作转化为头脑中的表象，使学生真正理解算理，是两位数乘两位数教学的关键所在。
二、教学过程
（一）复习旧知，做好铺垫
口算：
20×30= 140×20= 150×3=
50×80= 4×120= 50×40=
【評析】通过练习回顾两位数乘整数的计算方法，利用比赛的形式，提高学生参与学习的积极性。
（二）新课教学，理清算理
1. 课件导入，明确问题
题：学校举行队列表演，一共有12行，每行有14人。
师：根据信息，提出一个数学问题。
生：一共有多少人？
师：哪位同学来列一列算式？
生：14×12=？
师：这个算式表示什么意思？
生：每排14人，一共有12排，求一共有多少人。
师：估计一下，大约有多少人？
生：100多人。
师：为什么说是100多人呢？
生：因为是两位数，14×12分别看成10×10，两个1相乘就等于1，那就是100，不计算个位的。
师：这样的理解大家同意吗？
生：同意。
师：那具体是多少人呢？
生：算一算！
【评析】借助学生熟知的“排队问题”，拉近课堂与学生的距离，激发学习兴趣。引导学生探求“一共有多少人”，进而引出将要学习的内容，体现数学来源于生活，又服务于生活的特点。在算式列出后，让学生进行了估算。
2. 动手操作，感悟算理
（1）在点子图上画一画，想一想，怎样求出一共多少人，并且把想法或思考的过程写在纸上。
学生思考、操作，写出自己的想法，教师选择有代表性的作品贴在黑板上。
（2）学生汇报，分析算理。
师：黑板上有同学们找到的很多种方法，请大家看一看，想一想，能理解这些算法吗？如有不同的意见，也说一说。
生1：先圈10个12，再圈4个12， 120 48=168。
师：哪位同学再来说一说这种算法的理解。
生2：14×12可以看成14个12，就是10个12加上4个12。
师：你这种算法又是怎么想的？
生2：先圈10个14，再圈2个14， 140 28=168。
【评析】在孩子的眼中，上面两种算法属于不同的算法，这就需要教师给他们建立联系，帮助学生理清思路。
师：你发现这两种算法有什么共同点？
生3：我发现乘数都是按十位和个位上的数进行分拆的。
师：怎么想到要这样分拆呢？
生4：拆成整十数相乘，就变成我们学过的知识了。
师：讲得真好，这两种方法，表面上看不一样，其实内在是一样的。计算的时候，都是把乘数分拆成整十数和一位数，转化成了我们学过的知识，再进行计算。
师：看看这位同学的做法，你能看懂吗？
生5：我把14×12分拆，把12分成4和3，变成两位数乘一位数的计算。从图上看，每份都是4个14，14×4=56，一共3份，56×3=168。 师：这位同学的思路大家能看懂吗？
学生独立观察并分析算法。教师出示列表：
100 20 40 8=168
提问：①表格中的每个数据表示什么？
②结合点子图，说说它的计算过程。
【评析】教师有效利用点子图提供给学生相应的直观模型支撑，让学生更好地理解相对抽象的算理。直观图在为学生呈现多种算法的过程中同样具有重要的价值。运用点子图鼓励学生从多种角度思考问题，不同的学生有不同的思考方式，借助点子图，乘法计算就有了趣味性和创造性。有的学生思考方式是由“数”到“形”，而有的学生思考方式是由“形”到“数”，点子图就是最好的“形”的支撑。学生借助点子图不同的圈画方法得到不同的计算方法，也激发了他们的创造力。
（三）巩固练习，课堂总结（略）
三、全课点评
学生的学习不是单纯地模仿、练习与记忆。两位数乘两位数（横式笔算）把“点子图”“列表”等作为一种几何直观的形式引入教学，力图展现“知识背景——意义理解——感悟算理——揭示联系”这一过程，积累基本的数学活动经验。教学过程紧紧抓住数的拆分，理解“几个十加几个几”的运算意义，揭示相关数学知识之间的内在联系，使学生从整体上理解两位数乘两位数的意义，完善认知结构，掌握算理。
（一）通过直观操作和多元表征，促进对算理的理解
数学课程标准指出，学生学习数学的过程应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。数学教学强调的是学生经历学习的过程，这是学生真实的学习体验。在计算教学中，直观模型是幫助学生理解算理的一种重要方式。学生的已有经验中，更多的是“操作是操作，计算是计算”，这两者是脱节的，学生很难借助“操作”自主实现用“直观模型”解决数学问题的跨越。从上述课例研究中我们发现，学生在教师的引导下，利用点子图这一直观模型来领悟运算的意义，在理解算理的基础上让学生更好地体会“转化”的思想，以及计算方法的多样化。这个学习体验的过程才是教学的真谛。
这节课在算理形成的过程中，始终借助点子图、列表支撑每一步形成的过程，“先圈10个12，再圈4个12”“14×12可以看成14个12，就是10个12加上4个12”……把圈的过程和横式笔算的每一步意义进行思维层面的一一对应，相互融合，不但让学生理解了算理，还自然地形成了算法。
（二）通过丰富的教学活动来熟“法”悟“理”
理解算理和掌握算法是计算教学的两大任务，算法是解决问题的操作程序，算理是算法得以成立的数学原理。计算教学的关键是要正确处理好两者的关系。在看待计算教学算理和算法的问题上，按照“虚者实之，实者虚之”的原则，并将此作为计算课上算理教学的基本策略。虚即“算理”，实即“算法”，两者“一虚一实”，处理好“算理直观和算法抽象”之间的过渡，使学生不仅知其然，更知其所以然。如果教师在教学时忽略引导学生对算理的理解，这种急功近利的做法，会使学生失去独立思考以及对算理进行感悟的机会，影响学生计算能力的提高。
画一画、看一看、想一想、圈一圈、议一议、问一问、说一说、算一算，运用多种语言表征的形式，尊重学生，因势利导，为学生在算法和算理之间搭起一座桥梁，以提高学生的计算能力，并且为笔算乘法的学习打下基础。