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【摘要】数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数学的本质特征就是，在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究。因此，在当前高中课程改革的大潮中，教师如何在数学教学中加强学生的数学模式意识、识别数学模式，提高学生用数学模式解题的能力，仍是我们教师在课堂教学中永恒的话题。
【关键词】数学教学;数学模式;模式识别;模式变换
Discusses in mathematics teaching shallowly the schema proccessing
Wei Jie
【Abstract】Mathematics is the research real world space form and the stoichiometric relation science, mathematics substantive characteristics is, in makes in the abstract process from the patternizing individual to conduct the research to the pattern. Therefore, in the current high school curriculum reform’s flood tide, how the teacher to strengthen student’s mathematical model consciousness, the recognition mathematical model in mathematics teaching, enhances the student to use the mathematical model problem solving ability, was still our teacher in the classroom instruction the eternal topic.
【Key words】Mathematics teaching; Mathematical model; Pattern recognition; Pattern transformation
新一轮高中课程改革标准已开始实施，这是教育改革的必然，是基础教育课程改革的深化和延伸。自从上世纪九十年代提出的素质教育到《基础教育课程改革纲要》的实施，至今已有二十多年。但纵观教育改革的效果却不尽人意，“形”似而“神”不似的课堂教学形式并不少见，沿袭传统的教学模式甚或照本宣科的教学依然存在，这不得不引起人们对当前高中课程改革的回眸。如何在当前高中课程改革的大潮中，把握好课程标准的实质；如何把先进的教学理念和教学方法付诸于教学实践中，已成为广大高中教师急需思考的一个问题。
首先，数学教学的前提是数学，而数学又是一门关于模式的学科，符号模式，图形模式构成了数学知识的核心内容，其自身的特点（符号化，形式化，抽象性，概括性，逻辑性，精确性等）确定了数学教学的过程就是模式形成和发展的过程，数学学习的过程就是模式的识别、理解的过程，数学思想方法和技巧的训练过程就是模式的变换、沟通的过程。 陕西师范大学惠州人老师在《数学教学首先要有数学知识结构的明确》一文中说：“没有数学内容的本质明确，即使有高技巧的华丽教学，也不会有高水平的数学教学”。[1]因此，扎实的数学专业理论知识，教师对数学这门学科的特点、规律的感悟，教师在长期的教学实践中所获得的数学经验，成为搞好数学教学的重要保障。失去这些支撑的数学教学将是花样式的“形”似而“神”不似，成为无源之本，无水之木。这就要求教师必须先过好数学关，既要有高屋建瓴地驾驭知道的能力，又要有对教学过程进行合理设计和掌控的能力。
其次，学生是数学教学的出发点和归宿，数学教学的目的不是为了学习数学而教学，而在于以数学内容为载体开拓学生的思维，提高学生分析问题、解决问题的能力，最终实现对学生进行创新精神和创新能力的培养。陕西师范大学罗增儒老师在《形象化-需要，但不要停留》一文中有这样一段话：“数学教学不是宣读学术论文，也不是教师知识的单流向简单输出，它应是一种创造性的学术活动。……，包含着对数学内容的再创造加工和对教学过程的创造性设计，其结果，将更反映数学的本来面目和真实发展的过程，也更反映教育的本质”。[2]罗增儒老师以一个数学家的眼光，站在数学教育家的高度，深刻地阐述了数学教学的本质。一是对数学内容的再创造加工，应包含对抽象数学结论的现实模型的体现，知识发展过程中的模式探究和补充，逻辑推理过程中所用的数学思想方法的选择等。这是一个返璞归真的加工过程，旨在还原知识的本来面目和真实发展的旅途。为学生提供一个模拟数学研究的园地；为学生的学习提供知识和智力支撑；为原来枯燥乏味的“死”的数学注入血液，给学生展现出一幅鲜活、动态的知识画卷。二是，教学过程的创造性设计，教学过程的设计要着眼于学生掌握知识、发展思维、提高能力。要做到分化难点，突出重点，做到把抽象知识结论通俗化、直观化处理。要有知识发展、变化的过程，保证教学活动中的知识“序”与学生的认知“序”的统一，促使学生看得见，想得通。通过问题情境，激发学生的求知欲，调动学生积极主动地参与到教学活动中。营造学出既有学生获得知识的成功喜悦，又有愉悦的情感体验的课堂氛围，使每个学生都学有所得，各有发展。
但传统的师讲生听的教学模式，缺少“直观性”、“过程性”和“再发现”。结果泯灭了学生的数学学习兴趣，扼杀了学生的创造灵感，学生成为被动接受知识的容器。相应地学生的学习方式是重复的机械化操作，死记硬背。所获得的是一些支璃破碎、不成体系的知识点。根据建构主义学习观：“知识不能简单地由老师或他人传授给学生，而只能由每个学生依据自己已有的知识和经验主动地加以构建。”学生的知识构建是一个“悟”的过程，需有“看”的模式对比度，“思”的诱发情境，“走”的逻辑线路，模式沟通的数学思想方法和技巧的支撑。这就需要教师在教学活动中补充“营养”，充分发挥疏导作用，扮好服务生，演好通信员。数学教学中教师要演好这些角色，数学模式处理尤为关键，也是教师完成教学目标和任务，最终实现数学教育目的的主阵地。下面谈几点自己在实际教学中，对模式处理的体会。
1 树立建模意识
建模意识的培养其本质就是数学意识的培养。从小学到中学，教材中都非常重视对学生进行建模意识的训练。如小学阶段所讲的应用题问题，先是讲列算式解应题，后初步学一些列方程解应用题，到了初中主要就是学习列方程解应用题。在高中阶段所学的线性规划，求圆锥曲线的标准方程，建立函数解决最值问题等，都是具有较强针对性的建模训练。除此之外，在其他内容的教学中也应得到加强，特别是在练习中更应重视建模训练。例如：已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称。求证：函数f(x)是周期函数。解决这个问题的关键，抽象出f(-x)=-f(x)和f(1+x)=f(1-x)两个式子，然后对上述两式进行变形，把它与周期函数的数学模式f(x)=f(x+T)进行沟通，就能顺利完成证明过程。而且在训练中，老师要放手让学生自己完成抽象化的构建过程，促使学生亲身体验获得结论的情境。建模意识的训练旨在促进学生把感性认识上升到理性认识，教会学生学会数学地思考问题。
2 增强模式的认知能力
学生的模式识别能力是理解数学知识的认识基础，是教师完成教学目标，教学活动得以顺利展开的前提。试想学生对所给的数学模式都不认识，如何谈起能掌握好所学的教学内容；对题意都难以理解，又如何谈起能顺利解决所给的数学命题。这一点在边远地区、贫困地区的数学教学中尤为重要。教学中为了解决一道习题，曾碰到过这样一个式子：h=πk+232(k∈z)，提问学生它表示的是什么图形？竟然还有很多学生无法回答。这是一个初中就已学过的二次函数模型，由于k的取值原因，它的图形是抛物线上的一些孤立的点，如何才能使学生认识这一模型？这不得不引起教师的深深思考。模式识别能力的培养应从三个方面着手。
（1）重视数学语言的互化教学。主要有文字语言、符号语言和图形语言的相互转化。例如解三角形一节的教学中，推导出三角形面积公式：S=12absinC=12acsinB=12bcsinA，对于学生来说是容易理解的，但若记住上述式子掌握三角形面积求法，却很容易遗忘。若能让学生观察三个式子的共同特点，归纳总结出“三角形的面积等于任意两边和它们夹角正弦值的积的一半”。这种描述性的语言，学生的记忆会更深刻，甚至可能终生难忘。又如：已知a、b是两个非零向量，且｜a｜=｜b｜=｜a-b｜。求a与a+b的夹角。解决问题的关键在于把式子：｜a｜=｜b｜=｜a-b｜转化为图形语言，表示一个等边三角形，问题就可迎刃而解了。
（2）强化模式差异分析教学。学生在数学学习中，经常会碰到很多形式相似或称呼相近的数学式子。教学中必须让学生能区分清楚，否则会造成学生认知上的混乱。如初中阶段所学的平方差公式与完全平方公式，高中阶段所学的向量共线的坐标表达式与向量垂直的坐标表达式；椭圆与双曲线的离心率公式，a、b、c三者之间的关系式；立体几何中的线线角、线面角、面面角的取值范围的区别；解析几何中的两直线所成的角与一条直线到另一条直线所成的角的取值范围的区别。再如在均值不等式的教学中，为了使学生认识到利用匀值不等式解决最值问题，需要验证三个条件，就给学生做这样一道习题：求函数y=x+4x和y=sinx+4sinx的最小值，其中，0＜x＜π。后一式子是不能用均值不等式解决的，虽然模型一样，但不满足成立的条件，应该用函数单调性解决。
3 提高模式变换能力
模式变换能力的提高，就会促进学生对数学知识的认知和理解，增进学生数学思维的灵活性，进而提高学生的逻辑推理能力的，提高学生分析问题、解决问题的能力。就会在探索问题的解决过程中，产生有别于常规解法的创造性解法。但要注意变换难度的控制，争取绝大多数学生都有所收获，有所提高。同时，变换过程中还要注意挖掘思维的启发点，为学生提供思维上的点拨。教学中主要从以下几个方面入手。
（1）抽象模式直观化。罗增儒老师曾说过这样一句话：“数学教学需要一些直观性的设计，作为学生理解抽象数学结论的现实基础，作为学生主动构建新知识的认知基础，作为师生探究性学习的发现情境”。[3]罗老师从数学家的高度，深刻地道出直观化处理在数学教学中的重要性。教学中直观化处理可从两个方面着手。一是直观化的描述。例如：为了区分与｛｝的区别，可以把比喻为一个空房间，而把｛｝比喻为空房间里放了一个空箱子，即空房间不空。二是转化为直观图形。例如求函数y=
x2-4x+5+x2-10x+34的最小值。先把式子变换成： y=(x-2)2+(0-1)2+(x-5)2+(0-3)2，这一形式与距离公式的模型就相近了。引导学生归纳出式子的表达含义，表示坐标平面内x轴上的点（x,0）与点(2,1)和点(5,3)的距离之和。这样就把抽象的式子与初中所学的在河边建抽水站，抽水站应建在什么位置？才能使抽水到两个村庄所用水管最少的问题建立了一种跨越时空的联系。然后在坐标平画出图形，利用对称性就能经松解决这一问题。
（2）抽象模式熟习化。抽象模式熟习化，是人们认识事物的基本规律、是学生理解数学知识的基础，是学生解决数学问题的常用技巧。例如：已知函数f(x)=2x，函数g(x)的图象与函数f(x)的图象关于y轴对称，求不等式f(x2)+g(2x)＞g(x2)+f(2x)的解集。将条件中的“函数g(x)的图象与函数f(x)的图象关于y轴对称”转化为“函数g(x)与函数f(-x)相等”，抽象出式子g(x)=f(-x)=(12)x。再对比结论左右两边差异，变换出f(x2)－g(x2)＞f (2x)－g(2x)。构造出函数F(x)=f(x)－g(x)，即F(x)=2x－12x，利用函数F(x)的单调性，就可以将上述不等式转化为：x2＞2x，到此问题就变得非常简单了。再如：已知集合A={x＝｜x2-3x-10≤0}，B={x｜m+1≤x≤2m-1}，若A∪B=A，求实数m的取值范围。首先把集合A转化为“A={ x｜-2≤x≤5}”，把“A∪B=A”转化为“B A”。根据B是A的子集，就可以列出关于m的不等式：
m+1-2
2m-15
2m-1m+1或2m-1＜m+1(B=的情况)，即可求出m的取值范围是m≤3。
（3）加强变式训练。变式训练在于加强学生从多角度、多方面思考问题，开拓学生的知识视野，加强学生对所学知识之间的联系和沟通。帮助学生形成知识网络，优化数学认知结构，并在训练中达到培养学生思维的发散性、灵活性和广阔性的目的。例如：已知正数a、b满足a+b=3，求1+a+1+b的最大值。解：由
2[(1+a)2+(1+b)2](1+a+1+b)22(1+a)(1+b)(1+a+1+b)2(1+a+1+b)22(2+a+b)(1+a1+b)10。这是均值不等式变式：a+b2（a+b)22的一个缩影。又如：设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小。解法一（作差法）为了对aabb-abba这一式子进行因式分解判断其符号，需要分类讨论。当a＞b＞0时，aabb-abba= abbb(aa-b-ba-b)，∵a＞b＞0，∴aa-b-ba-b＞0，∴aabb-aabb＞0即aabb＞aabb；当0＜a＜b时，aabb-abba= aaba(ab-a-bb-a)，∵b＞a＞0，∴ bb-a-ab-a＞0, ∴aabb-abba＞0即aabb＞abba。所以aabb＞abba。解法二（作商法）∵aabbabba=aabbabba=aa-b•bb-a=(ab)a-b。当a＞b＞0时，ab＞1，a-b＞0 ∴(ab)a-b＞1，∴aabb＞abba；当0＜a＜b时，0＜ab＜1，a-b＜0，∴(ab)a-b＞1，∴aabb＞abba。所以aabb ＞abba。象这样的例子在数学课堂中还有很多，在此不一一例举。仅以它们说明数学教学中变式训练对帮助学生理解数学知识，提高数学思维能力的重要性。
总之，要做到“形”散而“神”不散的数学课堂教学，除对教法的研究外，还得在教学内容上下真功夫。从数学模式的处理中，找到知识发展的脉络、变化过程，找到知识间的纵横向联系，找到师生研究性学习的切入点。唯有如此，才能为学生提供优质的知识结构素材，新课改的初衷也才能真正得以实现。
参考文献
[1] 惠州人.数学教学首先要有数学知识结构的明确.中学数学教学参考，2001.第8期
[2] 罗增儒. 形象化-需要，但不要停留.中学数学教学参考，2002，第4期
【关键词】数学教学;数学模式;模式识别;模式变换
Discusses in mathematics teaching shallowly the schema proccessing
Wei Jie
【Abstract】Mathematics is the research real world space form and the stoichiometric relation science, mathematics substantive characteristics is, in makes in the abstract process from the patternizing individual to conduct the research to the pattern. Therefore, in the current high school curriculum reform’s flood tide, how the teacher to strengthen student’s mathematical model consciousness, the recognition mathematical model in mathematics teaching, enhances the student to use the mathematical model problem solving ability, was still our teacher in the classroom instruction the eternal topic.
【Key words】Mathematics teaching; Mathematical model; Pattern recognition; Pattern transformation
新一轮高中课程改革标准已开始实施，这是教育改革的必然，是基础教育课程改革的深化和延伸。自从上世纪九十年代提出的素质教育到《基础教育课程改革纲要》的实施，至今已有二十多年。但纵观教育改革的效果却不尽人意，“形”似而“神”不似的课堂教学形式并不少见，沿袭传统的教学模式甚或照本宣科的教学依然存在，这不得不引起人们对当前高中课程改革的回眸。如何在当前高中课程改革的大潮中，把握好课程标准的实质；如何把先进的教学理念和教学方法付诸于教学实践中，已成为广大高中教师急需思考的一个问题。
首先，数学教学的前提是数学，而数学又是一门关于模式的学科，符号模式，图形模式构成了数学知识的核心内容，其自身的特点（符号化，形式化，抽象性，概括性，逻辑性，精确性等）确定了数学教学的过程就是模式形成和发展的过程，数学学习的过程就是模式的识别、理解的过程，数学思想方法和技巧的训练过程就是模式的变换、沟通的过程。 陕西师范大学惠州人老师在《数学教学首先要有数学知识结构的明确》一文中说：“没有数学内容的本质明确，即使有高技巧的华丽教学，也不会有高水平的数学教学”。[1]因此，扎实的数学专业理论知识，教师对数学这门学科的特点、规律的感悟，教师在长期的教学实践中所获得的数学经验，成为搞好数学教学的重要保障。失去这些支撑的数学教学将是花样式的“形”似而“神”不似，成为无源之本，无水之木。这就要求教师必须先过好数学关，既要有高屋建瓴地驾驭知道的能力，又要有对教学过程进行合理设计和掌控的能力。
其次，学生是数学教学的出发点和归宿，数学教学的目的不是为了学习数学而教学，而在于以数学内容为载体开拓学生的思维，提高学生分析问题、解决问题的能力，最终实现对学生进行创新精神和创新能力的培养。陕西师范大学罗增儒老师在《形象化-需要，但不要停留》一文中有这样一段话：“数学教学不是宣读学术论文，也不是教师知识的单流向简单输出，它应是一种创造性的学术活动。……，包含着对数学内容的再创造加工和对教学过程的创造性设计，其结果，将更反映数学的本来面目和真实发展的过程，也更反映教育的本质”。[2]罗增儒老师以一个数学家的眼光，站在数学教育家的高度，深刻地阐述了数学教学的本质。一是对数学内容的再创造加工，应包含对抽象数学结论的现实模型的体现，知识发展过程中的模式探究和补充，逻辑推理过程中所用的数学思想方法的选择等。这是一个返璞归真的加工过程，旨在还原知识的本来面目和真实发展的旅途。为学生提供一个模拟数学研究的园地；为学生的学习提供知识和智力支撑；为原来枯燥乏味的“死”的数学注入血液，给学生展现出一幅鲜活、动态的知识画卷。二是，教学过程的创造性设计，教学过程的设计要着眼于学生掌握知识、发展思维、提高能力。要做到分化难点，突出重点，做到把抽象知识结论通俗化、直观化处理。要有知识发展、变化的过程，保证教学活动中的知识“序”与学生的认知“序”的统一，促使学生看得见，想得通。通过问题情境，激发学生的求知欲，调动学生积极主动地参与到教学活动中。营造学出既有学生获得知识的成功喜悦，又有愉悦的情感体验的课堂氛围，使每个学生都学有所得，各有发展。
但传统的师讲生听的教学模式，缺少“直观性”、“过程性”和“再发现”。结果泯灭了学生的数学学习兴趣，扼杀了学生的创造灵感，学生成为被动接受知识的容器。相应地学生的学习方式是重复的机械化操作，死记硬背。所获得的是一些支璃破碎、不成体系的知识点。根据建构主义学习观：“知识不能简单地由老师或他人传授给学生，而只能由每个学生依据自己已有的知识和经验主动地加以构建。”学生的知识构建是一个“悟”的过程，需有“看”的模式对比度，“思”的诱发情境，“走”的逻辑线路，模式沟通的数学思想方法和技巧的支撑。这就需要教师在教学活动中补充“营养”，充分发挥疏导作用，扮好服务生，演好通信员。数学教学中教师要演好这些角色，数学模式处理尤为关键，也是教师完成教学目标和任务，最终实现数学教育目的的主阵地。下面谈几点自己在实际教学中，对模式处理的体会。
1 树立建模意识
建模意识的培养其本质就是数学意识的培养。从小学到中学，教材中都非常重视对学生进行建模意识的训练。如小学阶段所讲的应用题问题，先是讲列算式解应题，后初步学一些列方程解应用题，到了初中主要就是学习列方程解应用题。在高中阶段所学的线性规划，求圆锥曲线的标准方程，建立函数解决最值问题等，都是具有较强针对性的建模训练。除此之外，在其他内容的教学中也应得到加强，特别是在练习中更应重视建模训练。例如：已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称。求证：函数f(x)是周期函数。解决这个问题的关键，抽象出f(-x)=-f(x)和f(1+x)=f(1-x)两个式子，然后对上述两式进行变形，把它与周期函数的数学模式f(x)=f(x+T)进行沟通，就能顺利完成证明过程。而且在训练中，老师要放手让学生自己完成抽象化的构建过程，促使学生亲身体验获得结论的情境。建模意识的训练旨在促进学生把感性认识上升到理性认识，教会学生学会数学地思考问题。
2 增强模式的认知能力
学生的模式识别能力是理解数学知识的认识基础，是教师完成教学目标，教学活动得以顺利展开的前提。试想学生对所给的数学模式都不认识，如何谈起能掌握好所学的教学内容；对题意都难以理解，又如何谈起能顺利解决所给的数学命题。这一点在边远地区、贫困地区的数学教学中尤为重要。教学中为了解决一道习题，曾碰到过这样一个式子：h=πk+232(k∈z)，提问学生它表示的是什么图形？竟然还有很多学生无法回答。这是一个初中就已学过的二次函数模型，由于k的取值原因，它的图形是抛物线上的一些孤立的点，如何才能使学生认识这一模型？这不得不引起教师的深深思考。模式识别能力的培养应从三个方面着手。
（1）重视数学语言的互化教学。主要有文字语言、符号语言和图形语言的相互转化。例如解三角形一节的教学中，推导出三角形面积公式：S=12absinC=12acsinB=12bcsinA，对于学生来说是容易理解的，但若记住上述式子掌握三角形面积求法，却很容易遗忘。若能让学生观察三个式子的共同特点，归纳总结出“三角形的面积等于任意两边和它们夹角正弦值的积的一半”。这种描述性的语言，学生的记忆会更深刻，甚至可能终生难忘。又如：已知a、b是两个非零向量，且｜a｜=｜b｜=｜a-b｜。求a与a+b的夹角。解决问题的关键在于把式子：｜a｜=｜b｜=｜a-b｜转化为图形语言，表示一个等边三角形，问题就可迎刃而解了。
（2）强化模式差异分析教学。学生在数学学习中，经常会碰到很多形式相似或称呼相近的数学式子。教学中必须让学生能区分清楚，否则会造成学生认知上的混乱。如初中阶段所学的平方差公式与完全平方公式，高中阶段所学的向量共线的坐标表达式与向量垂直的坐标表达式；椭圆与双曲线的离心率公式，a、b、c三者之间的关系式；立体几何中的线线角、线面角、面面角的取值范围的区别；解析几何中的两直线所成的角与一条直线到另一条直线所成的角的取值范围的区别。再如在均值不等式的教学中，为了使学生认识到利用匀值不等式解决最值问题，需要验证三个条件，就给学生做这样一道习题：求函数y=x+4x和y=sinx+4sinx的最小值，其中，0＜x＜π。后一式子是不能用均值不等式解决的，虽然模型一样，但不满足成立的条件，应该用函数单调性解决。
3 提高模式变换能力
模式变换能力的提高，就会促进学生对数学知识的认知和理解，增进学生数学思维的灵活性，进而提高学生的逻辑推理能力的，提高学生分析问题、解决问题的能力。就会在探索问题的解决过程中，产生有别于常规解法的创造性解法。但要注意变换难度的控制，争取绝大多数学生都有所收获，有所提高。同时，变换过程中还要注意挖掘思维的启发点，为学生提供思维上的点拨。教学中主要从以下几个方面入手。
（1）抽象模式直观化。罗增儒老师曾说过这样一句话：“数学教学需要一些直观性的设计，作为学生理解抽象数学结论的现实基础，作为学生主动构建新知识的认知基础，作为师生探究性学习的发现情境”。[3]罗老师从数学家的高度，深刻地道出直观化处理在数学教学中的重要性。教学中直观化处理可从两个方面着手。一是直观化的描述。例如：为了区分与｛｝的区别，可以把比喻为一个空房间，而把｛｝比喻为空房间里放了一个空箱子，即空房间不空。二是转化为直观图形。例如求函数y=
x2-4x+5+x2-10x+34的最小值。先把式子变换成： y=(x-2)2+(0-1)2+(x-5)2+(0-3)2，这一形式与距离公式的模型就相近了。引导学生归纳出式子的表达含义，表示坐标平面内x轴上的点（x,0）与点(2,1)和点(5,3)的距离之和。这样就把抽象的式子与初中所学的在河边建抽水站，抽水站应建在什么位置？才能使抽水到两个村庄所用水管最少的问题建立了一种跨越时空的联系。然后在坐标平画出图形，利用对称性就能经松解决这一问题。
（2）抽象模式熟习化。抽象模式熟习化，是人们认识事物的基本规律、是学生理解数学知识的基础，是学生解决数学问题的常用技巧。例如：已知函数f(x)=2x，函数g(x)的图象与函数f(x)的图象关于y轴对称，求不等式f(x2)+g(2x)＞g(x2)+f(2x)的解集。将条件中的“函数g(x)的图象与函数f(x)的图象关于y轴对称”转化为“函数g(x)与函数f(-x)相等”，抽象出式子g(x)=f(-x)=(12)x。再对比结论左右两边差异，变换出f(x2)－g(x2)＞f (2x)－g(2x)。构造出函数F(x)=f(x)－g(x)，即F(x)=2x－12x，利用函数F(x)的单调性，就可以将上述不等式转化为：x2＞2x，到此问题就变得非常简单了。再如：已知集合A={x＝｜x2-3x-10≤0}，B={x｜m+1≤x≤2m-1}，若A∪B=A，求实数m的取值范围。首先把集合A转化为“A={ x｜-2≤x≤5}”，把“A∪B=A”转化为“B A”。根据B是A的子集，就可以列出关于m的不等式：
m+1-2
2m-15
2m-1m+1或2m-1＜m+1(B=的情况)，即可求出m的取值范围是m≤3。
（3）加强变式训练。变式训练在于加强学生从多角度、多方面思考问题，开拓学生的知识视野，加强学生对所学知识之间的联系和沟通。帮助学生形成知识网络，优化数学认知结构，并在训练中达到培养学生思维的发散性、灵活性和广阔性的目的。例如：已知正数a、b满足a+b=3，求1+a+1+b的最大值。解：由
2[(1+a)2+(1+b)2](1+a+1+b)22(1+a)(1+b)(1+a+1+b)2(1+a+1+b)22(2+a+b)(1+a1+b)10。这是均值不等式变式：a+b2（a+b)22的一个缩影。又如：设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小。解法一（作差法）为了对aabb-abba这一式子进行因式分解判断其符号，需要分类讨论。当a＞b＞0时，aabb-abba= abbb(aa-b-ba-b)，∵a＞b＞0，∴aa-b-ba-b＞0，∴aabb-aabb＞0即aabb＞aabb；当0＜a＜b时，aabb-abba= aaba(ab-a-bb-a)，∵b＞a＞0，∴ bb-a-ab-a＞0, ∴aabb-abba＞0即aabb＞abba。所以aabb＞abba。解法二（作商法）∵aabbabba=aabbabba=aa-b•bb-a=(ab)a-b。当a＞b＞0时，ab＞1，a-b＞0 ∴(ab)a-b＞1，∴aabb＞abba；当0＜a＜b时，0＜ab＜1，a-b＜0，∴(ab)a-b＞1，∴aabb＞abba。所以aabb ＞abba。象这样的例子在数学课堂中还有很多，在此不一一例举。仅以它们说明数学教学中变式训练对帮助学生理解数学知识，提高数学思维能力的重要性。
总之，要做到“形”散而“神”不散的数学课堂教学，除对教法的研究外，还得在教学内容上下真功夫。从数学模式的处理中，找到知识发展的脉络、变化过程，找到知识间的纵横向联系，找到师生研究性学习的切入点。唯有如此，才能为学生提供优质的知识结构素材，新课改的初衷也才能真正得以实现。
参考文献
[1] 惠州人.数学教学首先要有数学知识结构的明确.中学数学教学参考，2001.第8期
[2] 罗增儒. 形象化-需要，但不要停留.中学数学教学参考，2002，第4期