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数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的特殊函数，可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.新课程下高考（广东卷）更加突出数列是特殊函数的本质考查，在解答这类题时架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们间的内在联系，就能轻松作答.本文以近两年高考（广东卷）的数列题为例，先对试题作出分析，再介绍其巧解方法.
一、高考真题
例1（2013广东，理19）设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-， n∈N？鄢.（1）求a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.
例2（2014广东，理19）设数列{an}的前项n和为Sn，满足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N？鄢，且S3=15.（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式.
二、试题分析
近年广东高考数列解答题，常与不等式证明结合作为压轴题的形式出现，这类问题既需要证明不等式的基本思想和方法，又要结合数列本身的结构和特点，有着较强的技巧性，能综合考查考生的逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.因此有关数列不等式的证明是一个常考不衰的题型，用“放缩法”证明数列不等式更是历年高考命题的热点，对“放缩法”的巧妙运用往往能体现出创造性，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果.但2014年就一改常态，不考不等式证明，考归纳推理、数学归纳法，这让很多考生不适应，完全在意料之外，整个题切入似乎比较难，导致广东今年数学高考成绩的平均分比去年低10多分.
两道题的常见解法：
例题1解答一：
（1） 解：∵ =an+1-n2-n-， n∈N？鄢.
∴当n=1时，2a1=2S1=a2--1-=a2-2
又∵ a1=1
∴ a2=4
（2）解：∵ =an+1-n2-n-， n∈N？鄢.
∴ 2Sn=nan+1-n3-n2-n=nan+1- ①
∴ 当n≥2时，2Sn-1=（n-1）an- ②
由①-②，得2Sn-2Sn-1=nan+1-（n-1）an-n（n+1）
∵ 2an=2Sn-2Sn-1
∴ 2an=nan+1-（n-1）an-n（n+1）
∴ -=1
∴ 数列是首项为=1，公差为1的等差数列.
∴ =1+1×（n-1）=n，∴ an=n2（n≥2）
当n=1时，上式显然成立.
∴ an=n2，n∈N？鄢.
（3）证明：由（2）知，an=n2，n∈N？鄢
① 当n=1时，=1<，原不等式成立.
② 当n=2时， +=1+<，原不等式亦成立.
③ 当n≥3时， ∵ n2>（n-1）·（n+1），∴ <
∴ ++…+=++…+<1+++…++
=1+（-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）
=1+（-+-+-+…+-+-）
=1+（+--）=+（--）<
当n≥3时，原不等式亦成立.
综上所述，对一切正整数n，有++…+<.
例题2解答一：
解：⑴由题意得：S2=4a3-20，S3=S2+a3=5a3-20
又S3=15
∴ a3=7，S2=4a3-20=8
又S2=S1+a2=（2a2-7）+a2=3a2-7
∴ a2=5，a1=S1=2a2-7=3
综上知a1=3，a2=5，a3=7.
（2）由（1）猜想an=2n+1，下面用数学归纳法证明.
① 当n=1时，结论显然成立.
② 假设当n=k（k≥1）时，ak=2k+1
则Sk=3+5+7+（2k+1）=×k=k（k+2）
又Sk=2kak+1-3k2-4k
∴ k（k+2）=2kak+1-3k2-4k，解得2ak+1=4k+6
∴ ak+1=2（k+1）+1
即当n=k+1时，结论成立.
由①②知，？坌n∈N？鄢，an=2n+1.
三、试题评价
从试题的设计来看，第一道数列试题充分体现了考基础、考能力、考素质、考潜能和以考生发展为本的考试目标.试题的第（1）问比较常规，属于送分题，学生比较容易上手，以增加学生解决综合题和战胜困难的信心；第（2）问利用递推关系求数列通项公式，这应该是学生比较熟悉的，这样可以让他们能够心平气和地思考问题，但在思维的层次上和运算能力上作了一个适当的提升，对中等偏下的学生设置了障碍；第（3）问是为一些优秀学生提供了充分展示自己智力的平台，让这些学生能够脱颖而出.这样，逐步增加试题思维的难度，达到通过数列压轴题增加试卷区分度的目的，对今后中学数学教育改革有良好的推动与导向作用.第二道数列题，第（1）问求数列的前三项，通过解方程组可以求出；第（2）问不少考生还是试图通过公式an=Sn-Sn-1（n≥2）去求，也是平时备考复习做得比较多的题型，发现做不下去，很少考生能发现第（1）问的提示作用，利用归纳推理，先猜后证，再用数学归纳法证明，这也与平时教学有关. 从评卷情况来看，数列解答题虽然一看题目似乎是可以用“通性通法”求解，但很多考生的思维定势比较明显，不能做到灵活变通，导致对数列题的解答“会而不对”.
四、试题巧解
笔者深入分析这两道题发现：事实上都是考查数列是特殊函数的本质，也就说可以从函数的角度来分析作答，如果能够先求出函数Sn = f（n）（n∈N？鄢）的表达式，再由公式an=Sn-Sn-1（n≥2）去求an就是水到渠成的事了. 下面根据题目条件的特点，用待定系数先求Sn再求an.
例题1解答二：
（1）解略.
（2）解：由题意可设Sn=an3+bn2+cn+d（a≠0）
则an+1=Sn+1-Sn=[a（n+1）3+b（n+1）2+c（n+1）+d]-（an3+bn2+cn+d）
=3an2+（3a+2b）n+a+b+c
由条件=an+1-n2-n-，即2Sn=nan+1-n3-n2-n
可得：2an3+2bn2+2cn+2d=（3a-）n3+（3a+2b-1）n2+（a+b+c-）n对？坌n∈N？鄢成立.
∴ 2a=3a-，2b=3a+2b-1，2c=a+b+c-，d=0.又a1=S1=a+b+c+d=1，解得a=，b=，c=，d=0.
∴ Sn=n3+n2+n，n∈N？鄢
当n≥2时
an=Sn-Sn-1=（n3+n2+n）-[（n-1）3+（n-1）2+（n-1）]=n2
∴ an=n2，n∈N？鄢.
（3）解略.
例题2解答二：
（1）解略
（2）解：由题意可设Sn=an2+bn+c（a≠0）
则an+1=Sn+1-Sn=[a（n+1）2+b（n+1）+c]-（an2+bn+c）=2an+a+b
由条件Sn=2nan+1-3n2-4n，可得an2+bn+c=（4a-3）n2+2（a+b-2）n对？坌n∈N？鄢成立
∴ 4a-3=a，2a+2b-4=b，c=0，解得 a=1，b=2，c=0，
∴ Sn=n2+2n，n∈N？鄢
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+2n）-[（n-1）2-2（n-1）]=2n-1
当n=1时，上式显然成立.
∴ an=2n-1，n∈N？鄢.
以上介绍的待定系数法求Sn，揭示数列是特殊函数的本质，思路清晰，真正体现“数学是自然的”，达到化繁为简、化难为易的效果.
五、教学启示
今年高考数学（广东卷），考生普遍反映后几道大题难度有些大.从阅卷反馈情况来看：无法动笔的空白卷很少，但得分却不够理想.也就是说，人人都能动笔解答，却很少考生全做对，大多是只做了第一问，第二问就空白了，不知道循着题意“抢分”，这也给我们的教学带来一些启示.
（1）构建知识网络，基于知识形成过程理解知识
这两道题涉及的知识点比较基础，考查函数方程、不等式、归纳推理、数学归纳法、待定系数法、放缩法等，涉及函数与方程思想，转化与化归思想，数形结合思想等，无论是知识点还是数学思想方法都是课标中要求的最基本和应该掌握的重要内容.但测试效果并不如意，这说明平时的教学光死记硬背是不行的，应该让学生构建知识网络，把握知识间的内在联系，讲清知识的来龙去脉，让学生基于知识形成过程去理解知识，这样学生才能学得“活”.
（2）注重教材例习题的再创造，回归课本探源
课程改革非常反对题海战术，而强调对教材资源的开发和利用.教材中的例习题都是经典题目，能反映本节重点知识及知识的运用过程，这也是高考题的主要素材来源.如果教师平时注重对教材的发掘和再创造，不仅对高考题目命制的出发点有所了解，自身的教学教研能力也会得到很大的提升.如前文例题2，应用待定系数法解答会显得比较容易，简直不敢相信高考题竟会如此常规，但几乎没有考生这样去解答.
（3）注重数学本质的理解，培养灵活变通能力
在高三数学复习备考中，教师注重方法、题型、规律的总结，让学生记题型、背套路，类似于英语作文中的“模版”，缺乏对数学本质的提示，题目稍作变式学生就不适应.因此，教师在总结解题方法时，不应该流于题目的形式，更应该针对题目的内涵，从考察的知识点、隐含的数学思想等方面加以拓展，才能让学生对问题的本质有所了解，从而对不同的题目采用切实高效的解答策略.如本文的两道数例题，只记公式an=Sn-Sn-1（n≥2）的惯性思维，而在平时不注意归纳、猜想思维的培养，学生就不会想到用数学归纳法去解答. 如果在学习等差数列前n和时理解待定系数法，学生就能够想到求出函数Sn = f（n）（n∈N？鄢）的表达式，再求an，就有助于对数列本质的认识，进而克服思维定势的负面影响.
责任编辑 罗 峰
一、高考真题
例1（2013广东，理19）设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-， n∈N？鄢.（1）求a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.
例2（2014广东，理19）设数列{an}的前项n和为Sn，满足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N？鄢，且S3=15.（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式.
二、试题分析
近年广东高考数列解答题，常与不等式证明结合作为压轴题的形式出现，这类问题既需要证明不等式的基本思想和方法，又要结合数列本身的结构和特点，有着较强的技巧性，能综合考查考生的逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.因此有关数列不等式的证明是一个常考不衰的题型，用“放缩法”证明数列不等式更是历年高考命题的热点，对“放缩法”的巧妙运用往往能体现出创造性，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果.但2014年就一改常态，不考不等式证明，考归纳推理、数学归纳法，这让很多考生不适应，完全在意料之外，整个题切入似乎比较难，导致广东今年数学高考成绩的平均分比去年低10多分.
两道题的常见解法：
例题1解答一：
（1） 解：∵ =an+1-n2-n-， n∈N？鄢.
∴当n=1时，2a1=2S1=a2--1-=a2-2
又∵ a1=1
∴ a2=4
（2）解：∵ =an+1-n2-n-， n∈N？鄢.
∴ 2Sn=nan+1-n3-n2-n=nan+1- ①
∴ 当n≥2时，2Sn-1=（n-1）an- ②
由①-②，得2Sn-2Sn-1=nan+1-（n-1）an-n（n+1）
∵ 2an=2Sn-2Sn-1
∴ 2an=nan+1-（n-1）an-n（n+1）
∴ -=1
∴ 数列是首项为=1，公差为1的等差数列.
∴ =1+1×（n-1）=n，∴ an=n2（n≥2）
当n=1时，上式显然成立.
∴ an=n2，n∈N？鄢.
（3）证明：由（2）知，an=n2，n∈N？鄢
① 当n=1时，=1<，原不等式成立.
② 当n=2时， +=1+<，原不等式亦成立.
③ 当n≥3时， ∵ n2>（n-1）·（n+1），∴ <
∴ ++…+=++…+<1+++…++
=1+（-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）
=1+（-+-+-+…+-+-）
=1+（+--）=+（--）<
当n≥3时，原不等式亦成立.
综上所述，对一切正整数n，有++…+<.
例题2解答一：
解：⑴由题意得：S2=4a3-20，S3=S2+a3=5a3-20
又S3=15
∴ a3=7，S2=4a3-20=8
又S2=S1+a2=（2a2-7）+a2=3a2-7
∴ a2=5，a1=S1=2a2-7=3
综上知a1=3，a2=5，a3=7.
（2）由（1）猜想an=2n+1，下面用数学归纳法证明.
① 当n=1时，结论显然成立.
② 假设当n=k（k≥1）时，ak=2k+1
则Sk=3+5+7+（2k+1）=×k=k（k+2）
又Sk=2kak+1-3k2-4k
∴ k（k+2）=2kak+1-3k2-4k，解得2ak+1=4k+6
∴ ak+1=2（k+1）+1
即当n=k+1时，结论成立.
由①②知，？坌n∈N？鄢，an=2n+1.
三、试题评价
从试题的设计来看，第一道数列试题充分体现了考基础、考能力、考素质、考潜能和以考生发展为本的考试目标.试题的第（1）问比较常规，属于送分题，学生比较容易上手，以增加学生解决综合题和战胜困难的信心；第（2）问利用递推关系求数列通项公式，这应该是学生比较熟悉的，这样可以让他们能够心平气和地思考问题，但在思维的层次上和运算能力上作了一个适当的提升，对中等偏下的学生设置了障碍；第（3）问是为一些优秀学生提供了充分展示自己智力的平台，让这些学生能够脱颖而出.这样，逐步增加试题思维的难度，达到通过数列压轴题增加试卷区分度的目的，对今后中学数学教育改革有良好的推动与导向作用.第二道数列题，第（1）问求数列的前三项，通过解方程组可以求出；第（2）问不少考生还是试图通过公式an=Sn-Sn-1（n≥2）去求，也是平时备考复习做得比较多的题型，发现做不下去，很少考生能发现第（1）问的提示作用，利用归纳推理，先猜后证，再用数学归纳法证明，这也与平时教学有关. 从评卷情况来看，数列解答题虽然一看题目似乎是可以用“通性通法”求解，但很多考生的思维定势比较明显，不能做到灵活变通，导致对数列题的解答“会而不对”.
四、试题巧解
笔者深入分析这两道题发现：事实上都是考查数列是特殊函数的本质，也就说可以从函数的角度来分析作答，如果能够先求出函数Sn = f（n）（n∈N？鄢）的表达式，再由公式an=Sn-Sn-1（n≥2）去求an就是水到渠成的事了. 下面根据题目条件的特点，用待定系数先求Sn再求an.
例题1解答二：
（1）解略.
（2）解：由题意可设Sn=an3+bn2+cn+d（a≠0）
则an+1=Sn+1-Sn=[a（n+1）3+b（n+1）2+c（n+1）+d]-（an3+bn2+cn+d）
=3an2+（3a+2b）n+a+b+c
由条件=an+1-n2-n-，即2Sn=nan+1-n3-n2-n
可得：2an3+2bn2+2cn+2d=（3a-）n3+（3a+2b-1）n2+（a+b+c-）n对？坌n∈N？鄢成立.
∴ 2a=3a-，2b=3a+2b-1，2c=a+b+c-，d=0.又a1=S1=a+b+c+d=1，解得a=，b=，c=，d=0.
∴ Sn=n3+n2+n，n∈N？鄢
当n≥2时
an=Sn-Sn-1=（n3+n2+n）-[（n-1）3+（n-1）2+（n-1）]=n2
∴ an=n2，n∈N？鄢.
（3）解略.
例题2解答二：
（1）解略
（2）解：由题意可设Sn=an2+bn+c（a≠0）
则an+1=Sn+1-Sn=[a（n+1）2+b（n+1）+c]-（an2+bn+c）=2an+a+b
由条件Sn=2nan+1-3n2-4n，可得an2+bn+c=（4a-3）n2+2（a+b-2）n对？坌n∈N？鄢成立
∴ 4a-3=a，2a+2b-4=b，c=0，解得 a=1，b=2，c=0，
∴ Sn=n2+2n，n∈N？鄢
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+2n）-[（n-1）2-2（n-1）]=2n-1
当n=1时，上式显然成立.
∴ an=2n-1，n∈N？鄢.
以上介绍的待定系数法求Sn，揭示数列是特殊函数的本质，思路清晰，真正体现“数学是自然的”，达到化繁为简、化难为易的效果.
五、教学启示
今年高考数学（广东卷），考生普遍反映后几道大题难度有些大.从阅卷反馈情况来看：无法动笔的空白卷很少，但得分却不够理想.也就是说，人人都能动笔解答，却很少考生全做对，大多是只做了第一问，第二问就空白了，不知道循着题意“抢分”，这也给我们的教学带来一些启示.
（1）构建知识网络，基于知识形成过程理解知识
这两道题涉及的知识点比较基础，考查函数方程、不等式、归纳推理、数学归纳法、待定系数法、放缩法等，涉及函数与方程思想，转化与化归思想，数形结合思想等，无论是知识点还是数学思想方法都是课标中要求的最基本和应该掌握的重要内容.但测试效果并不如意，这说明平时的教学光死记硬背是不行的，应该让学生构建知识网络，把握知识间的内在联系，讲清知识的来龙去脉，让学生基于知识形成过程去理解知识，这样学生才能学得“活”.
（2）注重教材例习题的再创造，回归课本探源
课程改革非常反对题海战术，而强调对教材资源的开发和利用.教材中的例习题都是经典题目，能反映本节重点知识及知识的运用过程，这也是高考题的主要素材来源.如果教师平时注重对教材的发掘和再创造，不仅对高考题目命制的出发点有所了解，自身的教学教研能力也会得到很大的提升.如前文例题2，应用待定系数法解答会显得比较容易，简直不敢相信高考题竟会如此常规，但几乎没有考生这样去解答.
（3）注重数学本质的理解，培养灵活变通能力
在高三数学复习备考中，教师注重方法、题型、规律的总结，让学生记题型、背套路，类似于英语作文中的“模版”，缺乏对数学本质的提示，题目稍作变式学生就不适应.因此，教师在总结解题方法时，不应该流于题目的形式，更应该针对题目的内涵，从考察的知识点、隐含的数学思想等方面加以拓展，才能让学生对问题的本质有所了解，从而对不同的题目采用切实高效的解答策略.如本文的两道数例题，只记公式an=Sn-Sn-1（n≥2）的惯性思维，而在平时不注意归纳、猜想思维的培养，学生就不会想到用数学归纳法去解答. 如果在学习等差数列前n和时理解待定系数法，学生就能够想到求出函数Sn = f（n）（n∈N？鄢）的表达式，再求an，就有助于对数列本质的认识，进而克服思维定势的负面影响.
责任编辑 罗 峰