二元变量最值问题中通常有两个变量，且两个变量受一些条件的约束.此类问题的综合性较强，常需灵活运用不等式、函数、导数、三角函数、方程等知识，才能使问题顺利获解.那么，如何将这些知识融会贯通，从不同的角度去分析、探究，得到不同的解法呢？本文以一道题为例，来探究一下如何从不同角度解答二元变量最值问题.
　　例题：已知 x >0，y >0，则的最大值是__________________.
　　该题目中给出的条件较少，目标式为二元二次式.要求得目标式的最值，需将目标式化简、转化.可以从基本不等式、方程思想、完全平方式、函数思想、解析几何知识、导数的性质等六个角度寻找解题的思路.
　　角度一：运用基本不等式
　　基本不等式是解答二元变量最值问题的重要工具.但运用基本不等式 a +b ≥2（a >0，b >0）求最值，一般需要具备三个前提条件：（1）两个数都为正数;（2）两个数的和或积为定值;（3）两个数取等号时不等式成立.而运用基本不等式求最值的关键一步，是構造出两数的和或者积，并使其中之一为定值.
　　解：
　　我们将先分母变形，拆分为两组数“”的和，然后利用基本不等式求这两组数的最值，再次运用基本不等式求得“”和的最值.在多次运用基本不等式求最值时，要确保两次使用基本不等式时的等号同时成立.
　　角度二：利用方程的判别式
　　在求解二元二次变量最值问题时，我们可将其中的一个变量视为参数，构造关于 x 或者y 的一元二次方程.因为x、 y 有解，所以方程的判别式△≥0，解不等式即可求得目标式的最值.
　　解：
　　解答本题，连续两次运用了方程的判别式，求得目标式的最值.
　　角度三：借助函数思想
　　函数思想是指运用函数的图象和性质解题的思想.在求解二元变量最值问题时，我们可以通过换元、变形，构造出关于 x 或y 的函数式，然后研究函数的图象和性质，从而求得目标式的最值.
　　解：
　　换元是简化代数式的常用方法.我们令 t =2x +y，将目标式转化为关于 t 的二次函数式，借助二次函数的顶点和单调性求得最值.
　　角度四：配方
　　配方法是指将代数式配凑为完全平方式来解题.在求解二元变量最值问题时，我们可以将目标式进行变形，配凑为一个或者多个完全平方式，根据完全平方式恒大于或等于零的性质来建立不等式，通过解不等式求得目标式的最值.
　　解：
　　我们通过恒等变换，得到完全平方式，建立关于n 的不等式，通过解不等式就能求得目标式的最值.
　　角度五：采用导数法
　　导数法是解答最值问题的重要工具.在解答二元变量最值问题时，可将目标式视为关于 x 或y 的函数式，对其进行求导，研究其导函数与0之间的关系，判断出函数的单调性，求得目标式的最值.
　　解：
　　本题中有两个变量，但两个变量之间不存在相互制约关系，因此可以将目标式看成关于 x 的函数，把y 看作一个常量，运用导数法求解.本题运用导数法求最值非常繁琐，运算量较大，但导数法是求解最值问题的重要方法之一.
　　角度六：运用解析几何知识
　　由二次二元变量，我们可联想到二次曲线，如抛物线、双曲线、椭圆、圆.当解答二元变量最值问题受阻时，我们可将目标式进行合理的整合，深入挖掘代数式的几何意义，绘制出相应的二次曲线，运用抛物线、双曲线、椭圆、圆的定义、几何性质来解题.
　　解法一：
　　很多同学很难想到此法，但将代数的问题转化解析几何的问题，可以使问题变得直观，有利于快速找到解题的思路.
　　解法二：
　　我们根据目标式中的分子与分母的特征，构造出直线系方程和椭圆系方程，再根据直线系和椭圆系有交点，建立不等式，进而求得目标式的最值.
　　可见，解答二元最值问题的方法很多.在平时的学习中，同学们要重视研究典型题目，培养发散性思维和创新思维能力，学会从不同的角度去分析、探究、解答问题 ，以拓宽解题的思路，提升解题的效率.
　　（作者单位：江苏省盐城市滨海县东元高级中学）