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填空题是每年高考失分率较高的题型,其原因不仅仅是简单的运算准确性的问题.因此,探索填空题失分的原因,寻求对策,对提高我们的复习效益就显得十分重要.本文详细分析这些常见错误的原因,并有针对性的给出纠正的办法,希望对同学们的学习有所帮助.
一、粗心之错
审题是解题的第一关,也是至关重要的一关,若不认真,就容易因错看或漏看条件造成的解题失误.
例1 若k,2k+2,3k+3是一个等比数列的前三项,则K=.
错解 依题意2k+2是k和3k+3的等比中项,∴(2k+2)2=k(3k+3),整理得k2+5k+4=0,解得k=-1或k=-4.
剖析 此解忽视了等比数列任意一项都不为0这一条件,所以k=-1不适合题意,应舍去,答案为k=-4.
例2 点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的长度小于1的概率为.
错解 本题容易答为.
剖析 原因是只考虑了点A的一边,未考虑另一边.其实,B可在A的两边(如图),正确答案是.
纠错方法 要纠正粗心之错,平时就应培养冷静沉着的习惯.解答之后再回顾,即再审题,是避免审题上带来的某些明显的错误的有效方法,另外可通过赋值检验、估算检验、作图检验来纠正粗心引起的错误,比如在例1中只要把求得的k代入给出的数列,就可以发现k=-1不适合题意,等等.
二、概念模糊致误
概念是思维的细胞,若不能正确理解和使用数学概念,则极易导致错误.
例3 已知函数f(x)=-x5-x4+8,则=.
错解 ∵f ′(x)=-3x4-7x3,∴原式=f ′(1)=-10.
剖析 在导数定义中,增量的形式是多种多样的,但不论选择哪一种形式,相应地必须选择对应的形式,即f ′(x0)=,故正确答案是原式= •2=2f ′(1)=-20.
例4 如图所示,A、B是两个非空集合,定义A-B={x|x∈A且xB},则A-(A-B)是下图中的区域.
错解 因A-B={x|x∈A且xB},所以A-(A-B)={x|xA且x∈B},应选Ⅲ.
剖析 集合中的符号语言极具抽象性,准确理解集合中符合的含义是解决问题的关键.上述解法对新定义符号“-”的理解不当,致使A-(A-B)在迁移运用时出现错误.A-(A-B)的正确理解应是{x|x∈A且x(A-B)},而A-B为图中的区域I,故A-(A-B)应为图中的区域II.
纠错方法 对于同学们出现的概念模糊致误,最好的方法是回归课本,从教材中去重新理解概念.
三、忽视隐含条件致误
不少数学问题虽未给出明确的条件,但却隐含在问题中,若不注意挖掘,则会造成解题失误.
例5 已知曲线y=x3+,则过点P(2,4)的切线方程是.
错解 P(2,4)在曲线y=x3+上,由y′|x=2=4得切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
剖析 这个结果并不完整,因为题目并没有告诉点P(2,4)是否为切点,而上面的解法是把点P(2,4)当作切点求解的.其实, 点P(2,4)也可能不是切点.正确的解法是:
设切点为(x0,y0),则y′|x=x=x20,切线方程为y-4=x20(x-2).
因为(x0,y0)在切线上,则y0-4=x20(x-2),从而有x30+-4=x30-2x20,
解得x0=2,x0=-1,
于是, 过点P(2,4)的切线方程为4x-y-4=0和x-y+2=0.
例6 若向量=(x,2x),=(-3x,2),且a,b的夹角为钝角,则x的取值范围是.
错解 因,的夹角为钝角,于是可以得到<0,所以=-3x2+4x<0,故x<0或x>.
剖析 错误原因在于忽视了<0,不是a,b夹角为钝角的充要条件,因为a,b的夹角为180°时也有<0,从而扩大了x的范围,导致错误.正确解法是:因a,b的夹角是钝角,故=-3x2+4x<0,解得x<0或x>………①
又由,共线且反向时,可得x=-……②
由①②可得x的范围是(-∞,-)∪(-,0)∪(,+∞).
纠错方法 要纠正忽略隐含条件之错,应认真审题,仔细分析题意,通过给出的不等式或方程中挖掘隐含条件,通过图形挖掘隐含条件,通过定义性质或通过数学符号本身挖掘隐含条件,如组合数Cnm中隐含了0≤n≤m,m,n∈N等等.
四、忽视特例致误
只考虑一般情形而忽视特殊情形,是同学们常犯的错误之一.
例7 已知直线l1:ax+(1-a)y+3=0与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,求实数a的值.
错解 ∵两直线垂直, ∴k1•k2 =-1. 即(-) (-)=-1,a=-3.
剖析 这里陷入了两直线垂直斜率之积为-1的误区,忽视了前提条件:斜率必须存在.若a=1则l1∶x=-3,l2∶y =0.4 仍满足l1⊥l2,故所求结果为a=-3或a=1.
例8 已知实数x,y满足=x-y,则x的取值范围是 .
错解 把等式变形为y2-xy+x=0,因为方程有实根,所以=x2-4x≥0x≥4或x≤0.
剖析 忽视y≠0这一隐含条件.正确答案:x<0或x≥4.
纠错方法 要克服这类错误,主要解决好特殊与一般的关系,有无前提条件.比如解方程ax2+bx+c=0,在没有指明是一元二次方程的条件下,应考虑a=0和a≠0两种情形,类似的不等式也一样,等等.
五、思维定势致误
定势思维是人长期形成的一种习惯思维,在思维考问题时总是自觉或不自觉地按固有思维模式去看问题,往往容易引起失误.
例9 一个物体沿直线以速度v(t)=2t-3(t的单位:秒,v的单位:米/秒)的速度作变速直线运动,求该物体从时刻t=0秒至t=5秒间运动的路程是 .
错解 根据微积分的意义,物体从时刻t=0秒至t=5秒间运动的路程就是(2t-3)dt=10.
剖析 显然,这是照搬方法引起的错误(因为大部分题目就是这样解的),也是对路程意义错误理解引起的失误.其实物体从时刻t=0秒至t=5秒间运动的路程是指直线方程v(t)=2t-3在直线t=0至t=5之间与t轴(横轴)围成的面积,而在t轴下方得到的面积是负值——负值并不是路程,所以应分别计算t轴下方面积和t轴上方面积,然后加起来就是所求的路程. 即正确解法是:-(2t-3)dt+(2t-3)dt=14.5.也可直接画图计算直线t=0,t=,直线v(t)=2t-3与t轴围成的面积及直线t=,t=5,直线v(t)=2t-3与t轴围成的面积,两者之和就是所求的路程. 这是对概念深刻理解后的选择.
例10 如图,某药店有一架不准确的天平(其两臂不等)和一个10克的砝码.一名患者想要20克中药,售货员将砝码放在左盘中,将药物放在右盘中,待平衡后交给患者;然后又将药物放在左盘中,将砝码放在右盘中,待平衡后再交给患者.设患者实际购买药物为m克,则m 20克(填“>”“<”“=”).
错解 该题容易看不懂题意,凭感觉“药店不吃亏”,填“<”.
剖析 这与考纲中考查理性思维是相违背的,也就是说要进行精确的计算才能得出结论.正确解法是:设两臂长分别为b,a,(b>a),第一次、第二次称得的药物分别为x,y克,则:10b=xa,yb=10a,从而m=x+y=+≥2=20,当且仅当=,即a=b 等号成立 . ∵a≠b ,∴m>20克,故应填“>”.
纠错方法 克服思维定势,还是要在深刻理解数学概念上下工夫,区分易混淆的式子和概念,有时还要进行严格的推论论证,避免“想当然”引起的错误.
六、小题大做引起失误
数学填空题的解法有两种境界:一种是小题大做,另一种是小题小做.小题大做就是拿到题目就直接求解,对思路不筛选,仅满足于见到就会.小题大做的特征有小题繁做,小题难做和小题慢做,有时容易算错.
例11 五位同学围成一圈依序循环报数,规定:
①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;
②若报出的是为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次,当第30个数被报出时,五位同学拍手的总次数为.
错解 一个一个去算,结果算错.
剖析 这样得到的数列这是历史上著名的数列,叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本,否则,费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律,再求所求就比较简单了.
这个数列的变化规律是:从第三个数开始递增,且是前两项之和,那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987…分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0…由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环,周期是8. 在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数,所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数,后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2,只有一个是3的倍数,故3的倍数总共有7个,也就是说拍手的总次数为7次.
例12 设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f ′(0)=.
错解 想方设法直接求出f ′(x),结果一无所获.
剖析 讲方法讲策略是解答本题的关键. 设g(x)=(x+1)(x+2)…(x+n),则f(x)=xg(x),于是f ′(x)=g(x)+xg′(x),所以f ′(0)=g(0)+0•g′(0)=g(0)=1•2•…n=n!.
例13 已知点A(0,),B(0,-),C(4+,0),其中n为正整数,设Sn表示△ABC外接圆的面积,则Sn= .
通解 先求出外接圆半径R用n表示,再写出Sn关于n的表达式,进而求出Sn=4π.当然这个方法也没有错,但费时费力.
剖析 我们知道S是随着n的变化而变化,n的变化是无限的,但此题研究的是n无穷大的时候的情况,此时A→O(原点),B→O,C→D(4,0),这样过△ABC的外接圆即以OD为直径的圆,面积为4π.
说明 在本题我们用到了无限中的极限思想,快而准地求得结果,把极限思想用到了极致,是小题巧做的范例.
纠错方法 小题小做要求我们平时在解题时不满足于见到就会,而是对思路进行筛选,追求会中求简、会中求巧、会中求美.这就要求我们在填空题的学习中要不懈地追求解法的较高境界,不仅求会,更要求简、求巧、求美.
七、忽视定理、公式、法则的使用条件致误
在中学数学中,诸多的公式、法则、定理是在某一约束条件下才成立的,如=a(a≥0),a0=1(a≠0),均值不等式取等号是有条件的,等等.如果不注意约束条件,就容易产生错误.
例14 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=(x+)(y+)的最小值为 .
错解1 因为对a>0,恒有a+≥2,从而z=(x+)(y+)≥4,所以z的最小值是4.
错解2 z==(+xy)-2≥2-2=2(-1),所以z的最小值是2(-1).
错解剖析 解1等号成立的条件是x=且y=,即x=1且y=1,与x+y=1相矛盾.解2等号成立的条件是=xy,即xy=,与0 正解 z=(x+)(y+)=xy+++=xy++=+xy-2,令t=xy, 则0 纠错方法 学习中要注意定理、公式、法则的使用条件.
八、数学思想方法运用欠缺引起的失误
数学思想方法是数学的精髓,缺乏数学思想运用的解题是不完备的.
例15 用1,4,5,x四个数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,求x.
错解 不知如何下手,随便填一个数.
剖析 这是缺乏整体思想造成的结果.整体考虑可迎刃而解,若x不为0,在每一个数位上1,4,5,x,出现的机会是均等的.由于一共可以得到24个四位数,于是得到:6×4×(1+4+5+x)=288,解得x=2.
若x为0,无解.
例16 已知⊙O的方程为x2+y2-2=0,⊙O′的方程为x2+y2-8x+10=0,由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等,则动点的轨迹方程是 .
根据当年的抽样调查,此题文理科得分的差异不大,但得分都比较低(文科0.94分,理科1.2分).不少同学不是乱填一个数,就是不着边际的答案.其实,对于一些比较困难的填空题,不仅仅是对不对的问题,更多的是会不会的问题,只有会了才有可能对.
解法1 直译法求轨迹方程.设P(x,y),则点P向⊙O和⊙O′所引的切线长分别为:|PQ|=x2+y2-2,|PR|=x2+y2-8x+10.则x2+y2-2=x2+y2-8x+10x=,故所求的轨迹方程为x=,故答案填x=.
解法2 任作一⊙O1与⊙O和⊙O′都相交,
比如⊙O1的方程为:x2+y2-4x-4y+4=0,则⊙O1与⊙O的公共弦所在直线l1的方程为:4x+4y-6=0,⊙O1与⊙O′的公共弦所在直线l2的方程为:-4x+4y+6=0.
l1与l2的交点坐标为M(,0),而动点P的轨迹是过点M,并且垂直于OO′的直线,所以动点P的轨迹方程为x=,故答案填x=.
解法3 等幂轴方程的求法:由x2+y2-2=0和x2+y2-8x+10=0两边直接相减得轨迹方程为:8x-12=0,即动点P的轨迹方程为x=,故答案填x=.
纠错方法 方法和策略也是知识,而且是更重要的知识.要注意运用“整体思维”的策略、“设而不求”的策略、“数形结合”的策略、“合情推理”的策略、“目标意识”的策略、“特殊赋值”的策略、“正难则反”的策略、“有限与无限”的策略等.
九、书写不规范致误
对于填空题的解答,有些带有一定的要求,如结果要求用数字作答,还有些常识也要加以注意,如定义域、值域均应写成集合或区间形式,计算结果要化简,如化成最简分数、分母应有理化等.因此,在审清题意、细心演算的基础上,作答时应按题目的要求填写,同时书写要规范,不能潦草从事.分数最好不要用斜线形式,如最好不要写成3/8,否则写得不当,会认为你写的318,导致丢分.应实现“会而对,对而得分”,避免“会而不对,会而丢分”的遗憾. 李远哲博士说:“成功的秘诀就是力争在每一步的每一个小地方做得比别人更好.”这句话对于我们解答数学填空题,无疑是具有指导作用.
当然,引起填空题失误的原因还有其他,比如忽视构图的准确性、以偏概全等,但只要注意在平时的解题中揭示“过程”(把小题当大题来规范),追求解法的较高境界,强化对运算中智力品质的培养,优化思维品质,敢于创新,不断提高解题能力,并在解题后适当检验(回顾检验、赋值检验、估算检验、作图检验、极端检验),就能够把失误降到最低.
责任编校 徐国坚
一、粗心之错
审题是解题的第一关,也是至关重要的一关,若不认真,就容易因错看或漏看条件造成的解题失误.
例1 若k,2k+2,3k+3是一个等比数列的前三项,则K=.
错解 依题意2k+2是k和3k+3的等比中项,∴(2k+2)2=k(3k+3),整理得k2+5k+4=0,解得k=-1或k=-4.
剖析 此解忽视了等比数列任意一项都不为0这一条件,所以k=-1不适合题意,应舍去,答案为k=-4.
例2 点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的长度小于1的概率为.
错解 本题容易答为.
剖析 原因是只考虑了点A的一边,未考虑另一边.其实,B可在A的两边(如图),正确答案是.
纠错方法 要纠正粗心之错,平时就应培养冷静沉着的习惯.解答之后再回顾,即再审题,是避免审题上带来的某些明显的错误的有效方法,另外可通过赋值检验、估算检验、作图检验来纠正粗心引起的错误,比如在例1中只要把求得的k代入给出的数列,就可以发现k=-1不适合题意,等等.
二、概念模糊致误
概念是思维的细胞,若不能正确理解和使用数学概念,则极易导致错误.
例3 已知函数f(x)=-x5-x4+8,则=.
错解 ∵f ′(x)=-3x4-7x3,∴原式=f ′(1)=-10.
剖析 在导数定义中,增量的形式是多种多样的,但不论选择哪一种形式,相应地必须选择对应的形式,即f ′(x0)=,故正确答案是原式= •2=2f ′(1)=-20.
例4 如图所示,A、B是两个非空集合,定义A-B={x|x∈A且xB},则A-(A-B)是下图中的区域.
错解 因A-B={x|x∈A且xB},所以A-(A-B)={x|xA且x∈B},应选Ⅲ.
剖析 集合中的符号语言极具抽象性,准确理解集合中符合的含义是解决问题的关键.上述解法对新定义符号“-”的理解不当,致使A-(A-B)在迁移运用时出现错误.A-(A-B)的正确理解应是{x|x∈A且x(A-B)},而A-B为图中的区域I,故A-(A-B)应为图中的区域II.
纠错方法 对于同学们出现的概念模糊致误,最好的方法是回归课本,从教材中去重新理解概念.
三、忽视隐含条件致误
不少数学问题虽未给出明确的条件,但却隐含在问题中,若不注意挖掘,则会造成解题失误.
例5 已知曲线y=x3+,则过点P(2,4)的切线方程是.
错解 P(2,4)在曲线y=x3+上,由y′|x=2=4得切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
剖析 这个结果并不完整,因为题目并没有告诉点P(2,4)是否为切点,而上面的解法是把点P(2,4)当作切点求解的.其实, 点P(2,4)也可能不是切点.正确的解法是:
设切点为(x0,y0),则y′|x=x=x20,切线方程为y-4=x20(x-2).
因为(x0,y0)在切线上,则y0-4=x20(x-2),从而有x30+-4=x30-2x20,
解得x0=2,x0=-1,
于是, 过点P(2,4)的切线方程为4x-y-4=0和x-y+2=0.
例6 若向量=(x,2x),=(-3x,2),且a,b的夹角为钝角,则x的取值范围是.
错解 因,的夹角为钝角,于是可以得到<0,所以=-3x2+4x<0,故x<0或x>.
剖析 错误原因在于忽视了<0,不是a,b夹角为钝角的充要条件,因为a,b的夹角为180°时也有<0,从而扩大了x的范围,导致错误.正确解法是:因a,b的夹角是钝角,故=-3x2+4x<0,解得x<0或x>………①
又由,共线且反向时,可得x=-……②
由①②可得x的范围是(-∞,-)∪(-,0)∪(,+∞).
纠错方法 要纠正忽略隐含条件之错,应认真审题,仔细分析题意,通过给出的不等式或方程中挖掘隐含条件,通过图形挖掘隐含条件,通过定义性质或通过数学符号本身挖掘隐含条件,如组合数Cnm中隐含了0≤n≤m,m,n∈N等等.
四、忽视特例致误
只考虑一般情形而忽视特殊情形,是同学们常犯的错误之一.
例7 已知直线l1:ax+(1-a)y+3=0与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,求实数a的值.
错解 ∵两直线垂直, ∴k1•k2 =-1. 即(-) (-)=-1,a=-3.
剖析 这里陷入了两直线垂直斜率之积为-1的误区,忽视了前提条件:斜率必须存在.若a=1则l1∶x=-3,l2∶y =0.4 仍满足l1⊥l2,故所求结果为a=-3或a=1.
例8 已知实数x,y满足=x-y,则x的取值范围是 .
错解 把等式变形为y2-xy+x=0,因为方程有实根,所以=x2-4x≥0x≥4或x≤0.
剖析 忽视y≠0这一隐含条件.正确答案:x<0或x≥4.
纠错方法 要克服这类错误,主要解决好特殊与一般的关系,有无前提条件.比如解方程ax2+bx+c=0,在没有指明是一元二次方程的条件下,应考虑a=0和a≠0两种情形,类似的不等式也一样,等等.
五、思维定势致误
定势思维是人长期形成的一种习惯思维,在思维考问题时总是自觉或不自觉地按固有思维模式去看问题,往往容易引起失误.
例9 一个物体沿直线以速度v(t)=2t-3(t的单位:秒,v的单位:米/秒)的速度作变速直线运动,求该物体从时刻t=0秒至t=5秒间运动的路程是 .
错解 根据微积分的意义,物体从时刻t=0秒至t=5秒间运动的路程就是(2t-3)dt=10.
剖析 显然,这是照搬方法引起的错误(因为大部分题目就是这样解的),也是对路程意义错误理解引起的失误.其实物体从时刻t=0秒至t=5秒间运动的路程是指直线方程v(t)=2t-3在直线t=0至t=5之间与t轴(横轴)围成的面积,而在t轴下方得到的面积是负值——负值并不是路程,所以应分别计算t轴下方面积和t轴上方面积,然后加起来就是所求的路程. 即正确解法是:-(2t-3)dt+(2t-3)dt=14.5.也可直接画图计算直线t=0,t=,直线v(t)=2t-3与t轴围成的面积及直线t=,t=5,直线v(t)=2t-3与t轴围成的面积,两者之和就是所求的路程. 这是对概念深刻理解后的选择.
例10 如图,某药店有一架不准确的天平(其两臂不等)和一个10克的砝码.一名患者想要20克中药,售货员将砝码放在左盘中,将药物放在右盘中,待平衡后交给患者;然后又将药物放在左盘中,将砝码放在右盘中,待平衡后再交给患者.设患者实际购买药物为m克,则m 20克(填“>”“<”“=”).
错解 该题容易看不懂题意,凭感觉“药店不吃亏”,填“<”.
剖析 这与考纲中考查理性思维是相违背的,也就是说要进行精确的计算才能得出结论.正确解法是:设两臂长分别为b,a,(b>a),第一次、第二次称得的药物分别为x,y克,则:10b=xa,yb=10a,从而m=x+y=+≥2=20,当且仅当=,即a=b 等号成立 . ∵a≠b ,∴m>20克,故应填“>”.
纠错方法 克服思维定势,还是要在深刻理解数学概念上下工夫,区分易混淆的式子和概念,有时还要进行严格的推论论证,避免“想当然”引起的错误.
六、小题大做引起失误
数学填空题的解法有两种境界:一种是小题大做,另一种是小题小做.小题大做就是拿到题目就直接求解,对思路不筛选,仅满足于见到就会.小题大做的特征有小题繁做,小题难做和小题慢做,有时容易算错.
例11 五位同学围成一圈依序循环报数,规定:
①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;
②若报出的是为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次,当第30个数被报出时,五位同学拍手的总次数为.
错解 一个一个去算,结果算错.
剖析 这样得到的数列这是历史上著名的数列,叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本,否则,费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律,再求所求就比较简单了.
这个数列的变化规律是:从第三个数开始递增,且是前两项之和,那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987…分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0…由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环,周期是8. 在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数,所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数,后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2,只有一个是3的倍数,故3的倍数总共有7个,也就是说拍手的总次数为7次.
例12 设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f ′(0)=.
错解 想方设法直接求出f ′(x),结果一无所获.
剖析 讲方法讲策略是解答本题的关键. 设g(x)=(x+1)(x+2)…(x+n),则f(x)=xg(x),于是f ′(x)=g(x)+xg′(x),所以f ′(0)=g(0)+0•g′(0)=g(0)=1•2•…n=n!.
例13 已知点A(0,),B(0,-),C(4+,0),其中n为正整数,设Sn表示△ABC外接圆的面积,则Sn= .
通解 先求出外接圆半径R用n表示,再写出Sn关于n的表达式,进而求出Sn=4π.当然这个方法也没有错,但费时费力.
剖析 我们知道S是随着n的变化而变化,n的变化是无限的,但此题研究的是n无穷大的时候的情况,此时A→O(原点),B→O,C→D(4,0),这样过△ABC的外接圆即以OD为直径的圆,面积为4π.
说明 在本题我们用到了无限中的极限思想,快而准地求得结果,把极限思想用到了极致,是小题巧做的范例.
纠错方法 小题小做要求我们平时在解题时不满足于见到就会,而是对思路进行筛选,追求会中求简、会中求巧、会中求美.这就要求我们在填空题的学习中要不懈地追求解法的较高境界,不仅求会,更要求简、求巧、求美.
七、忽视定理、公式、法则的使用条件致误
在中学数学中,诸多的公式、法则、定理是在某一约束条件下才成立的,如=a(a≥0),a0=1(a≠0),均值不等式取等号是有条件的,等等.如果不注意约束条件,就容易产生错误.
例14 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=(x+)(y+)的最小值为 .
错解1 因为对a>0,恒有a+≥2,从而z=(x+)(y+)≥4,所以z的最小值是4.
错解2 z==(+xy)-2≥2-2=2(-1),所以z的最小值是2(-1).
错解剖析 解1等号成立的条件是x=且y=,即x=1且y=1,与x+y=1相矛盾.解2等号成立的条件是=xy,即xy=,与0
八、数学思想方法运用欠缺引起的失误
数学思想方法是数学的精髓,缺乏数学思想运用的解题是不完备的.
例15 用1,4,5,x四个数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,求x.
错解 不知如何下手,随便填一个数.
剖析 这是缺乏整体思想造成的结果.整体考虑可迎刃而解,若x不为0,在每一个数位上1,4,5,x,出现的机会是均等的.由于一共可以得到24个四位数,于是得到:6×4×(1+4+5+x)=288,解得x=2.
若x为0,无解.
例16 已知⊙O的方程为x2+y2-2=0,⊙O′的方程为x2+y2-8x+10=0,由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等,则动点的轨迹方程是 .
根据当年的抽样调查,此题文理科得分的差异不大,但得分都比较低(文科0.94分,理科1.2分).不少同学不是乱填一个数,就是不着边际的答案.其实,对于一些比较困难的填空题,不仅仅是对不对的问题,更多的是会不会的问题,只有会了才有可能对.
解法1 直译法求轨迹方程.设P(x,y),则点P向⊙O和⊙O′所引的切线长分别为:|PQ|=x2+y2-2,|PR|=x2+y2-8x+10.则x2+y2-2=x2+y2-8x+10x=,故所求的轨迹方程为x=,故答案填x=.
解法2 任作一⊙O1与⊙O和⊙O′都相交,
比如⊙O1的方程为:x2+y2-4x-4y+4=0,则⊙O1与⊙O的公共弦所在直线l1的方程为:4x+4y-6=0,⊙O1与⊙O′的公共弦所在直线l2的方程为:-4x+4y+6=0.
l1与l2的交点坐标为M(,0),而动点P的轨迹是过点M,并且垂直于OO′的直线,所以动点P的轨迹方程为x=,故答案填x=.
解法3 等幂轴方程的求法:由x2+y2-2=0和x2+y2-8x+10=0两边直接相减得轨迹方程为:8x-12=0,即动点P的轨迹方程为x=,故答案填x=.
纠错方法 方法和策略也是知识,而且是更重要的知识.要注意运用“整体思维”的策略、“设而不求”的策略、“数形结合”的策略、“合情推理”的策略、“目标意识”的策略、“特殊赋值”的策略、“正难则反”的策略、“有限与无限”的策略等.
九、书写不规范致误
对于填空题的解答,有些带有一定的要求,如结果要求用数字作答,还有些常识也要加以注意,如定义域、值域均应写成集合或区间形式,计算结果要化简,如化成最简分数、分母应有理化等.因此,在审清题意、细心演算的基础上,作答时应按题目的要求填写,同时书写要规范,不能潦草从事.分数最好不要用斜线形式,如最好不要写成3/8,否则写得不当,会认为你写的318,导致丢分.应实现“会而对,对而得分”,避免“会而不对,会而丢分”的遗憾. 李远哲博士说:“成功的秘诀就是力争在每一步的每一个小地方做得比别人更好.”这句话对于我们解答数学填空题,无疑是具有指导作用.
当然,引起填空题失误的原因还有其他,比如忽视构图的准确性、以偏概全等,但只要注意在平时的解题中揭示“过程”(把小题当大题来规范),追求解法的较高境界,强化对运算中智力品质的培养,优化思维品质,敢于创新,不断提高解题能力,并在解题后适当检验(回顾检验、赋值检验、估算检验、作图检验、极端检验),就能够把失误降到最低.
责任编校 徐国坚