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教材，又称课本，是根据教学大纲系统阐述学科内容的教学用书[1]。数学教材为学生的数学学习提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源[2]，例题是教科书概念命题与习题之间的桥梁与纽带。教材例题在数量、水平、风格和侧重点上的差异反映了一个国家的教科书的整体水平、风格和倾向，对具体的教学实践产生着不可忽视的影响。纵观国内外文献，单独研究教科书例题功能的文献比较少。研究对于教师更好挖掘教材，优化自己课堂教学，大面积提高教学质量，发展学生智能是至关重要的。因此本文以中学数学教材为研究对象，结合案例，来分析其功能，以供商榷。
对于例题的界定，国内教科书中标有“例”或者“例×”或者“例××”，国外教科书则标有“Example”或者“Worked Example”及类似字词。
一、 巩固新知
教材例题的首要功能是巩固新知。教材通过一个典型案例直观描述新知，或通过三五个案例归纳概括出新知，或由问题逐步探究解决获得新知，或通过学生操作活动获得新知，或由旧知类比引申新知，不论如何得出新知，需要进行巩固性消化吸收。于是例题紧随其后，巩固新知。概念和规则既是陈述性知识的核心成分，也是程序性知识的核心成分[3]，如何使学生从刚刚获取的陈述性知识转化成程序化知识？例题是陈述性知识向程序性知识转化的第一步，习题是陈述性知识向程序性知识转化的第二步。在陈述性知识向程序性知识转化的过程中，通过例题，教材呈现的知识慢慢内化为学生的认知结构，以加深对知识的理解与掌握。如人教版普通高中课程标准试验教科书《数学（必修2）》第49页中的例4是个选择题，很好地巩固了本节的重要知识点：如何判断空间中直线与平面之间的位置关系，澄清学生的错误理解，更深地理解了判断直线与平面关系的本质。
有时，教科书例题还承载着进一步展示新知的作用，这样的案例在小学教材中比比皆是。例题往往既是“旧知”合乎逻辑的延伸与拓展，又是后续知识的基础，从而为练习乃至后续进一步学习打下比较牢固的知识基础。有的例题在分析中蕴含着新知识，譬如人教社初中数学（九上），“当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列方形表就不方便了，为补充不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图（tree diagram）”这是一道例题的分析过程，中间隐含着新的概念——树形图，使得巩固新概念——概率的同时又拓展延伸出新知识；再譬如人教社初中数学（九上）27.2.2“相似三角形”例5的分析中引出“仰角”新概念。
二、 解题示范
数学教材例题的第二个功能是解题示范。例题既是教师教的范例，也是学生学的范例，是教师与学生进行教学活动的载体，是该部分概念或者命题的“最佳原型”，是某一单元或者某一节核心知识内容程序化的集中体现。教科书例题的示范主要体现在两个方面：一是问题解决过程的示范；二是解题格式的示范，使得学生了解基本流程，学会表达。例如人教版普通高中课程标准试验教科书《数学（必修3）》第11页中的例5，“设计一个求解一元二次方程的算法，并画出程序框图表示。”对于初涉算法的学生来说，既学会了利用算法的思想解决他们曾经熟知问题的具体流程，又演示了如何正确使用程序框图进行表达的问题。
解题是数学学习的一项基本功，是最基本的活动形式。乔治·波利亚对解题方法进行了多年的研究和实践，终于绘制出一张“解题表”，分为四个步骤：弄清题意——拟定计划——实行计划——回顾[4]。而例题呈现方式一般形式是先分析或提示，然后是解答，最后是小结或者归纳，这本身也提供了对于分析的一般流程，为学生解决其它类似问题提供了范本，这也符合乔治·波利亚的解题表。数学教材以例带类，让学生学会问题解决的基本程序，如人教版普通高中课程标准试验教科书《数学（必修2）》第94页中的例2，先是解题思路分析，又规范写出解题过程，最后归纳小结。对于文字证明题，知道先写已知求证，再分析思路，然后求证，最后检验回顾。形成思路之后，如何表达自己的思路，这个也是非常重要和必要的。教科书的例题解答过程具有非常好的示范作用，毕竟教科书例题本身就是使得学生能够按部就班，按照程序来进行，需要“照葫芦画瓢”，学会数学的表达。同时教科书的例题表达简洁、明了，为课后习题解答提供了样板，为进一步后续学习奠定基础。在这个过程中学会基本解题的流程，为学生养成良好书写、数学表达。当然，并非所有的教科书的所有例题都有这三步：分析、解答、小结，有些只有分析与解答，有些只有解答与小结，有些只有解答。在澳大利亚教材《Heinemann Maths Zone 8 ：Enhanced》中所有的例题是分栏设计的[5]，左边是“Steps”，写着“1，2，3，…”，是文字步骤，称作思路，步骤详细；右边是对应的“solution”（解答），对应的符号步骤，这样设计利于说明对应步骤的操作方法，解释原因，理解算理。再者，两栏同时同步呈现，既清晰对比呈现思维过程的两种完全不一样的表征——文字表征和符号表征，对学生更具有示范作用，也容易养成学生良好的书写格式，学会解题。
三、 揭示思想方法
中学教材中的概念、定理、公式与法则等都是以定论的形式呈现出来，是严谨、精炼的，是高度概括和抽象的，其中包含的思想方法被浓缩、隐藏了，只有冰冷的美丽，掩盖了火热的思考。虽然数学题目浩如烟海，千变万化，但是教材中的例题是有限的，譬如人教社初中数学八年级教科书总共有100道例题，而澳大利亚《Heinemann Maths Zone 8 ：Enhanced》中123道，这些例题是经过专家千挑万选，千锤百炼，层层审核，里面一定蕴含着丰富的数学思想方法。如何使例题蕴含的隐性的数学思想方法显性化，发挥例题的更大功能，显得更为重要。众所周知，数学概念的形成、结论的推导、方法的思考、规律的揭示以及问题的发现过程都隐含着一定的数学思想方法，是数学知识在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等，如人教社初中数学（九下）第10页“二次函数”中的例4，蕴含着数学建模的基本思想。例题还在揭示微观的思想方法，如化归、换元法、反证法、数形结合法、分析法、综合法、综合分析法、解析法、三角法等，毕竟方法需要一定载体来呈现。中小学数学教材例题面对着大多数学生群体，是为了掌握基础知识和基本思想方法而设置，关注更多的是通性通法，而不是特殊的解题技巧，特殊的解题方法。思想方法是需要领悟的，只有使得学生充分经历对问题的分析、解答、小结等，才能使学生有充分的时间去“感悟”，而不是在匆忙之中的“赶悟”，否则就达不到对概念的准确理解，更谈不上“领悟数学的美学价值”[6]。此外解决“例题”过程中，需要教师在教学中充分利用其丰富的内容情节和语言规律，来设置学生参与的比较、判断、归纳、发散等思维活动，引导学生质疑问难，有效实现解决问题中的语言转换，启迪学生思维，有效地发展学生的智力和思维能力，使得学生进行广泛联系，猜测，延伸和拓宽，由例及类、由此及彼，触类旁通，领悟里面蕴含的数学思想方法，以避免听懂不会做题的现状。一道例题再好也不过是解决了一个问题，只有领悟里面的数学思想方法，才能达到掌握，为此需要具有联系的观点，不孤立的看待一个例题，以小见大，管中窥豹。人教版普通高中课程标准试验教科书《数学（必修4）》第97页中的例5，两种方法来求解，分别渗透着方程思想、向量思想。 四、 育人功能
例题最后一个功能就是育人功能。实际上教育随时都在育人，体现着社会性，数学教科书作为育人信息载体的性能，例题是重要组成部分，也还不例外，这个功能最容易忽视。
首先，通过例题教学可以有助于培养学生理性思维能力，学会数学的思考，程序化解决问题。有人曾说：“与其让学生糊里糊涂地做一百道题，不如让学生清清楚楚地做一道题”。这句话不无道理。它告诫我们，每讲一道题都应当问一问为什么要讲？它“范”在哪里？“例”在何方？学生在解决过程中，有哪些收益？通过一道道典型的例题深刻反思，培养学生数学逻辑推理能力以及数学归纳、类比能力，养成理性思维精神。使其明白例题是某个概念或者命题的特例，在用典型案例进行分析的时候，需要归纳提升其“类”或者“属”，从个别的、特殊的事例，逐步抽象概括到一般一类事物的认识，从而逐步掌握规律，认识客观世界。如人教版普通高中课程标准试验教科书《数学（必修2）》第69页中的例3，学生从此例中应概括出以后再证明平面与平面垂直，应先证直线与平面垂直，而要证直线与平面垂直，又需先证直线与直线垂直，体会这种几何推理能力，类似地，解决平面与平面平行，也需要类似的几何思维。
其次，例题有助于培养学生辩证唯物主义观点。辩证唯物主义认为事物是普遍联系的，数学例题也不例外，一方面数学例题是在旧知基础上巩固新知，展示新知，延伸新知，学习例题就是要揭示这种联系，这种解释联系的过程，使得学生的知识体系得到整合，逐步把知识连成线，串成网，构成体，领悟隐含的数学思想方法，逐步深化形成自己的认知结构图式。可看出数学教科书例题的联系性比较强，具有拓展，还包括对数学教学内容之间的前后串联、课本例题的深化引申、课后习题的整合统一。
最后，充分利用例题隐含的背景信息对学生进行教育。譬如例题“某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中抽查了100只灯泡，它们的使用寿命如下表所示：…这批灯泡的平均使用寿命是多少？”在一旁批注“用全面调查的方法考察这批灯泡的平均使用寿命合适吗？”这本身利用此题教育学生，当要考察的对象很多、考察本身带有破坏性时，统计中常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识。
“用教材教，而不是教教材”，要求教师认真钻研教科书，其中包括认真钻研教科书的例题，吃透其精神与实质，能更加灵活地、更富有创造性地使用教科书，通过“露出海面的冰山一角”，把“海面以下的巨大冰山托出海面”，让学生领略到“整座冰山”[7]。
参考文献
[1] 华中师范大学等五院校教育系.教育学.北京：人民教育出版社，1980.
[2] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）.北京：北京师范大学出版社，2011.
[3] 喻平.数学教学心理学.北京：北京师范大学出版社，2010.
[4] [美]乔治·波利亚.怎样解题：数学思维的新方法.涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.
[5] David Coffty. Heinemann Maths Zone 8 VELS Enhanced.Port Melbourne： Pearson，2008.
[6] 王芝平.构建三角函数刻画周期现象——任意角三角函数概念的教学反思.数学通报，2012（1）.
[7] 张传鹏. 数学教学中对书本例题的使用例谈.教学与管理，2012（3）.
（该文作者为北京师范大学数学科学学院在读博士）
（责任编辑 刘永庆）
对于例题的界定，国内教科书中标有“例”或者“例×”或者“例××”，国外教科书则标有“Example”或者“Worked Example”及类似字词。
一、 巩固新知
教材例题的首要功能是巩固新知。教材通过一个典型案例直观描述新知，或通过三五个案例归纳概括出新知，或由问题逐步探究解决获得新知，或通过学生操作活动获得新知，或由旧知类比引申新知，不论如何得出新知，需要进行巩固性消化吸收。于是例题紧随其后，巩固新知。概念和规则既是陈述性知识的核心成分，也是程序性知识的核心成分[3]，如何使学生从刚刚获取的陈述性知识转化成程序化知识？例题是陈述性知识向程序性知识转化的第一步，习题是陈述性知识向程序性知识转化的第二步。在陈述性知识向程序性知识转化的过程中，通过例题，教材呈现的知识慢慢内化为学生的认知结构，以加深对知识的理解与掌握。如人教版普通高中课程标准试验教科书《数学（必修2）》第49页中的例4是个选择题，很好地巩固了本节的重要知识点：如何判断空间中直线与平面之间的位置关系，澄清学生的错误理解，更深地理解了判断直线与平面关系的本质。
有时，教科书例题还承载着进一步展示新知的作用，这样的案例在小学教材中比比皆是。例题往往既是“旧知”合乎逻辑的延伸与拓展，又是后续知识的基础，从而为练习乃至后续进一步学习打下比较牢固的知识基础。有的例题在分析中蕴含着新知识，譬如人教社初中数学（九上），“当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列方形表就不方便了，为补充不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图（tree diagram）”这是一道例题的分析过程，中间隐含着新的概念——树形图，使得巩固新概念——概率的同时又拓展延伸出新知识；再譬如人教社初中数学（九上）27.2.2“相似三角形”例5的分析中引出“仰角”新概念。
二、 解题示范
数学教材例题的第二个功能是解题示范。例题既是教师教的范例，也是学生学的范例，是教师与学生进行教学活动的载体，是该部分概念或者命题的“最佳原型”，是某一单元或者某一节核心知识内容程序化的集中体现。教科书例题的示范主要体现在两个方面：一是问题解决过程的示范；二是解题格式的示范，使得学生了解基本流程，学会表达。例如人教版普通高中课程标准试验教科书《数学（必修3）》第11页中的例5，“设计一个求解一元二次方程的算法，并画出程序框图表示。”对于初涉算法的学生来说，既学会了利用算法的思想解决他们曾经熟知问题的具体流程，又演示了如何正确使用程序框图进行表达的问题。
解题是数学学习的一项基本功，是最基本的活动形式。乔治·波利亚对解题方法进行了多年的研究和实践，终于绘制出一张“解题表”，分为四个步骤：弄清题意——拟定计划——实行计划——回顾[4]。而例题呈现方式一般形式是先分析或提示，然后是解答，最后是小结或者归纳，这本身也提供了对于分析的一般流程，为学生解决其它类似问题提供了范本，这也符合乔治·波利亚的解题表。数学教材以例带类，让学生学会问题解决的基本程序，如人教版普通高中课程标准试验教科书《数学（必修2）》第94页中的例2，先是解题思路分析，又规范写出解题过程，最后归纳小结。对于文字证明题，知道先写已知求证，再分析思路，然后求证，最后检验回顾。形成思路之后，如何表达自己的思路，这个也是非常重要和必要的。教科书的例题解答过程具有非常好的示范作用，毕竟教科书例题本身就是使得学生能够按部就班，按照程序来进行，需要“照葫芦画瓢”，学会数学的表达。同时教科书的例题表达简洁、明了，为课后习题解答提供了样板，为进一步后续学习奠定基础。在这个过程中学会基本解题的流程，为学生养成良好书写、数学表达。当然，并非所有的教科书的所有例题都有这三步：分析、解答、小结，有些只有分析与解答，有些只有解答与小结，有些只有解答。在澳大利亚教材《Heinemann Maths Zone 8 ：Enhanced》中所有的例题是分栏设计的[5]，左边是“Steps”，写着“1，2，3，…”，是文字步骤，称作思路，步骤详细；右边是对应的“solution”（解答），对应的符号步骤，这样设计利于说明对应步骤的操作方法，解释原因，理解算理。再者，两栏同时同步呈现，既清晰对比呈现思维过程的两种完全不一样的表征——文字表征和符号表征，对学生更具有示范作用，也容易养成学生良好的书写格式，学会解题。
三、 揭示思想方法
中学教材中的概念、定理、公式与法则等都是以定论的形式呈现出来，是严谨、精炼的，是高度概括和抽象的，其中包含的思想方法被浓缩、隐藏了，只有冰冷的美丽，掩盖了火热的思考。虽然数学题目浩如烟海，千变万化，但是教材中的例题是有限的，譬如人教社初中数学八年级教科书总共有100道例题，而澳大利亚《Heinemann Maths Zone 8 ：Enhanced》中123道，这些例题是经过专家千挑万选，千锤百炼，层层审核，里面一定蕴含着丰富的数学思想方法。如何使例题蕴含的隐性的数学思想方法显性化，发挥例题的更大功能，显得更为重要。众所周知，数学概念的形成、结论的推导、方法的思考、规律的揭示以及问题的发现过程都隐含着一定的数学思想方法，是数学知识在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等，如人教社初中数学（九下）第10页“二次函数”中的例4，蕴含着数学建模的基本思想。例题还在揭示微观的思想方法，如化归、换元法、反证法、数形结合法、分析法、综合法、综合分析法、解析法、三角法等，毕竟方法需要一定载体来呈现。中小学数学教材例题面对着大多数学生群体，是为了掌握基础知识和基本思想方法而设置，关注更多的是通性通法，而不是特殊的解题技巧，特殊的解题方法。思想方法是需要领悟的，只有使得学生充分经历对问题的分析、解答、小结等，才能使学生有充分的时间去“感悟”，而不是在匆忙之中的“赶悟”，否则就达不到对概念的准确理解，更谈不上“领悟数学的美学价值”[6]。此外解决“例题”过程中，需要教师在教学中充分利用其丰富的内容情节和语言规律，来设置学生参与的比较、判断、归纳、发散等思维活动，引导学生质疑问难，有效实现解决问题中的语言转换，启迪学生思维，有效地发展学生的智力和思维能力，使得学生进行广泛联系，猜测，延伸和拓宽，由例及类、由此及彼，触类旁通，领悟里面蕴含的数学思想方法，以避免听懂不会做题的现状。一道例题再好也不过是解决了一个问题，只有领悟里面的数学思想方法，才能达到掌握，为此需要具有联系的观点，不孤立的看待一个例题，以小见大，管中窥豹。人教版普通高中课程标准试验教科书《数学（必修4）》第97页中的例5，两种方法来求解，分别渗透着方程思想、向量思想。 四、 育人功能
例题最后一个功能就是育人功能。实际上教育随时都在育人，体现着社会性，数学教科书作为育人信息载体的性能，例题是重要组成部分，也还不例外，这个功能最容易忽视。
首先，通过例题教学可以有助于培养学生理性思维能力，学会数学的思考，程序化解决问题。有人曾说：“与其让学生糊里糊涂地做一百道题，不如让学生清清楚楚地做一道题”。这句话不无道理。它告诫我们，每讲一道题都应当问一问为什么要讲？它“范”在哪里？“例”在何方？学生在解决过程中，有哪些收益？通过一道道典型的例题深刻反思，培养学生数学逻辑推理能力以及数学归纳、类比能力，养成理性思维精神。使其明白例题是某个概念或者命题的特例，在用典型案例进行分析的时候，需要归纳提升其“类”或者“属”，从个别的、特殊的事例，逐步抽象概括到一般一类事物的认识，从而逐步掌握规律，认识客观世界。如人教版普通高中课程标准试验教科书《数学（必修2）》第69页中的例3，学生从此例中应概括出以后再证明平面与平面垂直，应先证直线与平面垂直，而要证直线与平面垂直，又需先证直线与直线垂直，体会这种几何推理能力，类似地，解决平面与平面平行，也需要类似的几何思维。
其次，例题有助于培养学生辩证唯物主义观点。辩证唯物主义认为事物是普遍联系的，数学例题也不例外，一方面数学例题是在旧知基础上巩固新知，展示新知，延伸新知，学习例题就是要揭示这种联系，这种解释联系的过程，使得学生的知识体系得到整合，逐步把知识连成线，串成网，构成体，领悟隐含的数学思想方法，逐步深化形成自己的认知结构图式。可看出数学教科书例题的联系性比较强，具有拓展，还包括对数学教学内容之间的前后串联、课本例题的深化引申、课后习题的整合统一。
最后，充分利用例题隐含的背景信息对学生进行教育。譬如例题“某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中抽查了100只灯泡，它们的使用寿命如下表所示：…这批灯泡的平均使用寿命是多少？”在一旁批注“用全面调查的方法考察这批灯泡的平均使用寿命合适吗？”这本身利用此题教育学生，当要考察的对象很多、考察本身带有破坏性时，统计中常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识。
“用教材教，而不是教教材”，要求教师认真钻研教科书，其中包括认真钻研教科书的例题，吃透其精神与实质，能更加灵活地、更富有创造性地使用教科书，通过“露出海面的冰山一角”，把“海面以下的巨大冰山托出海面”，让学生领略到“整座冰山”[7]。
参考文献
[1] 华中师范大学等五院校教育系.教育学.北京：人民教育出版社，1980.
[2] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）.北京：北京师范大学出版社，2011.
[3] 喻平.数学教学心理学.北京：北京师范大学出版社，2010.
[4] [美]乔治·波利亚.怎样解题：数学思维的新方法.涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.
[5] David Coffty. Heinemann Maths Zone 8 VELS Enhanced.Port Melbourne： Pearson，2008.
[6] 王芝平.构建三角函数刻画周期现象——任意角三角函数概念的教学反思.数学通报，2012（1）.
[7] 张传鹏. 数学教学中对书本例题的使用例谈.教学与管理，2012（3）.
（该文作者为北京师范大学数学科学学院在读博士）
（责任编辑 刘永庆）