论文部分内容阅读
摘 要： 研究了常微分方程初值问题的谱配置方法. 针对一阶和二阶线性常微分方程初值问题，基于Legendre-Gauss点提出了相应的谱配置方法，并给出了具体的计算格式. 最后，通过一些数值算例探讨了所提Legendre-Gauss谱配置方法的超收敛性.
关键词： 谱配置法; 初值问题; 超收敛
中图分类号： O 241.8 文献标志码： A 文章编号： 1000-5137（2021）01-0001-07
Abstract： In this paper，we study the spectral collocation method for the initial value problems of ordinary differential equations.Based on Legendre-Gauss points，we propose the spectral collocation method for the initial value problems of first-order and second-order. We also give the specific computation form for our method. Finally，to explain the superconvergence properties of the Legendre-Gauss spectral collocation method. We discuss several numerical examples.
Key words： spectral collocation method; initial value problem; superconvergence
0 引 言
谱方法是求解偏微分方程的一类重要数值方法，它已被广泛应用于科学及工程计算的众多领域[1-4].谱方法的最大魅力在于它具有所谓的“谱精度”，即如果原方程的精确解越光滑，那么近似解将以的任意幂次速度收敛于精确解，其中为基函数的个数.由于谱方法具有高精度，它在微分方程时间离散上的应用备受关注.特别地，文献[5-8]的作者提出了求解非线性常微分方程初值问题的一系列谱配置方法，并讨论了其收敛性.
众所周知，利用有限元方法求解微分方程时会出现所谓的“超收敛”现象，即数值误差在某些特殊点处的收敛速度远远高于整体误差的收敛速度，这些特殊点则称之为超收敛点.目前有关有限元方法的超收敛研究已经非常成熟[9-11]，但关于谱方法的超收敛研究并不多见，仅有少量的文献如[12-14]等报道过.文献[15-16]详细地讨论了各种高阶谱插值的超收敛性质，但没有讨论相应谱配置法的超收敛性.
将针对上述问题，基于Legendre-Gauss点构造相应的谱配置方法，给出具体的计算格式.将数值解按照Legendre多项式序列展开，然后在频率空间中求解展开式系数.最后将通过一些数值算例探讨Legendre-Gauss谱配置法的超收敛现象，并找出相应的超收敛点.
本文第1节将首先介绍Legendre多项式及其相关性质，然后针对问题（1）和（2）分别提出了相应的Legendre-Gauss谱配置方法，并给出了具体的计算形式.在第2节中通过两个数值算例展示了Legendre-Gauss谱配置法的高精度性，并基于数值结果探讨了该方法的超收敛性，找到了数值解的函数值及导数值逼近的超收敛点.最后将对全文进行总结.
1 Legendre谱配置方法
1.1 Legendre多项式及其性质
1.2 Legendre谱配置法的数值格式
1.2.1 一阶初值问题的Legendre谱配置法
1.2.2 二阶初值问题的Legendre谱配置法
设为上不超过次的多项式集合，则问题（2）的Legendre谱配置法的数值格式为，寻找，使得它满足条件
2 基于數值算例的超收敛性探讨
2.1 一阶初值问题
考虑变系数一阶线性常微分方程初值问题
其中，真解利用Legendre谱配置格式（8）求解该问题.分别选取和，然后采用不同的进行求解.将数值解的绝对误差绘制成曲线，如图1和图2所示，可以看到随着的增大，数值误差呈指数下降趋势.
接下来考察导数值逼近的超收敛性.取，分别考虑和（共有个Legendre-Gauss点）的情形，将导数值误差绘制曲线，如图3和图4所示，可以看到，在个Legendre-Gauss点处（恰为格式（8）的谱配置点），导数值的误差非常小，几乎接近0，因此这些配置点为导数值逼近的超收敛点.
最后考虑函数值逼近的超收敛性，仍然以，以及和9为例，可以看到在个Legendre-Gauss-Lobatto点处（即的零点，包括个内点和2个端点）函数值的误差非常小，几乎接近0，因此这些点为导数值逼近的超收敛点.
2.2 二阶初值问题
考虑变系数二阶线性常微分方程初值问题其真解为.
利用Legendre谱配置格式（12）求解该问题.分别选取，，然后采用不同的进行求解，将数值解的绝对误差绘制曲线，如图7和图8所示，可以看到，随着的增大，数值误差呈指数下降趋势.
接下来考察导数值逼近的超收敛性，取，分别考虑和（共有个Legendre-Gauss点）的情形，将导数值误差绘制曲线，如图9和图10所示，可以看到在个Legendre-Gauss-Lobatto点处导数值的误差非常小，几乎接近0，因此这些点为导数值逼近的超收敛点. 最后考虑函数值逼近的超收敛性，仍然取，分别考虑和的情形.从图11和图12可以看到，在权为2的Jacobi-Gauss点（即Jacobi多项式的零点）和两个端点处，函数值的误差非常小，几乎接近0，因此这些点为函数值逼近的超收敛点.
3 结 论
本文作者提出了求解一阶与二阶线性常微分方程初值问题的 Legendre谱配置法，该方法具有以下优点：数值格式简单、编程容易、计算精度高，且很容易推广到非线性常微分方程初值问题的计算.通过数值算例发现，Legendre谱配置法在求解上述常微分方程初值问题时具有超收敛性，具体总结如下：
1） 对于一阶线性常微分方程初值问题，若采用个Legendre-Gauss配置点，则函数值误差在个Legendre-Gauss-Lobatto点处具有超收敛性，而导数值误差恰在个Legendre-Gauss点（即配置点）处具有超收敛性.
2） 对于二阶线性常微分方程初值问题，若采用个Legendre-Gauss配置点，则函数值误差在个点（包括2个端点和Jacobi多项式的零点）处具有超收敛性，而导数值误差在个Legendre-Gauss-Lobatto 点处具有超收敛性.
应当指出，上述有趣的超收敛现象还缺乏理论证明，这也是今后的研究方向之一.
参考文献：
[1] BERNARDI C，MADAY Y.Spectral Methods [M]//Handbook of Numerical Analysis.Amsterdam：North-Holland，1997.
[2] CANUTO C，HUSSAINIM Y，QUARTERONI A，et al.Spectral Methods：Fundamentals in Single Domains [M].Berlin：Springer-Verlag，2006.
[3] GUO B Y.Spectral Methods and Their Applications [M].Singapore：World Scientific，1998.
[4] SHEN J，TANG T，WANG L L.Spectral Methods：Algorithms，Analysis and Applications [M].Berlin：Springer-Verlag，2011.
[5] GUO B Y，WANG Z Q.Legendre-Gauss collocation methods for ordinary differential equations [J].Advances in Computational Mathematics，2009，30（3）：249-280.
[6] GUO B Y，YAN J P.Legendre-Gauss collocation method for initial value problems of second order ordinary differential equations [J].Applied Numerical Mathematics，2009，59（6）：1386-1408.
[7] GUO B Y，WANG Z Q.A spectral collocation method for solving initial value problems of first order ordinary differential equations [J].Discrete and Continuous Dynamical Systems：Series B，2010，14（3）：1029-1054.
[8] WANG Z Q，GUO B Y.Legendre-Gauss-Radau collocation method for solving initial value problems of first order ordinary differential equations [J]. Journal of Scientific Computing，2012，52（1）：226-255.
[9] 朱起定，林群.有限元超收斂理论 [M].长沙：湖南科技出版社，1989.
ZHU Q D，LIN Q.The Hyperconvergence Theory of Finite Elements [M].Changsha：Hunan Science and Technology Publishing House，1989.
[10] WAHLBIN L B.Superconvergence in Galerkin Finite Element Methods [M].Berlin：Springer-Verlag，1995.
[11] 陈传淼.有限元超收敛构造理论 [M].长沙：湖南科技出版社，2001.
CHEN C M.Structure Theory of Super Convergence of Finite Elements [M].Changsha：Hunan Science and Technology Publishing House，2001.
[12] ZHANG Z M.Superconvergence of spectral collocation and p-version methods in one dimensional problems [J].Mathematics of Computation，2005，74（252）：1621-1636.
[13] ZHANG Z M.Superconvergence of a Chebyshev spectral collocation method [J].Journal of Scientific Computing，2008，34（3）：237-246.
[14] YI L J，GUO B Q.Superconvergence of the h-p version of the finite element method in one dimension [J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，233（2）：150-164.
[15] ZHANG Z M.Superconvergence points of polynomial spectral interpolation [J].SIAM Journal on Numerical Analysis，2012，50（6）：2966-2985.
[16] WANG L L，ZHAO X D，ZHANG Z M.Superconvergence of Jacobi-Gauss-type spectral interpolation [J].Journal of Scientific Computing，2014，59（3）：667-687.
（责任编辑：冯珍珍）
关键词： 谱配置法; 初值问题; 超收敛
中图分类号： O 241.8 文献标志码： A 文章编号： 1000-5137（2021）01-0001-07
Abstract： In this paper，we study the spectral collocation method for the initial value problems of ordinary differential equations.Based on Legendre-Gauss points，we propose the spectral collocation method for the initial value problems of first-order and second-order. We also give the specific computation form for our method. Finally，to explain the superconvergence properties of the Legendre-Gauss spectral collocation method. We discuss several numerical examples.
Key words： spectral collocation method; initial value problem; superconvergence
0 引 言
谱方法是求解偏微分方程的一类重要数值方法，它已被广泛应用于科学及工程计算的众多领域[1-4].谱方法的最大魅力在于它具有所谓的“谱精度”，即如果原方程的精确解越光滑，那么近似解将以的任意幂次速度收敛于精确解，其中为基函数的个数.由于谱方法具有高精度，它在微分方程时间离散上的应用备受关注.特别地，文献[5-8]的作者提出了求解非线性常微分方程初值问题的一系列谱配置方法，并讨论了其收敛性.
众所周知，利用有限元方法求解微分方程时会出现所谓的“超收敛”现象，即数值误差在某些特殊点处的收敛速度远远高于整体误差的收敛速度，这些特殊点则称之为超收敛点.目前有关有限元方法的超收敛研究已经非常成熟[9-11]，但关于谱方法的超收敛研究并不多见，仅有少量的文献如[12-14]等报道过.文献[15-16]详细地讨论了各种高阶谱插值的超收敛性质，但没有讨论相应谱配置法的超收敛性.
将针对上述问题，基于Legendre-Gauss点构造相应的谱配置方法，给出具体的计算格式.将数值解按照Legendre多项式序列展开，然后在频率空间中求解展开式系数.最后将通过一些数值算例探讨Legendre-Gauss谱配置法的超收敛现象，并找出相应的超收敛点.
本文第1节将首先介绍Legendre多项式及其相关性质，然后针对问题（1）和（2）分别提出了相应的Legendre-Gauss谱配置方法，并给出了具体的计算形式.在第2节中通过两个数值算例展示了Legendre-Gauss谱配置法的高精度性，并基于数值结果探讨了该方法的超收敛性，找到了数值解的函数值及导数值逼近的超收敛点.最后将对全文进行总结.
1 Legendre谱配置方法
1.1 Legendre多项式及其性质
1.2 Legendre谱配置法的数值格式
1.2.1 一阶初值问题的Legendre谱配置法
1.2.2 二阶初值问题的Legendre谱配置法
设为上不超过次的多项式集合，则问题（2）的Legendre谱配置法的数值格式为，寻找，使得它满足条件
2 基于數值算例的超收敛性探讨
2.1 一阶初值问题
考虑变系数一阶线性常微分方程初值问题
其中，真解利用Legendre谱配置格式（8）求解该问题.分别选取和，然后采用不同的进行求解.将数值解的绝对误差绘制成曲线，如图1和图2所示，可以看到随着的增大，数值误差呈指数下降趋势.
接下来考察导数值逼近的超收敛性.取，分别考虑和（共有个Legendre-Gauss点）的情形，将导数值误差绘制曲线，如图3和图4所示，可以看到，在个Legendre-Gauss点处（恰为格式（8）的谱配置点），导数值的误差非常小，几乎接近0，因此这些配置点为导数值逼近的超收敛点.
最后考虑函数值逼近的超收敛性，仍然以，以及和9为例，可以看到在个Legendre-Gauss-Lobatto点处（即的零点，包括个内点和2个端点）函数值的误差非常小，几乎接近0，因此这些点为导数值逼近的超收敛点.
2.2 二阶初值问题
考虑变系数二阶线性常微分方程初值问题其真解为.
利用Legendre谱配置格式（12）求解该问题.分别选取，，然后采用不同的进行求解，将数值解的绝对误差绘制曲线，如图7和图8所示，可以看到，随着的增大，数值误差呈指数下降趋势.
接下来考察导数值逼近的超收敛性，取，分别考虑和（共有个Legendre-Gauss点）的情形，将导数值误差绘制曲线，如图9和图10所示，可以看到在个Legendre-Gauss-Lobatto点处导数值的误差非常小，几乎接近0，因此这些点为导数值逼近的超收敛点. 最后考虑函数值逼近的超收敛性，仍然取，分别考虑和的情形.从图11和图12可以看到，在权为2的Jacobi-Gauss点（即Jacobi多项式的零点）和两个端点处，函数值的误差非常小，几乎接近0，因此这些点为函数值逼近的超收敛点.
3 结 论
本文作者提出了求解一阶与二阶线性常微分方程初值问题的 Legendre谱配置法，该方法具有以下优点：数值格式简单、编程容易、计算精度高，且很容易推广到非线性常微分方程初值问题的计算.通过数值算例发现，Legendre谱配置法在求解上述常微分方程初值问题时具有超收敛性，具体总结如下：
1） 对于一阶线性常微分方程初值问题，若采用个Legendre-Gauss配置点，则函数值误差在个Legendre-Gauss-Lobatto点处具有超收敛性，而导数值误差恰在个Legendre-Gauss点（即配置点）处具有超收敛性.
2） 对于二阶线性常微分方程初值问题，若采用个Legendre-Gauss配置点，则函数值误差在个点（包括2个端点和Jacobi多项式的零点）处具有超收敛性，而导数值误差在个Legendre-Gauss-Lobatto 点处具有超收敛性.
应当指出，上述有趣的超收敛现象还缺乏理论证明，这也是今后的研究方向之一.
参考文献：
[1] BERNARDI C，MADAY Y.Spectral Methods [M]//Handbook of Numerical Analysis.Amsterdam：North-Holland，1997.
[2] CANUTO C，HUSSAINIM Y，QUARTERONI A，et al.Spectral Methods：Fundamentals in Single Domains [M].Berlin：Springer-Verlag，2006.
[3] GUO B Y.Spectral Methods and Their Applications [M].Singapore：World Scientific，1998.
[4] SHEN J，TANG T，WANG L L.Spectral Methods：Algorithms，Analysis and Applications [M].Berlin：Springer-Verlag，2011.
[5] GUO B Y，WANG Z Q.Legendre-Gauss collocation methods for ordinary differential equations [J].Advances in Computational Mathematics，2009，30（3）：249-280.
[6] GUO B Y，YAN J P.Legendre-Gauss collocation method for initial value problems of second order ordinary differential equations [J].Applied Numerical Mathematics，2009，59（6）：1386-1408.
[7] GUO B Y，WANG Z Q.A spectral collocation method for solving initial value problems of first order ordinary differential equations [J].Discrete and Continuous Dynamical Systems：Series B，2010，14（3）：1029-1054.
[8] WANG Z Q，GUO B Y.Legendre-Gauss-Radau collocation method for solving initial value problems of first order ordinary differential equations [J]. Journal of Scientific Computing，2012，52（1）：226-255.
[9] 朱起定，林群.有限元超收斂理论 [M].长沙：湖南科技出版社，1989.
ZHU Q D，LIN Q.The Hyperconvergence Theory of Finite Elements [M].Changsha：Hunan Science and Technology Publishing House，1989.
[10] WAHLBIN L B.Superconvergence in Galerkin Finite Element Methods [M].Berlin：Springer-Verlag，1995.
[11] 陈传淼.有限元超收敛构造理论 [M].长沙：湖南科技出版社，2001.
CHEN C M.Structure Theory of Super Convergence of Finite Elements [M].Changsha：Hunan Science and Technology Publishing House，2001.
[12] ZHANG Z M.Superconvergence of spectral collocation and p-version methods in one dimensional problems [J].Mathematics of Computation，2005，74（252）：1621-1636.
[13] ZHANG Z M.Superconvergence of a Chebyshev spectral collocation method [J].Journal of Scientific Computing，2008，34（3）：237-246.
[14] YI L J，GUO B Q.Superconvergence of the h-p version of the finite element method in one dimension [J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，233（2）：150-164.
[15] ZHANG Z M.Superconvergence points of polynomial spectral interpolation [J].SIAM Journal on Numerical Analysis，2012，50（6）：2966-2985.
[16] WANG L L，ZHAO X D，ZHANG Z M.Superconvergence of Jacobi-Gauss-type spectral interpolation [J].Journal of Scientific Computing，2014，59（3）：667-687.
（责任编辑：冯珍珍）