论文部分内容阅读
在近几年的高考试题和模拟试题中，“存在”与“任意”经常出现，如果同学在审题时不细心，很容易出错.下面我们结合考题谈谈二者的区别和在题目中的运用.
一、旧题
题目（2006年湖北卷理科第21题）设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极值点.
（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）设a>0，g(x)=a2+254ex,若存在ε1,ε2∈［0,4］使得|f(ε1)-g(ε2)|<1成立，求a的取值范围.
解(Ⅰ）f′(x)=-［x2+(a-2)x+b-a］e(3-x).
由f′(3)=0，得-［32+(a-2)•3+b-a］e3-3=0，
即得b=-3-2a，
則f′(x)=-［x2+(a-2)x-3-2a-a］e3-x
=-［x2+(a-2)x-3-3a］e3-x
=-(x-3)(x+a+1)e3-x.
令f′(x)=0，得x1=3或x2=a-1，由于x=3是极值点，
∴x+a+1≠0，那么a≠-4.
当a<-4时，x2>3=x1，则
在区间(-∞,3)上，f′(x)<0，f(x)为减函数；
在区间(3,-a-1)上，f′(x)>0，f(x)为增函数；
在区间(-a-1,+∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数.
当a>-4时，x2<3=x1,则
在区间(-∞,-a-1)上，f′(x)<0，f(x)为减函数；
在区间(-a-1,3)上，f′(x)>0，f(x)为增函数；
在区间(3,+∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f(x)在区间(0,3)上单调递增，在区间(3,4)上单调递减，那么f(x)在区间［0,4］上的值域是［min(f(0),f(4)),f(3)］，
而f(0)=-(2a+3)e3<0，f(4)=(2a+13)e-1>0，f(3)=a+6，
那么f(x)在区间［0,4］上的值域是［-(2a+3)e3,a+6］.
又g(x)=a2+254ex在区间［0，4］上是增函数，
且它在区间［0，4］上的值域是a2+254,a2+254e4，
由于a2+254-(a+6)=a2-a+14=a-122≥0，（1）
∴只需仅需a2+254-(a+6)<1，（2）
且a>0，解得0 二、剖析
从题目看，对“若存在ε1,ε2∈［0,4］使得|f(ε1)-g(ε2)|＜1成立”的理解是难点，学生容易理解不透，甚至当成“若任意ε1,ε2∈［0,4］使得|f(ε1)-g(ε2)|＜1成立”去解题，这就产生了错误.从解答看，步骤中（1）和（2）两处不易理解，我们可以找到它们的几何解释.（1）中说明了f(x)和g(x)值域的关系，如果把它们标在数轴上的话，f(x)的值域在左边，g(x)值域在右边（如图所示）.（2）中即说g(x)min-f(x)max<1，为什么呢？这是因为“若存在ε1,ε2∈［0,4］使得|f(ε1)-g(ε2)|＜1成立”，二者的联系令人费解，如果我们从几何意义上便不难理解，这句话意即图中的线段BC＜1.
-（2a+3）e3a+6a2+254a2+254e4
三、新说
若把“存在”改为“任意”呢？
同样，我们可以从几何意义上思考，容易得到即图中的线段AD＜1，所以有g(x)max-f(x)min<1，即a2+254e4-［-(2a+3)e3］<1（这里不便解出a的范围,说明一下此类问题的思路）.
由此可见，含“存在”或“任意”的题目都与最值有关，要想准确理解题意，可以借助数形结合分析，方能化难为易，预防错误.
四、举例
例1（自编题）已知函数f(x)=2x3-3x2-36x+16.
（1）任意x∈［-1,4］，都有f(x) （2）存在x∈［-1,4］，使得f(x) 略解易知x∈［-1,4］，f(x)的值域为［-65,47］.
（1）由题意得，c>f(x)max，所以c>47.
（2）由题意得，c>f(x)min，所以c>-65.
例2（2010年山东卷理科第22题）已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1(a∈R).
（1） 当a≤12时，讨论f(x)的单调性.
（2） 设g(x)=x2-2bx+4，当a=14时，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈［1,2］，使得f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围.
解（1）(运用导数分析，过程略)
当a≤0时，函数f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当a=12时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减；
当0 （2）∵a=14∈0,12，由（1）知，函数f(x)在（0，1）上单调递减，在(1,2)上单调递增，
∴f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)=-12.
由于“对任意x1∈(0,2)存在x2∈［1,2］，使得f(x1)≥g(x2)”等价于
“g(x)在［1,2］上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值为-12”.（﹡）
又g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈［1,2］，
∴①当b<1时，因为［g(x)min］=g(1)=5-2b>0，此时与（﹡）矛盾；
（下转86页）
一、旧题
题目（2006年湖北卷理科第21题）设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极值点.
（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）设a>0，g(x)=a2+254ex,若存在ε1,ε2∈［0,4］使得|f(ε1)-g(ε2)|<1成立，求a的取值范围.
解(Ⅰ）f′(x)=-［x2+(a-2)x+b-a］e(3-x).
由f′(3)=0，得-［32+(a-2)•3+b-a］e3-3=0，
即得b=-3-2a，
則f′(x)=-［x2+(a-2)x-3-2a-a］e3-x
=-［x2+(a-2)x-3-3a］e3-x
=-(x-3)(x+a+1)e3-x.
令f′(x)=0，得x1=3或x2=a-1，由于x=3是极值点，
∴x+a+1≠0，那么a≠-4.
当a<-4时，x2>3=x1，则
在区间(-∞,3)上，f′(x)<0，f(x)为减函数；
在区间(3,-a-1)上，f′(x)>0，f(x)为增函数；
在区间(-a-1,+∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数.
当a>-4时，x2<3=x1,则
在区间(-∞,-a-1)上，f′(x)<0，f(x)为减函数；
在区间(-a-1,3)上，f′(x)>0，f(x)为增函数；
在区间(3,+∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f(x)在区间(0,3)上单调递增，在区间(3,4)上单调递减，那么f(x)在区间［0,4］上的值域是［min(f(0),f(4)),f(3)］，
而f(0)=-(2a+3)e3<0，f(4)=(2a+13)e-1>0，f(3)=a+6，
那么f(x)在区间［0,4］上的值域是［-(2a+3)e3,a+6］.
又g(x)=a2+254ex在区间［0，4］上是增函数，
且它在区间［0，4］上的值域是a2+254,a2+254e4，
由于a2+254-(a+6)=a2-a+14=a-122≥0，（1）
∴只需仅需a2+254-(a+6)<1，（2）
且a>0，解得0
从题目看，对“若存在ε1,ε2∈［0,4］使得|f(ε1)-g(ε2)|＜1成立”的理解是难点，学生容易理解不透，甚至当成“若任意ε1,ε2∈［0,4］使得|f(ε1)-g(ε2)|＜1成立”去解题，这就产生了错误.从解答看，步骤中（1）和（2）两处不易理解，我们可以找到它们的几何解释.（1）中说明了f(x)和g(x)值域的关系，如果把它们标在数轴上的话，f(x)的值域在左边，g(x)值域在右边（如图所示）.（2）中即说g(x)min-f(x)max<1，为什么呢？这是因为“若存在ε1,ε2∈［0,4］使得|f(ε1)-g(ε2)|＜1成立”，二者的联系令人费解，如果我们从几何意义上便不难理解，这句话意即图中的线段BC＜1.
-（2a+3）e3a+6a2+254a2+254e4
三、新说
若把“存在”改为“任意”呢？
同样，我们可以从几何意义上思考，容易得到即图中的线段AD＜1，所以有g(x)max-f(x)min<1，即a2+254e4-［-(2a+3)e3］<1（这里不便解出a的范围,说明一下此类问题的思路）.
由此可见，含“存在”或“任意”的题目都与最值有关，要想准确理解题意，可以借助数形结合分析，方能化难为易，预防错误.
四、举例
例1（自编题）已知函数f(x)=2x3-3x2-36x+16.
（1）任意x∈［-1,4］，都有f(x)
（1）由题意得，c>f(x)max，所以c>47.
（2）由题意得，c>f(x)min，所以c>-65.
例2（2010年山东卷理科第22题）已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1(a∈R).
（1） 当a≤12时，讨论f(x)的单调性.
（2） 设g(x)=x2-2bx+4，当a=14时，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈［1,2］，使得f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围.
解（1）(运用导数分析，过程略)
当a≤0时，函数f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当a=12时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减；
当0
∴f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)=-12.
由于“对任意x1∈(0,2)存在x2∈［1,2］，使得f(x1)≥g(x2)”等价于
“g(x)在［1,2］上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值为-12”.（﹡）
又g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈［1,2］，
∴①当b<1时，因为［g(x)min］=g(1)=5-2b>0，此时与（﹡）矛盾；
（下转86页）