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完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，是中学数学中常用的一种恒等变形。
在解数学题时，根据需要把多项式配成完全平方式，从而使问题得到解决的方法，我们常称之为配方法。例如，化简a2+b2-2ab（a 在利用配方法解题时，经常与非负数的性质、算术平方根的性质以及绝对值的性质等知识配合应用。下面结合实例，说说其应用。
Ⅰ代数方面应用
1.用于形如a±2b的化简
例1:化简①5+26；②3-5
分析：利用a=(a)2(a≥0)把外层根号里面式子化为完全平方式，再利用公式（a）2=a（a≥0）或a2=|a|=a(a≥0)-a（a＜0）去掉外层根号。
解：①5+26=3+26+2
=（3）2+26+（2）2=（3+2）2=3+2
②3-5=6-252=5-25+12
=（5-1）22=5-12=10-22
2.用于求值
例2：设［S］=1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120032+120042，求不超过S的最大整数。
分析：从原等式的右边各项可以确定一个表达式为1+1n2+1(n+1)2，化简这个表达式后，再计算。
解：设n是正整数，
∵1+1n2+1(n+1)2=n2+1n2+1(n+1)2
=n2+2n+1-2nn2+1(n+1)2
=n2+2n+1n2-2nn2+1(n+1)2
=(n+1)2n2-2•nn2+1（n+1）2
=（n+1n）2-2•n+1n•1n+1+1（n+1）2
=（n+1n-1n+1）2
=|n+1n-1n+1|=|1+1n-1n+1|=1+1n-1n+1
∴S=(1+11-12)+(1+12-13)+……+(1+12003-12004)=2004-12004
∴不超过S的最大整数［S］是2003。
例3：已知a＞1，b为正有理数，且ab+a-b=23，求ab-a-b的值。
解：(ab-a-b)=22b+2aba-b+a-2b-4aba-b-4aba-b=(ab+a-b)2-4，
即(ab-a-b)2=(23)2-4=8。
因a＞1，b为正有理数，故ab＞a-b。所以，ab-a-b=22。
3.用于因式分解
例4：分解因式x4+x2-2xy-y2+1。
解：原式=(x4+2x2+1)-(x2+2xy+y2)=(x2+1)2-(x+y)2
=(x2+x+y+1)(x2-x-y+1)
4.用于解不等式
例5:解不等式2x-3x2+2x+5＞0
解：∵x2+2x+5=(x2+2xy+y2)=(x2+1)2-(x+y)2＞0
∴2x-3＞0 ∴x＞32
5.用于解方程（组）
例6：解方程2x2+6xy+5y2-2x-4y+1=0
解：原方程可写成
(x2+2xy+y2）+［(x2+4xy+4y2)-2(x+2y)+1］=0
即(x+y)2+(x+2y-1)2=0 故有
x+y=0x+2y-1=0 解得x=-1y=1
例7:解方程组x2+4y2=20 (1)
x2-2xy+y2=16 (2)
解：观察方程（2），可发现等式左边是一个完全平方式，故可变形为(x-y)2=16x-y=±4，从而原方程组可变形为如下两个方程组
x2+4y2=20x-y=4 和x2+4y2=20x-y=-4
解这两个方程组，得：
x1=2y1=-2，x2=225y2=25，x3=-2y3=2，x4=-225y4=-25
6.用于判断一元二次方程的根的情况
例8:当m、n为何值时，方程x2+2(1+m)x+3m2+4m+32=0有实根？
解：根据一元二次方程的根的判别式
△=4(1+m)2-4(3m2+4m+32)
=-8m2-8m-2=-8(m2+m+14)=－8(m+12)2
要使方程有实根，充要条件是使△≥0，又－8（m+12）2≤0
故 －8(m+12)=0，得m+12=0m=-12
7.用于解二次函数有关的问题
例9:已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为（1,－1），它的图象与Y轴相交于点（0,3），求二次函数的解析式。
解：将二次函数的解析式进行配方，得
y=ax2+bx+c=a(x+b2a)2+4ac-b24a，由顶点为(b2a,4ac-b24a)，得 －b2a=1…①，4ac-b24a=－1…②，
又由图象经过点（0,3）得c=3…③
由①、②、③组成方程组，解得a=4,b=-8,c=3
故二次函数的解析式为y=4x2-8x+3。
8.用于判定三角形的形状
例10:a、b、c为△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+bc-2ca，试判断△ABC的形状。
解：由已知等式，有2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0
即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 ∴a=b=c，△ABC为等边三角形。
9.用于解三角形
例11:中，∠C=90°，其周长为30，两直角边之差为7，求斜边。
解：设Rt△ABC两直角边分别为a、b（a＞b），斜边为c，则有a+b+c=30①，a-b=7②，a2+b2=c2③。
由③得(a+b)2-2ab=c2④，(a-b)2+2ab=c2⑤
④＋⑤得(a+b)2+(a-b)2=2c2 即(30-c)2+49=2c2
∴ C1=13，C2=－73（舍去） 故边长为13。
例12:Rt△ABC中，∠C=90°，斜边为c，两直角边分别为a、b，斜边上的高为h，求证：a+b＜c+h。
解：∵a2+b2=c2，∴c2=(a+b)2-2ab，c2+2ab=(a+b)2
又 ∵12ab=12ch，有c2+2ch=(a+b)2，
于是c2+2ch+h2＞(a+b)2，(c+h)2＞(a+b)2，
∴a+b＜c+h。
例13:已知Rt△ABC的周长为2＋6，斜边上的中线长为1。
求S△ABC。
解：设BC=a，CA=b，AB=c，则a+b+c=2+6。
因直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等，故c=2。
于是a+b=6,a2+b2=4。
∵a2+b2=(a+b)2-2ab=4，∴6-2ab=4,ab=1
∴S△ABC=12ab=12。
参考文献
［1］ 胡善通，金德福主编.《学习方法宝典•初中数学》广西师范大学出版社,ISBN 7-5062-4090-4/G•64.
［2］ 贺家勇,陈新昌编著.《初中数学解题序和术》首都师范大学出版社,ISBN 7-81039-058-9/G•53.
在解数学题时，根据需要把多项式配成完全平方式，从而使问题得到解决的方法，我们常称之为配方法。例如，化简a2+b2-2ab（a
Ⅰ代数方面应用
1.用于形如a±2b的化简
例1:化简①5+26；②3-5
分析：利用a=(a)2(a≥0)把外层根号里面式子化为完全平方式，再利用公式（a）2=a（a≥0）或a2=|a|=a(a≥0)-a（a＜0）去掉外层根号。
解：①5+26=3+26+2
=（3）2+26+（2）2=（3+2）2=3+2
②3-5=6-252=5-25+12
=（5-1）22=5-12=10-22
2.用于求值
例2：设［S］=1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120032+120042，求不超过S的最大整数。
分析：从原等式的右边各项可以确定一个表达式为1+1n2+1(n+1)2，化简这个表达式后，再计算。
解：设n是正整数，
∵1+1n2+1(n+1)2=n2+1n2+1(n+1)2
=n2+2n+1-2nn2+1(n+1)2
=n2+2n+1n2-2nn2+1(n+1)2
=(n+1)2n2-2•nn2+1（n+1）2
=（n+1n）2-2•n+1n•1n+1+1（n+1）2
=（n+1n-1n+1）2
=|n+1n-1n+1|=|1+1n-1n+1|=1+1n-1n+1
∴S=(1+11-12)+(1+12-13)+……+(1+12003-12004)=2004-12004
∴不超过S的最大整数［S］是2003。
例3：已知a＞1，b为正有理数，且ab+a-b=23，求ab-a-b的值。
解：(ab-a-b)=22b+2aba-b+a-2b-4aba-b-4aba-b=(ab+a-b)2-4，
即(ab-a-b)2=(23)2-4=8。
因a＞1，b为正有理数，故ab＞a-b。所以，ab-a-b=22。
3.用于因式分解
例4：分解因式x4+x2-2xy-y2+1。
解：原式=(x4+2x2+1)-(x2+2xy+y2)=(x2+1)2-(x+y)2
=(x2+x+y+1)(x2-x-y+1)
4.用于解不等式
例5:解不等式2x-3x2+2x+5＞0
解：∵x2+2x+5=(x2+2xy+y2)=(x2+1)2-(x+y)2＞0
∴2x-3＞0 ∴x＞32
5.用于解方程（组）
例6：解方程2x2+6xy+5y2-2x-4y+1=0
解：原方程可写成
(x2+2xy+y2）+［(x2+4xy+4y2)-2(x+2y)+1］=0
即(x+y)2+(x+2y-1)2=0 故有
x+y=0x+2y-1=0 解得x=-1y=1
例7:解方程组x2+4y2=20 (1)
x2-2xy+y2=16 (2)
解：观察方程（2），可发现等式左边是一个完全平方式，故可变形为(x-y)2=16x-y=±4，从而原方程组可变形为如下两个方程组
x2+4y2=20x-y=4 和x2+4y2=20x-y=-4
解这两个方程组，得：
x1=2y1=-2，x2=225y2=25，x3=-2y3=2，x4=-225y4=-25
6.用于判断一元二次方程的根的情况
例8:当m、n为何值时，方程x2+2(1+m)x+3m2+4m+32=0有实根？
解：根据一元二次方程的根的判别式
△=4(1+m)2-4(3m2+4m+32)
=-8m2-8m-2=-8(m2+m+14)=－8(m+12)2
要使方程有实根，充要条件是使△≥0，又－8（m+12）2≤0
故 －8(m+12)=0，得m+12=0m=-12
7.用于解二次函数有关的问题
例9:已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为（1,－1），它的图象与Y轴相交于点（0,3），求二次函数的解析式。
解：将二次函数的解析式进行配方，得
y=ax2+bx+c=a(x+b2a)2+4ac-b24a，由顶点为(b2a,4ac-b24a)，得 －b2a=1…①，4ac-b24a=－1…②，
又由图象经过点（0,3）得c=3…③
由①、②、③组成方程组，解得a=4,b=-8,c=3
故二次函数的解析式为y=4x2-8x+3。
8.用于判定三角形的形状
例10:a、b、c为△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+bc-2ca，试判断△ABC的形状。
解：由已知等式，有2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0
即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 ∴a=b=c，△ABC为等边三角形。
9.用于解三角形
例11:中，∠C=90°，其周长为30，两直角边之差为7，求斜边。
解：设Rt△ABC两直角边分别为a、b（a＞b），斜边为c，则有a+b+c=30①，a-b=7②，a2+b2=c2③。
由③得(a+b)2-2ab=c2④，(a-b)2+2ab=c2⑤
④＋⑤得(a+b)2+(a-b)2=2c2 即(30-c)2+49=2c2
∴ C1=13，C2=－73（舍去） 故边长为13。
例12:Rt△ABC中，∠C=90°，斜边为c，两直角边分别为a、b，斜边上的高为h，求证：a+b＜c+h。
解：∵a2+b2=c2，∴c2=(a+b)2-2ab，c2+2ab=(a+b)2
又 ∵12ab=12ch，有c2+2ch=(a+b)2，
于是c2+2ch+h2＞(a+b)2，(c+h)2＞(a+b)2，
∴a+b＜c+h。
例13:已知Rt△ABC的周长为2＋6，斜边上的中线长为1。
求S△ABC。
解：设BC=a，CA=b，AB=c，则a+b+c=2+6。
因直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等，故c=2。
于是a+b=6,a2+b2=4。
∵a2+b2=(a+b)2-2ab=4，∴6-2ab=4,ab=1
∴S△ABC=12ab=12。
参考文献
［1］ 胡善通，金德福主编.《学习方法宝典•初中数学》广西师范大学出版社,ISBN 7-5062-4090-4/G•64.
［2］ 贺家勇,陈新昌编著.《初中数学解题序和术》首都师范大学出版社,ISBN 7-81039-058-9/G•53.