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摘要：本文对选择山西省旅游景点的最优方案进行了研究，通过使用层次分析法从备用选择的10个景点中，以景色、路程、交通情况、当地饮食、门票、文化氛围作为准则，对这些景点进行了评价，最终选出3个，在求最大特征值和归一化向量的计算中使用MATLAB编程求解，避免了一些复杂的计算。
关键词：层次分析法；景点评价；MATLAB；最优方案
1.概念
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是对一些较为繁琐问题作出决策的简易方法，它尤其适用于那些不易完全定量分析的问题，是一种层次化的、定性和定量相结合的分析方法。近年发展起来的系统分析是一种新方法，而层次分析法是其数学工具之一。它是美国运筹学家T.L.Saaty教授于上世纪70年代初期提出的一种简便而又实用的多准则决策方法。
2.层次分析法的原理与步骤
2.1建立层次结构模型。应用层次分析法处理决策问题时，首先要把问题层次化，构造出一个有层次的结构模型。在模型中，复杂问题被分解为因素的组成部分。这些因素又按其属性及关系形成几个层次。上一层次的因素对下一层次有关因素起支配作用。这些层次可分为三类：（1）最高层：这一层次中通常只有一个因素，一般它是分析问题的设定目标或最终结果，因此也称为目标层。（2）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。（3）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
在层次分类及因素选取时，我们要注意三点：1）上层对下层有支配作用；2）同一层因素不存在支配关系（相互独立）；3）每层因素一般不要超过9个。
2.2构造成对比较阵。面对的决策问题：要比较n个因素x1、x2…xn对目标z的影响。我们要确定它们在C中所占的比重，即这n个因素对目标C的相对重要性。我们用两两比较的方法将各因素的重要性量化。每次取两个因素xi和xj，用正数aij表示与aij=SX1aijSX），aij>0，i，j=1，…，n的重要性之比。全部比较结果得到的矩阵A=（aij）n*n称为成对比较阵。显然有如何选取aij呢？萨迪提出了一种方法：用数字1，2，…，9及其倒数1/2，1/3，…，1/9作为标度，其意义是在每两个级别之间有一个中间状态，可分别取值2，4，…，8。xi比xj的值aij取1表示重要性相同，取3表示稍重要，取5表示重要，取7表示很重要，取9表示绝对重要。
2.3一致性检验。显而易见，矩阵A的一致性是不可能的，但只要它的不一致性不是很离谱，我们还是可以接受的。萨迪提出了一个衡量可接受指标以及计算该指标的方法。分为三步：（1）计算一致性指标CI（consistency index）用来衡量A的不一致程度。CI=SXλmax-nn-1SX）（2）查找相应的平均随机一致性指标RI（random index）。
但是对于阶数高的矩阵集，求出其全部样本点的工作量是很大的，我们只要在这个集合中取机抽取出足够的样本点，用这些样本点来运算出λ′max的一近似值来代替λ′max。可以证明当抽取样本点的个数足够多时，两者值是非常接近的。n为1，2，3，4，5，6，7，8，9时，RI分别取0，0，0.58，0.90，1.12，1.24，1.32，1.41，1.45。所以平均一致性指标是这样得到的：对于固定的n，随机构造成对比较阵A′=（aij）′。从中取充分多的样本得到λ′max，并定义RI=SXλ′max-nn-1SX）。（3）计算一致性比例CR（consistency ratio）CR=SXCIRISX）RI=SXλ′max-nn-1SX）
结论：当CR<0.1时，就可以认为矩阵A的不一致性是可以接受的，当CR>0.1时，则应设法修改比较阵A直至达到可接受为止。
2.4计算权重向量。当我们构造出了可接受的对比较阵A=（aij）n*n，我们就可以计算此层中n个因素在目标C中所占的权重，将这些权重写成向量并归一化即得权向量W=（w1，w2，…wn）T。
2.5层次总排序即求各方案的综合分数.前面我们求的均是在一层中各因素的权重，称为单层次排序。不妨设准则层权向量W=（w1，w2，…wn）T，而方案层有l个方案可供备选，且每个方案的权向量分别为β1，β2，…，βl。那么每个方案对最终目标的影响程度C1，C2，…Cl）T就可以通过下面的式子算出来了。
C1，C2，…Cl）T=（β1，β2，…，βl）l*n·（w1，w2，…wn）T
其中就是第L个方案在目标C中所占的比重，也就是第L个方案的最终得分，得分最高的方案即为最优方案。
3.应用及程序
某游客计划假期在山西旅行，通过网上查询，可去的景点有云冈石窟、应县木塔、五台山、晋祠、壶口瀑布、北武当山、临汾尧庙、乔家大院、绵山，他以景色，路程，交通情况，饮食，门票，文化氛围作为选择3处旅游地的因素。现就其问题进行抉择，在10个景点中选出3个最佳目的地。主要步骤如下：
（1）建立层次结构模型如图1
王鹏.TIF；%60%60TS（JZHT7.H圖1TS）KH*2
（2）构造比较阵，准则层矩阵B，准则层的判断矩阵有。
（3）将以上数据输入，运行MATLAB程序求出最大特征值及特征向量，进而得出平均随机一致性指标RI，一致性比例CR。
主要程序：[v，d]=eigs（B）；tbmax=max（d（：））；[m，n]=size（v）；
表1输出结果
由表计算，CR值均满足小于01，都通过一致性检验。
（4）最终的结果为：C1，C2，…Cl）T=[0044 0042 0093 0101 0088 0038 0067 0063 0091 0095]T；最终目标权重前三位为0101，0093，0091。结果表明晋祠，五台山，乔家大院为最佳目的地。
4.结语
本文运用层次分析法对来山西旅游的游客如何从10个景点中选择出3个景点进行了讨论，其实也可以对更多的景点进行综合选择，给游客带来方便的同时，也给有关管理部门一定的参考意见，为当地旅游的发展提供一些参考。本文所选的因素并不全面，此外对于旅游者择地的因素和景点的评价分类较为简单，仍需不断改进。（作者单位：长安大学信息工程学院）
参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2010，249-256
[2]董守贵.基于MATLAB的层次分析法实现航空兵器，2003，4：16—18.
关键词：层次分析法；景点评价；MATLAB；最优方案
1.概念
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是对一些较为繁琐问题作出决策的简易方法，它尤其适用于那些不易完全定量分析的问题，是一种层次化的、定性和定量相结合的分析方法。近年发展起来的系统分析是一种新方法，而层次分析法是其数学工具之一。它是美国运筹学家T.L.Saaty教授于上世纪70年代初期提出的一种简便而又实用的多准则决策方法。
2.层次分析法的原理与步骤
2.1建立层次结构模型。应用层次分析法处理决策问题时，首先要把问题层次化，构造出一个有层次的结构模型。在模型中，复杂问题被分解为因素的组成部分。这些因素又按其属性及关系形成几个层次。上一层次的因素对下一层次有关因素起支配作用。这些层次可分为三类：（1）最高层：这一层次中通常只有一个因素，一般它是分析问题的设定目标或最终结果，因此也称为目标层。（2）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。（3）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
在层次分类及因素选取时，我们要注意三点：1）上层对下层有支配作用；2）同一层因素不存在支配关系（相互独立）；3）每层因素一般不要超过9个。
2.2构造成对比较阵。面对的决策问题：要比较n个因素x1、x2…xn对目标z的影响。我们要确定它们在C中所占的比重，即这n个因素对目标C的相对重要性。我们用两两比较的方法将各因素的重要性量化。每次取两个因素xi和xj，用正数aij表示与aij=SX1aijSX），aij>0，i，j=1，…，n的重要性之比。全部比较结果得到的矩阵A=（aij）n*n称为成对比较阵。显然有如何选取aij呢？萨迪提出了一种方法：用数字1，2，…，9及其倒数1/2，1/3，…，1/9作为标度，其意义是在每两个级别之间有一个中间状态，可分别取值2，4，…，8。xi比xj的值aij取1表示重要性相同，取3表示稍重要，取5表示重要，取7表示很重要，取9表示绝对重要。
2.3一致性检验。显而易见，矩阵A的一致性是不可能的，但只要它的不一致性不是很离谱，我们还是可以接受的。萨迪提出了一个衡量可接受指标以及计算该指标的方法。分为三步：（1）计算一致性指标CI（consistency index）用来衡量A的不一致程度。CI=SXλmax-nn-1SX）（2）查找相应的平均随机一致性指标RI（random index）。
但是对于阶数高的矩阵集，求出其全部样本点的工作量是很大的，我们只要在这个集合中取机抽取出足够的样本点，用这些样本点来运算出λ′max的一近似值来代替λ′max。可以证明当抽取样本点的个数足够多时，两者值是非常接近的。n为1，2，3，4，5，6，7，8，9时，RI分别取0，0，0.58，0.90，1.12，1.24，1.32，1.41，1.45。所以平均一致性指标是这样得到的：对于固定的n，随机构造成对比较阵A′=（aij）′。从中取充分多的样本得到λ′max，并定义RI=SXλ′max-nn-1SX）。（3）计算一致性比例CR（consistency ratio）CR=SXCIRISX）RI=SXλ′max-nn-1SX）
结论：当CR<0.1时，就可以认为矩阵A的不一致性是可以接受的，当CR>0.1时，则应设法修改比较阵A直至达到可接受为止。
2.4计算权重向量。当我们构造出了可接受的对比较阵A=（aij）n*n，我们就可以计算此层中n个因素在目标C中所占的权重，将这些权重写成向量并归一化即得权向量W=（w1，w2，…wn）T。
2.5层次总排序即求各方案的综合分数.前面我们求的均是在一层中各因素的权重，称为单层次排序。不妨设准则层权向量W=（w1，w2，…wn）T，而方案层有l个方案可供备选，且每个方案的权向量分别为β1，β2，…，βl。那么每个方案对最终目标的影响程度C1，C2，…Cl）T就可以通过下面的式子算出来了。
C1，C2，…Cl）T=（β1，β2，…，βl）l*n·（w1，w2，…wn）T
其中就是第L个方案在目标C中所占的比重，也就是第L个方案的最终得分，得分最高的方案即为最优方案。
3.应用及程序
某游客计划假期在山西旅行，通过网上查询，可去的景点有云冈石窟、应县木塔、五台山、晋祠、壶口瀑布、北武当山、临汾尧庙、乔家大院、绵山，他以景色，路程，交通情况，饮食，门票，文化氛围作为选择3处旅游地的因素。现就其问题进行抉择，在10个景点中选出3个最佳目的地。主要步骤如下：
（1）建立层次结构模型如图1
王鹏.TIF；%60%60TS（JZHT7.H圖1TS）KH*2
（2）构造比较阵，准则层矩阵B，准则层的判断矩阵有。
（3）将以上数据输入，运行MATLAB程序求出最大特征值及特征向量，进而得出平均随机一致性指标RI，一致性比例CR。
主要程序：[v，d]=eigs（B）；tbmax=max（d（：））；[m，n]=size（v）；
表1输出结果
由表计算，CR值均满足小于01，都通过一致性检验。
（4）最终的结果为：C1，C2，…Cl）T=[0044 0042 0093 0101 0088 0038 0067 0063 0091 0095]T；最终目标权重前三位为0101，0093，0091。结果表明晋祠，五台山，乔家大院为最佳目的地。
4.结语
本文运用层次分析法对来山西旅游的游客如何从10个景点中选择出3个景点进行了讨论，其实也可以对更多的景点进行综合选择，给游客带来方便的同时，也给有关管理部门一定的参考意见，为当地旅游的发展提供一些参考。本文所选的因素并不全面，此外对于旅游者择地的因素和景点的评价分类较为简单，仍需不断改进。（作者单位：长安大学信息工程学院）
参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2010，249-256
[2]董守贵.基于MATLAB的层次分析法实现航空兵器，2003，4：16—18.