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【设计理念】
对教学目标的定位是教师教育价值观的综合体现。如果本节课仅仅把教学目标定位在3的倍数特征的记忆和总结上，显然会窄化数学教育的价值，忽视作为课堂主体的学生。因此，本节课采用导悟结合、以导促悟的形式，顺应学生的思维，让课堂真正成为人的主场，成为学生生命成长的赛场，成为学生数学素养养成的能量场。教学设计上主要有三点思考：
1.从学生熟悉的、真实的生活情境引入学习内容。
本节课从对“三字经全文有多少个字”的审视和质疑中开始教学，缩短了学生与知识的距离，学生在思辨中体悟独立思考是信息时代每个人都应该具备的优良品质。
2.以学生感兴趣的形式，探究和感悟3的倍数特征。
本节课的探究没有局限于对百数表和计数器的观察，没有强迫学生“必须”得出教师想要的结论，而是顺应学生的思维。教师通过对2和5倍数特征的知识迁移和“听声辨数”的游戏，给学生观察与思考、表达与交流、抽象与概括的机会。兴趣是最好的老师，“为何教师只听不看却可以判断一个数是否是3的倍数”，教师以这个疑问激发并维持着学生的探究欲望，拓展学生的探究空间，学生在一探究竟的自觉中实现真正意义上的自主学习。
3.以学生数学素养的养成为主线组织教学。
本节课无论是引入、探究、练习，还是回顾、反思，都力图让学生在获取知识的过程中领悟数学学习的一般过程和方法，积累数学探究经验，感受数学基本思想。为此，本节课引入3的倍数特征的算理教学。3的倍数特征的算理教学不是为了教算理而教算理，而是以算理统整本节课的几个知识点，让学生感受转化思想。本节课的算理教学不强求所有学生理解和掌握，而是让学生体会合情推理和演绎推理都有各自的作用和缺点，并让学生尽可能经历一个完整、严谨的学习过程。如此可以让原本简单的知识技能教学变得更为丰满和厚重。
【教学目标】
1.经历3的倍数特征的探究过程，掌握3的倍数特征，了解3的倍数特征的算理；能根据特征正确判断一个数是否是3的倍数。
2.培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，积累数学学习经验，感受数学思想方法，感悟数学学习的一般过程和基本方法，提高学生的学习能力。
【教学过程及意图】
课前谈话。
结合来听课的教师情况，让学生对教师提出的两个问题进行有理有据的判断。
问题1：今天来听课的老师都是女老师？
问题2：今天来听课的都是漂亮的女教师？
师：大家真有主见，但是要用事实来捍卫自己的观点哦。
学生判断后教师小结生活中的判断。
师：同学们不仅智商高，情商也高啊。第二个问题我还真担心大家找出反例来啊。
【看似是个暖场的谈话，其实是为本节课学习思维方式做铺垫，唤醒学生的生活经验。】
一、问题思辨，情境引入
课件呈现《三字经》的部分内容。引导学生说说它有什么特点？提问：三字经全文有多少个字？让学生说说解决问题的方法。
预设1：直接数。
预设2：数一数一共有多少行（列），每行（列）有多少个字？用乘法来计算。
预设3：上网搜索。
师：有的同学把生活问题转化为数学问题，主动建构条件来解决问题。有的同学想借助网络查询。下面是张老师百度后的截图，你了解到什么信息？有什么疑问吗？（截图上提供的内容是“三字经全文共有1145个字”。）
【“上百度”是生活中我们获取信息的常用方式，“作业帮”也是学生经常采用的“地下”学习方式。此处，教师立足学生实际创设一个熟悉的、真实的、有问题性的情境，引发他们思考。】
学生对数据审视与质疑后，说说自己的思考与判断。
预设：我觉得数据有问题，1145个位上是5，应该不是3的倍数。
师：你怎么会想到从个位上的数来判断呢？
预设：我们刚学过2和5的倍数特征就是看个位的。
师：这只是根据已有知识经验的一个猜想。1145究竟是不是3的倍数？最直接、最快速的方法就是用手里的计算器除以3，看一看商是多少。
学生发现商不是一个整数。得出1145不是3的倍数的结论。
师：看样子，在信息时代里，有很多网络信息的真伪还是要理性审视的。3的倍数到底有没有特征呢？今天我们就一起来研究。
【当学生根据个位上的数来判断一个数是否是3的倍数时，教师没有立刻给出评价，而是顺应学生的思维，引导他们去思考、辨析、验证。这里的猜测是已有经验的迁移类推，具有代表性，是我们学习数学常用的方式。】
二、猜测验证，特征探究
1.首次猜测。
师：刚才很多同学根据个位上的数判断出1145不是3的倍数，经过验证它确实不是3的倍数。我宣布我们这个猜测是对的，大家怎么看？
预设1：赞同。
预设2：不赞同，如果是一个巧合呢？
2.举例验证。
师：你准备如何验证呢？
学生在练习本上举例子并用计算器进行验证，然后交流。学生体会正例越多，结论成立的可能性就越大，但一个反例就可以否定结论的道理。
师：现在大家对我们的猜测有什么看法？
预设：猜测不对。
3.师生游戏，感悟特征。
师：猜测错误，我们需要换个研究方向，下一步该如何研究呢？张老师不告诉大家，想和大家玩个游戏。看看大家能不能从游戏中有所感悟和发现。
课件呈现每拨下一颗珠子就會有一下响声的电子计数器。（见图1）
（1）“看珠辨数”游戏
学生在计数器上拨珠，教师迅速给出判断，学生用计算器验证。这时，学生会对教师迅速而正确的判断将信将疑。 （2）“听声辨数”游戏
一个学生在计数器上拨珠，教师背对屏幕，根据落珠声迅速给出判断。学生继续用计算器验证。此时学生会有多种反应，惊讶的、怀疑的、佩服的……当然也有少数学生好像有所感悟。
师：如果说这是一个巧合，我们再来两轮。
接下来的两轮游戏中，教师的准确判断让学生无比惊叹和佩服，少部分学生似乎有所感悟。
4.交流汇报，再次猜测。
师：当老师一猜一个准的时候，就不是猜了。这里有什么玄机呢？四人小组讨论一下老师是如何判断的？
预设1：老师是听声音的。
预设2：老师不看计数器，说明一个数是否是3的倍数和这个数具体是多少没有直接的关系。
师：那与什么有关系呢？老师究竟能听出什么呢？
预设：听出响了几下；听出计数器上一共有几颗珠子……
师：你认为计数器上有几颗珠子时这个数就是3的倍数？
预设：3颗、6颗、9颗、12颗、15颗……
师：这些数和3有什么关系？这时候你有什么新的猜测？
预设：响声是3的倍数，这个数就是3的倍数；计数器上所有珠子总数是3的倍数，这个数就是3的倍数……
师：计数器上珠子的总数是否是3的倍数，该怎么判断？
预设：数很小，口算就可以了。
师：我们的游戏是在计数器中完成判断的，如果没有计数器，你会怎么判断一个数是否是3的倍数？
预设：根据所有数位上的数相加的和来判断。
师：如果所有数位上的数的和不是3的倍数呢？学习中我们经常要思考“结论背后的结论”，这样的研究才比较严谨。
预设：它就不是3的倍数。
【几轮“听声辨数”的游戏，放慢了教学的节奏，让学生经历怀疑、惊讶、好奇、感悟的心理过程，扩大了学生探究的时空，强烈的求知欲成为激发学生探究和感悟的内驱力。】
5.再次验证。
（1）举例验证
师：这是我们在游戏中获得的猜测，你准备如何验证？
鼓励学生举出位数不同的例子来验证。帮助学生厘清举例验证的思维过程。以555为例，所有数位上的数的和是15，口算就可以知道15是3的倍数，根据猜测预判555是3的倍数。再用计算器验证555确实是3的倍数，例子是支持第二次猜测的。
【这里的举例验证，看似简单，但对小学生来说实属不易。这里有逻辑学里“三段论”的思维方式，且极其容易陷入循环论证的误区。因此教师要适时引导，让学生的验证更理性、更严谨。】
（2）了解算理论证
师：大家都没有举出反例，到底有没有反例，还是我们没有找到反例呢？你有疑惑吗？
预设1：没有疑惑了。
预设2：也说不定是因为时间问题没有找到反例，毕竟一个反例就能推翻我们的猜测。
师：其实数学家的研究并没有止步于此，他们从结论出发做了进一步研究。我们来看看能不能有所启发。
师：数学家也在考虑所有数位上的数的和与这个数本身的大小相差很多，为什么它可以代替这个数来进行判断呢？
教师结合以下实例（见图2），引领学生在互动交流中了解3的倍数特征的基本原理。
小结：一个数各个数位上的数的和，可以看作是从这个数中先减去较大的3的倍数后剩下的数，所以它可以作为判断原数是否是3的倍数特征的依据。这其实也是数学里的转化思想。
【3的倍数特征的算理对小学生来说很难理解。此处只是引领学生了解执果索因的论证方法，感受知识之间的内在联系。】
三、巩固内化，拓展提升
1.在游戏中巩固。
师：经过举例验证和数学家的论证，我再次肯定了我们第二次猜测的结论是成立的。
师：现在你会玩“听声辨数”的游戏吗？
教师拨珠，学生转身，背对屏幕。教师在计数器上拨402，学生完成判断。
师：不回头，猜猜老师拨出的数可能是几？
预设：可能是33，可能是123，可能是600，可能是1212……
师：大家真厉害，也掌握“听声辨数”的本领了。现在你感觉这个游戏神秘吗？
师：很多神秘的事，是因为我们对它缺乏探索和了解。如果你能掌握其中的规律，你就会恍然大悟。
【“听声辨数”的游戏一直是学生关注的焦点，他们也想有一个展示自我的机会。此处顺应了学生的心理需求，在游戏中实现再次对3的倍数特征的记忆和运用。】
2.《三字经》问题再现与判断。
呈现网络上《三字经》不同时期不同版本的字数统计。学生判断这些数是否是3的倍数。
3.算理再运用，拓展提高。
呈现：234、6029、20170525这几个数，学生判断其是否是3的倍数。
预设：前两个数学生都能快速判断。但是对20170525这个数他们感到麻烦。
师：根据我们对算理的研究，从原数里减去的3的倍数越大，剩下的数就越容易判断。你觉得这几个数还有其他判断方法吗？
引导学生依据算理用“弃数法”简便判断。
【本次拓展恰好实现了对算理的再认知和运用，使看似独立的内容融会贯通，让本节课更为丰满和厚重。】
四、回顾反思
师：课上到这儿，谁来说说自己的收获？
师：你是如何获得3的倍数特征的结论的？
预设：我们本节课在“猜测、验证、再猜测、再验证……”的过程中获得结论的。
师：这就是我们学习的一般过程和方法。如果我们的第二次猜测还是错误的，你会怎么办？
预设：再猜测，再验证……
师：同学们真会学习，就用你的想法去探究其他的自然数的倍數有什么特征吧。
【回顾反思本节课的收获和学习过程，既有知识技能层面的，也有过程方法层面的，再次凸显本课对学生数学素养和学力的关注。】■
（作者单位：南京市南湖第三小学）
对教学目标的定位是教师教育价值观的综合体现。如果本节课仅仅把教学目标定位在3的倍数特征的记忆和总结上，显然会窄化数学教育的价值，忽视作为课堂主体的学生。因此，本节课采用导悟结合、以导促悟的形式，顺应学生的思维，让课堂真正成为人的主场，成为学生生命成长的赛场，成为学生数学素养养成的能量场。教学设计上主要有三点思考：
1.从学生熟悉的、真实的生活情境引入学习内容。
本节课从对“三字经全文有多少个字”的审视和质疑中开始教学，缩短了学生与知识的距离，学生在思辨中体悟独立思考是信息时代每个人都应该具备的优良品质。
2.以学生感兴趣的形式，探究和感悟3的倍数特征。
本节课的探究没有局限于对百数表和计数器的观察，没有强迫学生“必须”得出教师想要的结论，而是顺应学生的思维。教师通过对2和5倍数特征的知识迁移和“听声辨数”的游戏，给学生观察与思考、表达与交流、抽象与概括的机会。兴趣是最好的老师，“为何教师只听不看却可以判断一个数是否是3的倍数”，教师以这个疑问激发并维持着学生的探究欲望，拓展学生的探究空间，学生在一探究竟的自觉中实现真正意义上的自主学习。
3.以学生数学素养的养成为主线组织教学。
本节课无论是引入、探究、练习，还是回顾、反思，都力图让学生在获取知识的过程中领悟数学学习的一般过程和方法，积累数学探究经验，感受数学基本思想。为此，本节课引入3的倍数特征的算理教学。3的倍数特征的算理教学不是为了教算理而教算理，而是以算理统整本节课的几个知识点，让学生感受转化思想。本节课的算理教学不强求所有学生理解和掌握，而是让学生体会合情推理和演绎推理都有各自的作用和缺点，并让学生尽可能经历一个完整、严谨的学习过程。如此可以让原本简单的知识技能教学变得更为丰满和厚重。
【教学目标】
1.经历3的倍数特征的探究过程，掌握3的倍数特征，了解3的倍数特征的算理；能根据特征正确判断一个数是否是3的倍数。
2.培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，积累数学学习经验，感受数学思想方法，感悟数学学习的一般过程和基本方法，提高学生的学习能力。
【教学过程及意图】
课前谈话。
结合来听课的教师情况，让学生对教师提出的两个问题进行有理有据的判断。
问题1：今天来听课的老师都是女老师？
问题2：今天来听课的都是漂亮的女教师？
师：大家真有主见，但是要用事实来捍卫自己的观点哦。
学生判断后教师小结生活中的判断。
师：同学们不仅智商高，情商也高啊。第二个问题我还真担心大家找出反例来啊。
【看似是个暖场的谈话，其实是为本节课学习思维方式做铺垫，唤醒学生的生活经验。】
一、问题思辨，情境引入
课件呈现《三字经》的部分内容。引导学生说说它有什么特点？提问：三字经全文有多少个字？让学生说说解决问题的方法。
预设1：直接数。
预设2：数一数一共有多少行（列），每行（列）有多少个字？用乘法来计算。
预设3：上网搜索。
师：有的同学把生活问题转化为数学问题，主动建构条件来解决问题。有的同学想借助网络查询。下面是张老师百度后的截图，你了解到什么信息？有什么疑问吗？（截图上提供的内容是“三字经全文共有1145个字”。）
【“上百度”是生活中我们获取信息的常用方式，“作业帮”也是学生经常采用的“地下”学习方式。此处，教师立足学生实际创设一个熟悉的、真实的、有问题性的情境，引发他们思考。】
学生对数据审视与质疑后，说说自己的思考与判断。
预设：我觉得数据有问题，1145个位上是5，应该不是3的倍数。
师：你怎么会想到从个位上的数来判断呢？
预设：我们刚学过2和5的倍数特征就是看个位的。
师：这只是根据已有知识经验的一个猜想。1145究竟是不是3的倍数？最直接、最快速的方法就是用手里的计算器除以3，看一看商是多少。
学生发现商不是一个整数。得出1145不是3的倍数的结论。
师：看样子，在信息时代里，有很多网络信息的真伪还是要理性审视的。3的倍数到底有没有特征呢？今天我们就一起来研究。
【当学生根据个位上的数来判断一个数是否是3的倍数时，教师没有立刻给出评价，而是顺应学生的思维，引导他们去思考、辨析、验证。这里的猜测是已有经验的迁移类推，具有代表性，是我们学习数学常用的方式。】
二、猜测验证，特征探究
1.首次猜测。
师：刚才很多同学根据个位上的数判断出1145不是3的倍数，经过验证它确实不是3的倍数。我宣布我们这个猜测是对的，大家怎么看？
预设1：赞同。
预设2：不赞同，如果是一个巧合呢？
2.举例验证。
师：你准备如何验证呢？
学生在练习本上举例子并用计算器进行验证，然后交流。学生体会正例越多，结论成立的可能性就越大，但一个反例就可以否定结论的道理。
师：现在大家对我们的猜测有什么看法？
预设：猜测不对。
3.师生游戏，感悟特征。
师：猜测错误，我们需要换个研究方向，下一步该如何研究呢？张老师不告诉大家，想和大家玩个游戏。看看大家能不能从游戏中有所感悟和发现。
课件呈现每拨下一颗珠子就會有一下响声的电子计数器。（见图1）
（1）“看珠辨数”游戏
学生在计数器上拨珠，教师迅速给出判断，学生用计算器验证。这时，学生会对教师迅速而正确的判断将信将疑。 （2）“听声辨数”游戏
一个学生在计数器上拨珠，教师背对屏幕，根据落珠声迅速给出判断。学生继续用计算器验证。此时学生会有多种反应，惊讶的、怀疑的、佩服的……当然也有少数学生好像有所感悟。
师：如果说这是一个巧合，我们再来两轮。
接下来的两轮游戏中，教师的准确判断让学生无比惊叹和佩服，少部分学生似乎有所感悟。
4.交流汇报，再次猜测。
师：当老师一猜一个准的时候，就不是猜了。这里有什么玄机呢？四人小组讨论一下老师是如何判断的？
预设1：老师是听声音的。
预设2：老师不看计数器，说明一个数是否是3的倍数和这个数具体是多少没有直接的关系。
师：那与什么有关系呢？老师究竟能听出什么呢？
预设：听出响了几下；听出计数器上一共有几颗珠子……
师：你认为计数器上有几颗珠子时这个数就是3的倍数？
预设：3颗、6颗、9颗、12颗、15颗……
师：这些数和3有什么关系？这时候你有什么新的猜测？
预设：响声是3的倍数，这个数就是3的倍数；计数器上所有珠子总数是3的倍数，这个数就是3的倍数……
师：计数器上珠子的总数是否是3的倍数，该怎么判断？
预设：数很小，口算就可以了。
师：我们的游戏是在计数器中完成判断的，如果没有计数器，你会怎么判断一个数是否是3的倍数？
预设：根据所有数位上的数相加的和来判断。
师：如果所有数位上的数的和不是3的倍数呢？学习中我们经常要思考“结论背后的结论”，这样的研究才比较严谨。
预设：它就不是3的倍数。
【几轮“听声辨数”的游戏，放慢了教学的节奏，让学生经历怀疑、惊讶、好奇、感悟的心理过程，扩大了学生探究的时空，强烈的求知欲成为激发学生探究和感悟的内驱力。】
5.再次验证。
（1）举例验证
师：这是我们在游戏中获得的猜测，你准备如何验证？
鼓励学生举出位数不同的例子来验证。帮助学生厘清举例验证的思维过程。以555为例，所有数位上的数的和是15，口算就可以知道15是3的倍数，根据猜测预判555是3的倍数。再用计算器验证555确实是3的倍数，例子是支持第二次猜测的。
【这里的举例验证，看似简单，但对小学生来说实属不易。这里有逻辑学里“三段论”的思维方式，且极其容易陷入循环论证的误区。因此教师要适时引导，让学生的验证更理性、更严谨。】
（2）了解算理论证
师：大家都没有举出反例，到底有没有反例，还是我们没有找到反例呢？你有疑惑吗？
预设1：没有疑惑了。
预设2：也说不定是因为时间问题没有找到反例，毕竟一个反例就能推翻我们的猜测。
师：其实数学家的研究并没有止步于此，他们从结论出发做了进一步研究。我们来看看能不能有所启发。
师：数学家也在考虑所有数位上的数的和与这个数本身的大小相差很多，为什么它可以代替这个数来进行判断呢？
教师结合以下实例（见图2），引领学生在互动交流中了解3的倍数特征的基本原理。
小结：一个数各个数位上的数的和，可以看作是从这个数中先减去较大的3的倍数后剩下的数，所以它可以作为判断原数是否是3的倍数特征的依据。这其实也是数学里的转化思想。
【3的倍数特征的算理对小学生来说很难理解。此处只是引领学生了解执果索因的论证方法，感受知识之间的内在联系。】
三、巩固内化，拓展提升
1.在游戏中巩固。
师：经过举例验证和数学家的论证，我再次肯定了我们第二次猜测的结论是成立的。
师：现在你会玩“听声辨数”的游戏吗？
教师拨珠，学生转身，背对屏幕。教师在计数器上拨402，学生完成判断。
师：不回头，猜猜老师拨出的数可能是几？
预设：可能是33，可能是123，可能是600，可能是1212……
师：大家真厉害，也掌握“听声辨数”的本领了。现在你感觉这个游戏神秘吗？
师：很多神秘的事，是因为我们对它缺乏探索和了解。如果你能掌握其中的规律，你就会恍然大悟。
【“听声辨数”的游戏一直是学生关注的焦点，他们也想有一个展示自我的机会。此处顺应了学生的心理需求，在游戏中实现再次对3的倍数特征的记忆和运用。】
2.《三字经》问题再现与判断。
呈现网络上《三字经》不同时期不同版本的字数统计。学生判断这些数是否是3的倍数。
3.算理再运用，拓展提高。
呈现：234、6029、20170525这几个数，学生判断其是否是3的倍数。
预设：前两个数学生都能快速判断。但是对20170525这个数他们感到麻烦。
师：根据我们对算理的研究，从原数里减去的3的倍数越大，剩下的数就越容易判断。你觉得这几个数还有其他判断方法吗？
引导学生依据算理用“弃数法”简便判断。
【本次拓展恰好实现了对算理的再认知和运用，使看似独立的内容融会贯通，让本节课更为丰满和厚重。】
四、回顾反思
师：课上到这儿，谁来说说自己的收获？
师：你是如何获得3的倍数特征的结论的？
预设：我们本节课在“猜测、验证、再猜测、再验证……”的过程中获得结论的。
师：这就是我们学习的一般过程和方法。如果我们的第二次猜测还是错误的，你会怎么办？
预设：再猜测，再验证……
师：同学们真会学习，就用你的想法去探究其他的自然数的倍數有什么特征吧。
【回顾反思本节课的收获和学习过程，既有知识技能层面的，也有过程方法层面的，再次凸显本课对学生数学素养和学力的关注。】■
（作者单位：南京市南湖第三小学）