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摘要:通过对Copula函数相关理论的简单介绍,分析了进行交叉货币定价研究时,选择合适的Copula函数的依据。之后对国内外相关文献关于copula理论在交叉货币衍生产品定价进行综述,分析目前研究存在的主要问题及研究发展趋势。
关键词:Copula函数;交叉货币;汇率风险
中图分类号:F832 文献标识码:A 文章编号:1672-3198(2010)02-0050-02
1 Copula相关理论
资产组合尤其是含有不同种类资产的资产组合(股票和外汇),各种金融资产边缘分布函数通常不符合同一类型的分布函数,这种情况使得多元分布函数很难在资产定价理论中得到应用。而通过Copula函数技术可以构造灵活的多元分布函数。
Copula函数是指把多个变量的联合分布与它们的边缘分布连接在一起的函数。如果F1,…,Fd是一元分布函数,ui=Fi(xi),i=1,…,d,则C(F1(x1),…,Fd(xd))是具有边缘分布函数F1,…,Fd的多元分布函数。d维Copula函数C是把多个随机变量ζ1,…,ζd的联合分布与它们各自的边缘分布连接在一起的函数。Copula函数对于构造和模拟多元分布函数具有重要的意义。根据关于Copula函数最重要的Sklar定理:
令F是具有边缘分布函数F1,…,Fd的d维分布函数,若边缘分布函数F1,…,Fd连续,则存在一个唯一满足F(X,…,xd)=C(F1(x1),…,Fd(xd))关系的连接函数C。
对于多元连续分布函数,一元边缘分布函数和多元分布函数相关结构能够被分离,多元变量之间的相关结构可以用适当的Copula函数表示。Copula函数与多元分布函数一样,包含随机变量之间的所有相关信息。
2 选择合适的Copula函数
Copulas函数的类型很多,总体可以分为椭圆类分布函数连接函数和阿基米德连接函数(Archimedean copulas),而每一类又分为许多具体的连接函数。具体在定价理论中,选择哪一种连接函数要考虑到两方面。首先:看这种Copula函数的特征是否与现实金融市场中金融资产收益率之间的相关性相符合。其次;看这种Copula函数在实际应用中的可行性,是否存在计算技术上的难题。
在现实的金融市场中,各种金融资产的收益率并不符合正态分布的假设条件,通常表现为“尖峰”和“厚尾”的特征。与此同时,各种金融资产的收益率之间也不符合多元正态分布的假设,呈现出尾部极值相关性。符合此特征的分布函数主要有t-Copula连接函数和阿基米德连接函数中的Clayton类连接函数。在Clayton类连接函数中,一般的Clayton连接函数只能度量单侧极值相关,只有Joe-Clayton连接函数在分布的上下尾部均具有相关性,而且这种相关性是非对称的。从理论上讲它比t-Copula连接函数更完美。Patton]用Joe-Clayton连接函数对外汇资产风险进行的研究,证明了其良好的特性。但是目前Joe-Clayton连接函数只能是限于二维的情况,在维数增加时,其计算任务是复杂和繁琐的,实际中很难运用。 研究金融资产收益相关性时,t连接函数能够反映尾部相关性,而高斯连接函数不等反映尾部相关性。当自由度v→∞,除非在ρ=1,否则尾部相关系数将变为零,此时,t连接函数与Gauss 连接函数相同。因此,t连接函数比Gauss 连接函数应用更广泛。
3 国外文献综述
国外关于Copula函数在交叉货币衍生产品定价研究中的应用:Wei(1997)对交叉外汇衍生产品进行了综合研究。Matthew Hurd, Mark Salmon, Christoph Schleicher(1998)通过用Copula函数将欧元-英镑和美元-英镑汇率的隐含期权边际分布连接起来,建立两者的风险中性联合分布模型。研究结果表明标准参数的Copula函数,例如常用的正态Copula和Frank Copula,不能通过观察数据得到不对称的程度。他们通过使用一种Bernstein形式的非参数基础函数克服了这个问题,得到一个非常接近的拟合,最后他们将这种方法运用到货币指数期权定价实证研究中。Embrechts(2001)探讨了在金融市场中采用线性相关指标度量相依性有其局限性,使用Copula 函数导出的相依性指标更加符合金融市场的实际。Patton(2001)构造了马克-美元和日元-美元汇率的对数收益的二元Copula 模型,并与相应的BEKK 模型做了比较,结果表明Copula 模型可以更好地描述金融市场间的相关关系。
Lindsog和NcNeil(2003)给出了金融相关的Copulas及相关性概念的测量,着重集中在椭圆的Copulas,Archimedean Copulas和Marshall-Olkin Copulas及保险风险和市场风险(VaR)的运用上面;Ernst Eberlein and Nataliya Koval(2006) 将伦敦银行同业拆息市场模型引入交叉货币衍生产品的定价理论中,详细研究了外汇汇率的上限和下限以及交叉货币互换理论,引用了建立在双边拉普拉斯变换基础上的有效定价算法,并给出了关于欧元-美元交叉货币货币实例进行校正检验。Mark Salmon, Christoph Schleicher(2006)用Copula函数对多变量货币期权进行定价,使用Bernstein Copula函数作为Copula的一种一般的近似过程。Sami Attaoui(2006)以现货而不是远期外汇汇率的动态变化为依据研究概率测度的变化,得到外汇远期伦敦银行同业拆息利率更为丰富的动态变化过程,解决了对伦敦银行同业拆息市场模型中交叉货币衍生产品的定价。
4 国内文献综述
国内关于Copula函数在交叉货币衍生产品定价中的应用:陈松男(2002)对交叉外汇远期合约和期权的定价进行了详细的介绍。张尧庭(2002a),(2002b)从理论上探讨了Copula 在金融上应用的可行性,指出在不确定线性关系能否正确度量相关关系时,采用一种更为灵活稳健的相关性分析工具- Copula 技术来分析变量间的相关结构更为可靠。孙志宾、顾岚(2004)讨论Copula理论中存在的一些问题和未来要解决的问题的一些思想和方法,指出Copula理论在金融中的应用价值。张世英等(2004)研究了Copula -GARCH 模型对波动性的描述。吴振翔等(2004)运用Archimedean Copula 给出了确定两种外汇最小风险(VaR)投资组合的方法。朱光、陈厚生、李平(2006) 具体地研究了Copula 函数与极大和极小欧式期权价格的关系,并给出了该种期权价格的表达式。邵美琴(2007)运用风险中性定价原理,利用偏微分方程的方法,求出了四类汇率联动期权的定价公式。分析资产价格的“波动率微笑”现象,在资产价格服从跳-扩散模型的基础上,进一步考虑汇率联动期权的定价问题,并得到了期权应满足的积分-微分方程。龚朴,黄荣兵(2008)采用时变条件t-copula模型对我国人民币汇率制度改革前后美元、欧元和日元兑人民币汇率之间的相关性进行了研究,研究表明人民币汇率制度的改革使得美元与欧元兑人民币汇率、美元与日元对人民币汇率之间扭曲的相关性得到了较大程度的矫正,为外汇组合风险的管理提供了参考。
从目前国内外的研究来看,利用Copula函数对交叉货币衍生产品进行定价的研究已经引起国内外研究学者的高度重视与广泛兴趣,并吸引了不少优秀的研究人员加入该领域。国内外学者对Copula连接函数在金融领域的应用研究主要集中于风险管理、投资组合方面,缺乏把Copula函数引进现有资产定价理论的分析,尤其是基于Copula函数基础上的交叉货币衍生产品定价研究。
参考文献
[1]吕晖,李建平.金融衍生工具在企业外汇风险管理中的应用[J].财会研究,2009.
关键词:Copula函数;交叉货币;汇率风险
中图分类号:F832 文献标识码:A 文章编号:1672-3198(2010)02-0050-02
1 Copula相关理论
资产组合尤其是含有不同种类资产的资产组合(股票和外汇),各种金融资产边缘分布函数通常不符合同一类型的分布函数,这种情况使得多元分布函数很难在资产定价理论中得到应用。而通过Copula函数技术可以构造灵活的多元分布函数。
Copula函数是指把多个变量的联合分布与它们的边缘分布连接在一起的函数。如果F1,…,Fd是一元分布函数,ui=Fi(xi),i=1,…,d,则C(F1(x1),…,Fd(xd))是具有边缘分布函数F1,…,Fd的多元分布函数。d维Copula函数C是把多个随机变量ζ1,…,ζd的联合分布与它们各自的边缘分布连接在一起的函数。Copula函数对于构造和模拟多元分布函数具有重要的意义。根据关于Copula函数最重要的Sklar定理:
令F是具有边缘分布函数F1,…,Fd的d维分布函数,若边缘分布函数F1,…,Fd连续,则存在一个唯一满足F(X,…,xd)=C(F1(x1),…,Fd(xd))关系的连接函数C。
对于多元连续分布函数,一元边缘分布函数和多元分布函数相关结构能够被分离,多元变量之间的相关结构可以用适当的Copula函数表示。Copula函数与多元分布函数一样,包含随机变量之间的所有相关信息。
2 选择合适的Copula函数
Copulas函数的类型很多,总体可以分为椭圆类分布函数连接函数和阿基米德连接函数(Archimedean copulas),而每一类又分为许多具体的连接函数。具体在定价理论中,选择哪一种连接函数要考虑到两方面。首先:看这种Copula函数的特征是否与现实金融市场中金融资产收益率之间的相关性相符合。其次;看这种Copula函数在实际应用中的可行性,是否存在计算技术上的难题。
在现实的金融市场中,各种金融资产的收益率并不符合正态分布的假设条件,通常表现为“尖峰”和“厚尾”的特征。与此同时,各种金融资产的收益率之间也不符合多元正态分布的假设,呈现出尾部极值相关性。符合此特征的分布函数主要有t-Copula连接函数和阿基米德连接函数中的Clayton类连接函数。在Clayton类连接函数中,一般的Clayton连接函数只能度量单侧极值相关,只有Joe-Clayton连接函数在分布的上下尾部均具有相关性,而且这种相关性是非对称的。从理论上讲它比t-Copula连接函数更完美。Patton]用Joe-Clayton连接函数对外汇资产风险进行的研究,证明了其良好的特性。但是目前Joe-Clayton连接函数只能是限于二维的情况,在维数增加时,其计算任务是复杂和繁琐的,实际中很难运用。 研究金融资产收益相关性时,t连接函数能够反映尾部相关性,而高斯连接函数不等反映尾部相关性。当自由度v→∞,除非在ρ=1,否则尾部相关系数将变为零,此时,t连接函数与Gauss 连接函数相同。因此,t连接函数比Gauss 连接函数应用更广泛。
3 国外文献综述
国外关于Copula函数在交叉货币衍生产品定价研究中的应用:Wei(1997)对交叉外汇衍生产品进行了综合研究。Matthew Hurd, Mark Salmon, Christoph Schleicher(1998)通过用Copula函数将欧元-英镑和美元-英镑汇率的隐含期权边际分布连接起来,建立两者的风险中性联合分布模型。研究结果表明标准参数的Copula函数,例如常用的正态Copula和Frank Copula,不能通过观察数据得到不对称的程度。他们通过使用一种Bernstein形式的非参数基础函数克服了这个问题,得到一个非常接近的拟合,最后他们将这种方法运用到货币指数期权定价实证研究中。Embrechts(2001)探讨了在金融市场中采用线性相关指标度量相依性有其局限性,使用Copula 函数导出的相依性指标更加符合金融市场的实际。Patton(2001)构造了马克-美元和日元-美元汇率的对数收益的二元Copula 模型,并与相应的BEKK 模型做了比较,结果表明Copula 模型可以更好地描述金融市场间的相关关系。
Lindsog和NcNeil(2003)给出了金融相关的Copulas及相关性概念的测量,着重集中在椭圆的Copulas,Archimedean Copulas和Marshall-Olkin Copulas及保险风险和市场风险(VaR)的运用上面;Ernst Eberlein and Nataliya Koval(2006) 将伦敦银行同业拆息市场模型引入交叉货币衍生产品的定价理论中,详细研究了外汇汇率的上限和下限以及交叉货币互换理论,引用了建立在双边拉普拉斯变换基础上的有效定价算法,并给出了关于欧元-美元交叉货币货币实例进行校正检验。Mark Salmon, Christoph Schleicher(2006)用Copula函数对多变量货币期权进行定价,使用Bernstein Copula函数作为Copula的一种一般的近似过程。Sami Attaoui(2006)以现货而不是远期外汇汇率的动态变化为依据研究概率测度的变化,得到外汇远期伦敦银行同业拆息利率更为丰富的动态变化过程,解决了对伦敦银行同业拆息市场模型中交叉货币衍生产品的定价。
4 国内文献综述
国内关于Copula函数在交叉货币衍生产品定价中的应用:陈松男(2002)对交叉外汇远期合约和期权的定价进行了详细的介绍。张尧庭(2002a),(2002b)从理论上探讨了Copula 在金融上应用的可行性,指出在不确定线性关系能否正确度量相关关系时,采用一种更为灵活稳健的相关性分析工具- Copula 技术来分析变量间的相关结构更为可靠。孙志宾、顾岚(2004)讨论Copula理论中存在的一些问题和未来要解决的问题的一些思想和方法,指出Copula理论在金融中的应用价值。张世英等(2004)研究了Copula -GARCH 模型对波动性的描述。吴振翔等(2004)运用Archimedean Copula 给出了确定两种外汇最小风险(VaR)投资组合的方法。朱光、陈厚生、李平(2006) 具体地研究了Copula 函数与极大和极小欧式期权价格的关系,并给出了该种期权价格的表达式。邵美琴(2007)运用风险中性定价原理,利用偏微分方程的方法,求出了四类汇率联动期权的定价公式。分析资产价格的“波动率微笑”现象,在资产价格服从跳-扩散模型的基础上,进一步考虑汇率联动期权的定价问题,并得到了期权应满足的积分-微分方程。龚朴,黄荣兵(2008)采用时变条件t-copula模型对我国人民币汇率制度改革前后美元、欧元和日元兑人民币汇率之间的相关性进行了研究,研究表明人民币汇率制度的改革使得美元与欧元兑人民币汇率、美元与日元对人民币汇率之间扭曲的相关性得到了较大程度的矫正,为外汇组合风险的管理提供了参考。
从目前国内外的研究来看,利用Copula函数对交叉货币衍生产品进行定价的研究已经引起国内外研究学者的高度重视与广泛兴趣,并吸引了不少优秀的研究人员加入该领域。国内外学者对Copula连接函数在金融领域的应用研究主要集中于风险管理、投资组合方面,缺乏把Copula函数引进现有资产定价理论的分析,尤其是基于Copula函数基础上的交叉货币衍生产品定价研究。
参考文献
[1]吕晖,李建平.金融衍生工具在企业外汇风险管理中的应用[J].财会研究,2009.