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摘 要：近场声全息技术可实现声源的高精度识别定位及声场可视化，在噪声控制领域应用前景广泛。文章在前期论述的傅立叶变换近场声全息技术的基础上，提出了一种基于等效源法的近场声全息技术，可适用于任意形狀的声源识别。首先推导了基于等效源法的近场声全息的原理算法，然后对声场重建计算过程中奇异值积分问题的正则化应用做了简要介绍，最后将这种方法应用到双声道音响的噪声源识别实验中，取得了较好的识别效果，从而验证了基于等效源法的近场声全息技术的有效性和准确性。
关键词：近场声全息;声源识别;等效源法;正则化
中图分类号：TB533.1 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2021）07-0027-03
1 引言
噪声控制最有效直接的途径是在噪声源处降低噪声，因此定位噪声源是降低噪声的前提、关键。近场声全息技术（NAH）[1]是一种先进的噪声源识别技术，它是在测试对象表面获得全息测量数据，然后利用测量面与声场重建面之间的空间变换关系，获得重建声场数据。
近场声全息经过长期的发展，演化成多种算法，如基于空间傅立叶变换法[2]、分布源边界点法[3]、统计最优方法[4]等，基于空间傅立叶变换的近场声全息技术原理简单，计算效率快，由于只能用于规则形状的声源，对于不规则的或者复杂形状的声源，傅立叶变换法受到限制，而后演化发展了一种基于边界元法[5]的近场声全息，该算法虽然可以应用于复杂形状的声源识别，但是需要对不同阶的奇异积分作相应的数值处理，计算效率及声场重建的精度大大降低，声源识别效果较差[6]。基于此，本文提出一种基于等效源法的近场声全息算法，可以有效避免边界元法存在的奇异积分问题，实现任意形状声源的识别定位。
2 基于等效源法的NAH原理
2.1 等效源法的原理
基于等效源法的NAH技术主要原理是将物体振动自身辐射的声场由置于其辐射体内部的一系列等效源产生的声场叠加替换，所等效的源强则由振动体表面相应的法向振速匹配获得，从而实现声场的重建和预测。等效源法是一种声场定解积分方程，区别于边界元法，它是以等效源积分方程为理论依据，等效源法积分方程与常规的Kirchhoff-Helmholtz积分方程是等价的[7]。
如图1所示，等效源积分方程计算的是连续分布的等效源在无限域中的辐射声场，而在实际声场重建中需要计算边界为S0的振动体外部辐射声场，将外部辐射声场与等效源积分方程相联系，进而形成等效源法。
将等效源连续分布于图1所示的振动体内，振动体的边界为S0，且等效源强q（rE）和S0上边界条件匹配一致，即
其中，？籽0表示介质的密度，？棕表示角频率，？棕=2？仔f，p为质点声压，v为质点振速，g（rs，rE）表示等效源强与场点之间的传递函数，一般取为格林函数。
进行数值计算，第一步就要对等效源积分方程进行离散化，等效源面S0离散为N段，从而式（1）和式（2）离散如下：
式中，k为波数，rj和qj分别为第j个等效源的坐标和源强。
该振动体内的辐射声场可由置于其内部的等效源产生的声场代替，而且等效源布置于边界为S0的振动体内，故而rE≠rs，且rE≠r，进而解决了因奇异积分产生的问题。通过式（3）式（4）可得，只要能找到各个等效源所对应的源强，即可计算出声场中任意点处的声压和质点振速。
2.2 等效源位置的选择
采用等效源法，如要提高其计算精度，传递矩阵需要满足两个必需条件[8]：（1）传递矩阵必需满足对角优势。（2）传递矩阵要保证尽量对称。因此，若要满足上述两个条件，一般等效源布置在沿各个声源表面结点处的法向位置，且背离其表面一定的距离d，等效源的数目与声源表面结点的数目相等。
距离d的选择是等效源位置确定的关键。d的选择可以归结到等效源所在半径的选取问题。半径值不同，等效源的位置随之变化。在实际选取中，一般依据不同等效源半径取值时的表面振速插值函数实部的主瓣宽度和旁瓣峰值以及插值函数的虚部大小，主瓣宽度越大，插值函数虚部越小，等效源的位置越优。距离d过大或小过都会加大等效源法的计算误差，当距离d过大时，各等效源排布密集，聚集在一起，进而到表面各点的距离近似相等，导致传递矩阵中各列间线性相关性增强，计算误差大大增加;当距离d过小时，各等效源点距离与其相应的表面各点的长度将很小，进而出现类似边界元法的奇异积分问题。因此，距离d只要在等效源法要求的有效范围内，总体计算误差变化不大。
2.3 基于等效源法的NAH重建公式
基于等效源法的NAH是通过获得声场信息重建声源声源表面的法向振速和声辐射声场。假设全息面上有M个测量点（rhj，j=1，2，…，M），则分别有M个与式（4）相同的方程构成声压方程组。
同理，N个声源表面法向振速方程
其中W（rEi）表示离散后第i个等效源的源强。写成矩阵形式为
Ph=GhpW （7）
式中，Ph是全息面上的M阶声压列向量，Ghp是M×N阶声压传递函数矩阵，Ghp=g（r，rEi）表示全息声压与等效源源强之间的传递关系，W是N阶等效源强度列向量。VS为M阶质点振速列向量，KhS为质点振速传递矩阵，KhS=？塄g（r，rEi）/（i？籽o？棕），表示测量面质点振速与等效源强之间的传递关系。
基于等效源法的NAH第一步需要通过式（7）获得等效源列向量W：
式中，上标“H”表示Hermitian算子。
通过式（9）知，Ghp是M×N阶，且如果M≥N，NAH中向量W的计算是一个计算广义逆的过程，广义逆的计算可以采用奇异值分解的方法，确定各个源强的唯一性。 式中，U，V为列向量相互正交的酉矩阵，即uiHuj =？啄ij，viHvj=？啄ij，？啄ij是Dirac常量。diag表示对角矩阵，？滓i为矩阵奇异值，且满足？滓1≥？滓2≥，…，？滓N>0。
将式（10）代入式（9）可得等效源强列向量
将式（11）代入式（7）可以获得任意场点r处的声压重建公式：
将式（11）代入式（8）可以获得任意场点r处的质点振速重建公式：
式（12）式（13）即为基于等效源法的近场声全息重建公式。
2.4 正则化的应用
基于等效源法的近场声全息包含空间的反向映射过程，这个过程通常是不稳定的。当全息面声压含有测量误差时，奇异值会放大测量误差。而在测量全息声压的过程中，会不可避免地产生传感器幅值误差、定位误差、相位误差等，同时测试环境中存在背景噪声误差，这些误差放大后，将对重建数据产生较大的影响，重建结果将大大失真[9]。
因此，为了抑制测量误差的影响，在基于等效源法的NAH计算过程中，必须采用正則化的方法。一般常用的正则化方法包含两种，一种是直接正则化方法，一种是迭代正则化方法。在基于等效源法的NAH算法中，常用的是直接正则化方法中的Tikhonov[10]正则化。由于奇异值越小，对测量误差的放大作用越强，因此需要通过正则化来控制和滤除奇异值较小的项对重建结果的影响。
4 双声源音响噪声源识别实验
为验证该算法的有效性，将基于等效源法的NAH技术应用到某双声源音响的噪声源识别实验中，如图2所示，实验测试置于背景噪声为18dB的半消声室内，以长体形双通道音箱为目标声源，单频1000Hz，圆弧线阵列半径0.15m，中心角度135°，弧线上均匀分布有7个传声器，声源附近布置一参考传声器。采样频率设定为10240Hz，以长体形双通道音响表面的几何中心为坐标原点，横向为X轴，纵向为Y轴，全息扫描横向长度为0.6m，扫描间隔为0.04m，扫描16次，阵列扫描过程中，参考传声器保持不动，重建柱面半径0.1m，等效源柱面半径为0.05m。
实验测试完毕，对所采集的声压数据进行处理分析，选取1000Hz频带的信号进行分析，建立的等效源面为柱面，全息面声压幅值云图如图3所示，从图中可以明显地看出，扫描面显示的噪声源大致集中在长体形双通道音响的中心，随后运用等效源法的NAH算法对全息面进行声场重建，得出重建面柱面的声场数据，声压幅值云图如图4所示。由图4可以明显地看出，云图中噪声源分别位于x轴（-0.18，-0.12）、（0.12，0.18），而这两个区域也恰好位于双声道音响的两个音源的位置区域，进而有效验证基于等效源的NAH声源识别定位的准确性。
5 结论
基于等效源法的近场声全息算法是一种先进的声源识别技术，它适用于任意形状声场的重建。文章对等效源法的近场声全息算法进行了推导，并对计算过程中出现的奇异积分问题给出了解决办法，即采用正则化技术，最后将这种算法应用到某双声道音响的噪声源识别实验中，将声源面等效成为柱面，成功地识别出音响的两个噪声源，进而有力地验证了等效源法在近场声全息计算中的可靠性，也为实际生产生活中噪声源的识别控制提供有力的理论依据。
参考文献：
〔1〕Williams E G， Maynard J D. Holographic imaging without wavelength resolution limit [J]. Physical Review Letters， 1980. 45： 554-557.
〔2〕Maynard J D，Williams E G， Lee Y Near-field acoustic holography ：I. Theory of generalized holography and development of NAH [J]. J. Acoust. Soc. Am. 1985， 78（04）：1395–1413.
〔3〕毕传兴.基于分布源边界点法的近场声全息理论与实验研究[D].合肥：合肥工业大学，2004.
〔4〕张永斌，毕传兴，张小正.统计最优近场声全息重建精度和计算速度优化方法[J].声学学报，2014， 39（02）：191-198.
〔5〕Veronesi W A，Maynard J D. Digital holography reconstruction of sources with arbitrarily shaped surfaces[J]. Acoust.Soc.Am.1989，85（2）：588-598.
〔6〕毕传兴，陈心昭，周广林，等.分布源边界点在声场全息重建和预测中的应用[J].机械工程学报，2003，39（08）：81-85.
〔7〕陈心昭，毕传兴，等.近场声全息技术及其应用[M].北京：科学出版社，2013.
〔8〕胡定玉，李再帏，方宇.非自由声场中目标声场还原与重建的等效源方法[J].声学学报，2017，42（04）：465-475.
〔9〕于飞.基于波叠加方法的声全息技术与声学灵敏度分析[D].合肥：合肥工业大学，2004.
〔10〕Tikhonov A N. On solving incorrectly posed problems and method of regularization. Dokl. Acad. Nauk. USSR.1963， 151（03）：501-504.
关键词：近场声全息;声源识别;等效源法;正则化
中图分类号：TB533.1 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2021）07-0027-03
1 引言
噪声控制最有效直接的途径是在噪声源处降低噪声，因此定位噪声源是降低噪声的前提、关键。近场声全息技术（NAH）[1]是一种先进的噪声源识别技术，它是在测试对象表面获得全息测量数据，然后利用测量面与声场重建面之间的空间变换关系，获得重建声场数据。
近场声全息经过长期的发展，演化成多种算法，如基于空间傅立叶变换法[2]、分布源边界点法[3]、统计最优方法[4]等，基于空间傅立叶变换的近场声全息技术原理简单，计算效率快，由于只能用于规则形状的声源，对于不规则的或者复杂形状的声源，傅立叶变换法受到限制，而后演化发展了一种基于边界元法[5]的近场声全息，该算法虽然可以应用于复杂形状的声源识别，但是需要对不同阶的奇异积分作相应的数值处理，计算效率及声场重建的精度大大降低，声源识别效果较差[6]。基于此，本文提出一种基于等效源法的近场声全息算法，可以有效避免边界元法存在的奇异积分问题，实现任意形状声源的识别定位。
2 基于等效源法的NAH原理
2.1 等效源法的原理
基于等效源法的NAH技术主要原理是将物体振动自身辐射的声场由置于其辐射体内部的一系列等效源产生的声场叠加替换，所等效的源强则由振动体表面相应的法向振速匹配获得，从而实现声场的重建和预测。等效源法是一种声场定解积分方程，区别于边界元法，它是以等效源积分方程为理论依据，等效源法积分方程与常规的Kirchhoff-Helmholtz积分方程是等价的[7]。
如图1所示，等效源积分方程计算的是连续分布的等效源在无限域中的辐射声场，而在实际声场重建中需要计算边界为S0的振动体外部辐射声场，将外部辐射声场与等效源积分方程相联系，进而形成等效源法。
将等效源连续分布于图1所示的振动体内，振动体的边界为S0，且等效源强q（rE）和S0上边界条件匹配一致，即
其中，？籽0表示介质的密度，？棕表示角频率，？棕=2？仔f，p为质点声压，v为质点振速，g（rs，rE）表示等效源强与场点之间的传递函数，一般取为格林函数。
进行数值计算，第一步就要对等效源积分方程进行离散化，等效源面S0离散为N段，从而式（1）和式（2）离散如下：
式中，k为波数，rj和qj分别为第j个等效源的坐标和源强。
该振动体内的辐射声场可由置于其内部的等效源产生的声场代替，而且等效源布置于边界为S0的振动体内，故而rE≠rs，且rE≠r，进而解决了因奇异积分产生的问题。通过式（3）式（4）可得，只要能找到各个等效源所对应的源强，即可计算出声场中任意点处的声压和质点振速。
2.2 等效源位置的选择
采用等效源法，如要提高其计算精度，传递矩阵需要满足两个必需条件[8]：（1）传递矩阵必需满足对角优势。（2）传递矩阵要保证尽量对称。因此，若要满足上述两个条件，一般等效源布置在沿各个声源表面结点处的法向位置，且背离其表面一定的距离d，等效源的数目与声源表面结点的数目相等。
距离d的选择是等效源位置确定的关键。d的选择可以归结到等效源所在半径的选取问题。半径值不同，等效源的位置随之变化。在实际选取中，一般依据不同等效源半径取值时的表面振速插值函数实部的主瓣宽度和旁瓣峰值以及插值函数的虚部大小，主瓣宽度越大，插值函数虚部越小，等效源的位置越优。距离d过大或小过都会加大等效源法的计算误差，当距离d过大时，各等效源排布密集，聚集在一起，进而到表面各点的距离近似相等，导致传递矩阵中各列间线性相关性增强，计算误差大大增加;当距离d过小时，各等效源点距离与其相应的表面各点的长度将很小，进而出现类似边界元法的奇异积分问题。因此，距离d只要在等效源法要求的有效范围内，总体计算误差变化不大。
2.3 基于等效源法的NAH重建公式
基于等效源法的NAH是通过获得声场信息重建声源声源表面的法向振速和声辐射声场。假设全息面上有M个测量点（rhj，j=1，2，…，M），则分别有M个与式（4）相同的方程构成声压方程组。
同理，N个声源表面法向振速方程
其中W（rEi）表示离散后第i个等效源的源强。写成矩阵形式为
Ph=GhpW （7）
式中，Ph是全息面上的M阶声压列向量，Ghp是M×N阶声压传递函数矩阵，Ghp=g（r，rEi）表示全息声压与等效源源强之间的传递关系，W是N阶等效源强度列向量。VS为M阶质点振速列向量，KhS为质点振速传递矩阵，KhS=？塄g（r，rEi）/（i？籽o？棕），表示测量面质点振速与等效源强之间的传递关系。
基于等效源法的NAH第一步需要通过式（7）获得等效源列向量W：
式中，上标“H”表示Hermitian算子。
通过式（9）知，Ghp是M×N阶，且如果M≥N，NAH中向量W的计算是一个计算广义逆的过程，广义逆的计算可以采用奇异值分解的方法，确定各个源强的唯一性。 式中，U，V为列向量相互正交的酉矩阵，即uiHuj =？啄ij，viHvj=？啄ij，？啄ij是Dirac常量。diag表示对角矩阵，？滓i为矩阵奇异值，且满足？滓1≥？滓2≥，…，？滓N>0。
将式（10）代入式（9）可得等效源强列向量
将式（11）代入式（7）可以获得任意场点r处的声压重建公式：
将式（11）代入式（8）可以获得任意场点r处的质点振速重建公式：
式（12）式（13）即为基于等效源法的近场声全息重建公式。
2.4 正则化的应用
基于等效源法的近场声全息包含空间的反向映射过程，这个过程通常是不稳定的。当全息面声压含有测量误差时，奇异值会放大测量误差。而在测量全息声压的过程中，会不可避免地产生传感器幅值误差、定位误差、相位误差等，同时测试环境中存在背景噪声误差，这些误差放大后，将对重建数据产生较大的影响，重建结果将大大失真[9]。
因此，为了抑制测量误差的影响，在基于等效源法的NAH计算过程中，必须采用正則化的方法。一般常用的正则化方法包含两种，一种是直接正则化方法，一种是迭代正则化方法。在基于等效源法的NAH算法中，常用的是直接正则化方法中的Tikhonov[10]正则化。由于奇异值越小，对测量误差的放大作用越强，因此需要通过正则化来控制和滤除奇异值较小的项对重建结果的影响。
4 双声源音响噪声源识别实验
为验证该算法的有效性，将基于等效源法的NAH技术应用到某双声源音响的噪声源识别实验中，如图2所示，实验测试置于背景噪声为18dB的半消声室内，以长体形双通道音箱为目标声源，单频1000Hz，圆弧线阵列半径0.15m，中心角度135°，弧线上均匀分布有7个传声器，声源附近布置一参考传声器。采样频率设定为10240Hz，以长体形双通道音响表面的几何中心为坐标原点，横向为X轴，纵向为Y轴，全息扫描横向长度为0.6m，扫描间隔为0.04m，扫描16次，阵列扫描过程中，参考传声器保持不动，重建柱面半径0.1m，等效源柱面半径为0.05m。
实验测试完毕，对所采集的声压数据进行处理分析，选取1000Hz频带的信号进行分析，建立的等效源面为柱面，全息面声压幅值云图如图3所示，从图中可以明显地看出，扫描面显示的噪声源大致集中在长体形双通道音响的中心，随后运用等效源法的NAH算法对全息面进行声场重建，得出重建面柱面的声场数据，声压幅值云图如图4所示。由图4可以明显地看出，云图中噪声源分别位于x轴（-0.18，-0.12）、（0.12，0.18），而这两个区域也恰好位于双声道音响的两个音源的位置区域，进而有效验证基于等效源的NAH声源识别定位的准确性。
5 结论
基于等效源法的近场声全息算法是一种先进的声源识别技术，它适用于任意形状声场的重建。文章对等效源法的近场声全息算法进行了推导，并对计算过程中出现的奇异积分问题给出了解决办法，即采用正则化技术，最后将这种算法应用到某双声道音响的噪声源识别实验中，将声源面等效成为柱面，成功地识别出音响的两个噪声源，进而有力地验证了等效源法在近场声全息计算中的可靠性，也为实际生产生活中噪声源的识别控制提供有力的理论依据。
参考文献：
〔1〕Williams E G， Maynard J D. Holographic imaging without wavelength resolution limit [J]. Physical Review Letters， 1980. 45： 554-557.
〔2〕Maynard J D，Williams E G， Lee Y Near-field acoustic holography ：I. Theory of generalized holography and development of NAH [J]. J. Acoust. Soc. Am. 1985， 78（04）：1395–1413.
〔3〕毕传兴.基于分布源边界点法的近场声全息理论与实验研究[D].合肥：合肥工业大学，2004.
〔4〕张永斌，毕传兴，张小正.统计最优近场声全息重建精度和计算速度优化方法[J].声学学报，2014， 39（02）：191-198.
〔5〕Veronesi W A，Maynard J D. Digital holography reconstruction of sources with arbitrarily shaped surfaces[J]. Acoust.Soc.Am.1989，85（2）：588-598.
〔6〕毕传兴，陈心昭，周广林，等.分布源边界点在声场全息重建和预测中的应用[J].机械工程学报，2003，39（08）：81-85.
〔7〕陈心昭，毕传兴，等.近场声全息技术及其应用[M].北京：科学出版社，2013.
〔8〕胡定玉，李再帏，方宇.非自由声场中目标声场还原与重建的等效源方法[J].声学学报，2017，42（04）：465-475.
〔9〕于飞.基于波叠加方法的声全息技术与声学灵敏度分析[D].合肥：合肥工业大学，2004.
〔10〕Tikhonov A N. On solving incorrectly posed problems and method of regularization. Dokl. Acad. Nauk. USSR.1963， 151（03）：501-504.