论文部分内容阅读
在解答有关不等式的题目时,不等式的性质使用可谓环环相扣,只要有某一点照顾不到,就会使结果解答不完整甚至是大错特错,现将几点易错之处列举如下,以供同学们使用时参考.
易错点1 性质使用不当出错
典例1 如果1a<1b<0,则下列不等式:①a+bb,③ab2中,正确的不等式有个.
错因分析:在一个不等式两端同时乘以一个数或是式子时,如果是负值,就要改变不等号的方向,这是最易出错之处.
正确解析:由1a<1b<0a<0,b<0ab>0,在不等式两边同乘以ab,得ba,则原式不成立;③显然不成立;④ba>0b2>a2,可知原式不成立.所以正确的不等式只有1个.
总结提炼:在使用不等式的性质进行推理论证时一定要准确,特别是在不等式两端同时乘以或除以一个数式、两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时,如果忽视了不等式成立的前提条件就会出现错误.
易错点2 忽视应用条件出错
典例2 求函数y=x+1x-3(x≠3)的值域.
错因分析:应用均值不等式a+b2≥ab时,易忽视a、b同为非负数这一条件而出错.由y=x+1x-3=x-3+1x-3+3≥2(x-3)•1(x-3)+3=5,得出y∈[5,+∞)这一错误结论.
正确解析:当x>3时,x-3>0,则y=x-3+1x-3+3≥2(x-3)•1(x-3)+3=5.当且仅当x-3=1x-3即x=4时等号成立.当x<3时,x-3<0,即3-x>0,则y=-(3-x+13-x)+3≤-2(3-x)•1(3-x)+3=1.当且仅当3-x=13-x即x=2时等号成立.因此y∈(-∞,1]∪[5,+∞).
总结提炼:利用均值不等式a+b≥2ab,及其变式ab≤(a+b2)2求函数最值时,务必注意该式子要成立,只有“一正、二定、三相等”这三个条件同时成立才可以使用.本题中的函数是形如y=ax+bx(a>0,b>0)的特殊形式,在应用均值不等式求函数最值时,一定要注意ax,bx的符号,必要时要进行分类讨论.
易错点3 分类讨论不当出错
典例3解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0.
错因分析:解本题容易出现的错误是,①认定这个不等式是二次不等式,忽视了对a=0时的讨论;②在不等式两边约掉a时,易忽视a<0时,不等号方向要改变;③易忽视对根的大小讨论,特别是等根的讨论;④分类讨论后对结论不进行整合,这几点有一个地方出错,都会导致结果错误或是解题不完善.
正确解析:若a=0时,不等式解集为{x|x<2};若a≠0时,原不等式可化为(x-2)(ax-2)>0,方程(x-2)(ax-2)=0的两根为x1=2,x2=2a,当a>1时,有2>2a,则原不等式的解集为{x|x<2a,或x>2};当a=1时,有2=2a,则原不等式的解集为{x|x≠2};当0<a<1时,有2<2a,则原不等式的解集为{x|x<2或x>2a;当a<0时,有2>2a,则原不等式解集为x2a 总结提炼:解形如ax2+bx+c>0(或<0)的不等式时,首先要考虑对二次项系数进行分类讨论.当a=0时,这个不等式是一次不等式,解答时还要对b、c进一步分类讨论;当a≠0且Δ>0时,不等式可化为a(x-x1)(x-x2)>0(或<0),若能明确x1与x2的大小关系,则易得其解,若x1与x2的大小不明确,其中含有参数,则要对参数分类讨论,确定x1与x2的大小关系后,可得原不等式的解集;当a≠0且Δ<0时,原不等式即为恒成立x∈R(或原不等式解集为).
易错点4 同解变形出错
典例4 解关于x的不等式ax+a2≥bx+b2(a,b∈R).
错因分析:将一次不等式中x的系数化为1时,忽视系数的符号而出现下面的错误:由(a-b)x≥(b2-a2)=(b+a)(b-a),x≥b2-a2a-b=-a-b,错误地得出解集是[-a-b,+∞).
正确解析:不等式可化为(a-b)x≥(b2-a2)=(b+a)(b-a).①当a>b时x≥b2-a2a-b=-a-b,原不等式的解集为[-a-b,+∞);②当a=b时,x∈R,即原不等式的解集为R;③当a 总结提炼:解一元一次不等式的一般步骤是:去括号、移项、合并、化系数为1.去分母、去括号时不要漏乘;移项时注意变号;化系数为1时,如果系数是含字母的式子,要分类讨论,应特别注意系数为负数或为零时的情况.
(作者:王海燕,甘肃省临泽县第一中学)
易错点1 性质使用不当出错
典例1 如果1a<1b<0,则下列不等式:①a+b
错因分析:在一个不等式两端同时乘以一个数或是式子时,如果是负值,就要改变不等号的方向,这是最易出错之处.
正确解析:由1a<1b<0a<0,b<0ab>0,在不等式两边同乘以ab,得b
总结提炼:在使用不等式的性质进行推理论证时一定要准确,特别是在不等式两端同时乘以或除以一个数式、两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时,如果忽视了不等式成立的前提条件就会出现错误.
易错点2 忽视应用条件出错
典例2 求函数y=x+1x-3(x≠3)的值域.
错因分析:应用均值不等式a+b2≥ab时,易忽视a、b同为非负数这一条件而出错.由y=x+1x-3=x-3+1x-3+3≥2(x-3)•1(x-3)+3=5,得出y∈[5,+∞)这一错误结论.
正确解析:当x>3时,x-3>0,则y=x-3+1x-3+3≥2(x-3)•1(x-3)+3=5.当且仅当x-3=1x-3即x=4时等号成立.当x<3时,x-3<0,即3-x>0,则y=-(3-x+13-x)+3≤-2(3-x)•1(3-x)+3=1.当且仅当3-x=13-x即x=2时等号成立.因此y∈(-∞,1]∪[5,+∞).
总结提炼:利用均值不等式a+b≥2ab,及其变式ab≤(a+b2)2求函数最值时,务必注意该式子要成立,只有“一正、二定、三相等”这三个条件同时成立才可以使用.本题中的函数是形如y=ax+bx(a>0,b>0)的特殊形式,在应用均值不等式求函数最值时,一定要注意ax,bx的符号,必要时要进行分类讨论.
易错点3 分类讨论不当出错
典例3解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0.
错因分析:解本题容易出现的错误是,①认定这个不等式是二次不等式,忽视了对a=0时的讨论;②在不等式两边约掉a时,易忽视a<0时,不等号方向要改变;③易忽视对根的大小讨论,特别是等根的讨论;④分类讨论后对结论不进行整合,这几点有一个地方出错,都会导致结果错误或是解题不完善.
正确解析:若a=0时,不等式解集为{x|x<2};若a≠0时,原不等式可化为(x-2)(ax-2)>0,方程(x-2)(ax-2)=0的两根为x1=2,x2=2a,当a>1时,有2>2a,则原不等式的解集为{x|x<2a,或x>2};当a=1时,有2=2a,则原不等式的解集为{x|x≠2};当0<a<1时,有2<2a,则原不等式的解集为{x|x<2或x>2a;当a<0时,有2>2a,则原不等式解集为x2a
易错点4 同解变形出错
典例4 解关于x的不等式ax+a2≥bx+b2(a,b∈R).
错因分析:将一次不等式中x的系数化为1时,忽视系数的符号而出现下面的错误:由(a-b)x≥(b2-a2)=(b+a)(b-a),x≥b2-a2a-b=-a-b,错误地得出解集是[-a-b,+∞).
正确解析:不等式可化为(a-b)x≥(b2-a2)=(b+a)(b-a).①当a>b时x≥b2-a2a-b=-a-b,原不等式的解集为[-a-b,+∞);②当a=b时,x∈R,即原不等式的解集为R;③当a
(作者:王海燕,甘肃省临泽县第一中学)