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主讲：沈新权
浙江省数学特级教师，浙江省数学会理事
我们不必诧异，世界是时间的函数
被列宁称为“辩证法的奠基人之一”的古希腊唯物主义哲学家赫拉克利特曾说过一句名言：“人不能两次走进同一条河流。”我们都知道，这是说河里的水是随着时间的流逝而不断流动的，你这次踏进河时，水流动着，你下次踏进河时，流过的水又和上次的水不同了。河水奔流不息，所以你不能两次踏进同一条河流。
是的，不仅我们头顶的天空是随着时间的变化在不断地运动的，而且我们脚下的大地也是不断运动的。比如地震的发生、泥石流的狂奔、火山的喷发、冰川的移动，这些是大地运动的局部现象，而根据板块构造学说，大地自身也像水面上的船只那样在慢慢地漂移着！无论是河流、天空还是大地，它们的运动都是随着时间的变化而变化的，时间是最原始的自行变化的量，世界上的其他量则都是它的因变量。
1775年，欧拉在《微分学原理》一书的前言中有过这样一段话：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。”按照这样的说法，我们有理由认为，世界是时间的函数！
我们有必要知道，函数概念的发展历程
■函数概念产生的历史背景
函数的概念起源于对物体运动的研究。16、17世纪，欧洲国家进入资本主义扩张阶段，迫切需要发展航海和军火工业。要发展航海业，就要能确定船只在大海中的位置和在地球上的经纬度；要发展军火工业，就要知道如何使炮弹的落点准确无误。这些促使人们对各种运动进行研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这种研究为函数概念的产生奠定了基础。
■函数概念的萌芽：以“变量”为基础
函数思想的萌芽始于伽利略和笛卡儿的想法。在伽利略的著作《两门新科学》中，几乎从头到尾都在论述变量的关系。1673年前后，笛卡儿已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，他在指出y和ｘ是变量（未知量和未定的量）的时候，也注意到y依赖于ｘ的变化。这两位科学家的想法正是朴素的函数概念的萌芽，但是他们都没有使用“函数”这个词。
最早把“函数”这个词当做数学术语来使用的应该是莱布尼茨，但莱布尼茨所定义的“函数”的含义和现在的不同，他所指的“函数”是指与曲线上的点相关的一些线段的长度，如横坐标、纵坐标、弦、切线、法线等。在我国，“函数”一词是清代数学家李善兰在其译作《代微积拾级》中首先使用的。在书中函数被定义为：“凡此变数中含彼变数，则此为彼之函数。”这里的“函”是包含的意思。
1718年，约翰·伯努利给出函数的一个定义，他写道：“变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量。”
18世纪中叶，欧拉给出了非常形象的、一直沿用至今的函数符号ｆ（ｘ），他先后给出函数的三种定义：
①将函数定义为“解析表达式”：变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的。
②将函数定义为“由曲线确定的关系”：在ｘOｙ平面上徒手画出来的曲线所表示的y与ｘ之间的关系。
③将函数定义为“变量之间的依赖变化”：如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则前面的变量称为后面变量的函数。
用现代的眼光去看，这三种定义都是建立在以变量为基础之上的，都有一定的局限性。首先，许多函数，例如狄利克雷函数（当x为有理数时，y=1；当x为无理数时，y=0），是没有“解析表达式”的；其次，对于更多的函数，我们不仅无法徒手画出它的“曲线”，而且也不一定能用曲线来表达它；第三，常数函数并不随变量ｘ的变化而变化。但不管怎样，欧拉给出的函数定义对后世的影响很大。
■函数概念的发展：以“对应”为基础
欧拉对函数的定义朴素地反映了函数中的辩证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程，但未提到两个变量之间的对应关系，因此它只是现代意义的函数的“雏形”。
正因为以变量为基础的函数概念存在局限性，所以数学家们一直致力于完善函数的定义。1822年，傅里叶发现某些函数既可用曲线表示，也可用一个式子或多个式子表示，从而结束了函数是否以唯一一个式子表示的争论，对函数与其解析表达式的关系的认识由此到达了一个新的层次。1823年，柯西首先提出了“自变量”这个概念，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示。突破这一局限的是杰出的数学家狄利克雷。
1837年，狄利克雷认为怎样去建立ｘ与ｙ之间的关系无关紧要，他拓广了函数的概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的ｘ值，ｙ都有一个或多个确定的值，那么ｙ叫做ｘ的函数。”狄利克雷给出的函数定义，出色地避免了以往函数定义中函数与“变量”“解析表达式”“曲线”关系的描述，简明精确，为所有数学家无条件地接受。到这时，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的以“对应”为基础的经典函数定义。
■函数概念的完善：以“集合”为基础
20世纪初，美国数学家维布伦给出了函数的如下定义：设A，B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，y叫做函数值。维布伦通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了变量是数的局限。在这里，变量可以是数，也可以是其他对象，如点、线、面、体、向量、矩阵等。比如，A是所有三角形的集合， B是所有圆的集合，则 f 可以是每一个三角形对应它的外接圆的映射。因此，函数是一个对应（规则），对于某一范围（集合）的元素，按照这个对应（规则）确定另一个元素。这样，函数概念从狭义的“变量变化”观点转化到较广义的集合下的“对应”观点，从而使函数的概念更为清晰，函数的应用范围更为广泛。
至此，函数作为数学中最基本的概念之一，把基础直接建立在了集合上面。伴随着集合论的发展，函数的概念也取得了新的进展，它终于摆脱了数域的束缚，迈向了更广阔的领域。
我们有理由相信，函数概念还会与时俱进
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，从变量、对应、集合的角度被不断赋予新的内涵和外延，最终形成了函数的现代定义形式。这不仅丰富了数学发展史，更重要的是推动了整个数学学科的发展。但这并不意味着函数概念已经尽善尽美，已经完成了其发展的使命。20世纪40年代，由于物理学研究的需要，一种叫做狄拉克δ的函数产生了。它又称单位脉冲函数，在除了零以外的点都等于0，而在整个定义域上的积分等于1。这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，只有零点的值不为0的函数的积分怎么会等于1？从这里可以看出，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念也一定会与时俱进。
浙江省数学特级教师，浙江省数学会理事
我们不必诧异，世界是时间的函数
被列宁称为“辩证法的奠基人之一”的古希腊唯物主义哲学家赫拉克利特曾说过一句名言：“人不能两次走进同一条河流。”我们都知道，这是说河里的水是随着时间的流逝而不断流动的，你这次踏进河时，水流动着，你下次踏进河时，流过的水又和上次的水不同了。河水奔流不息，所以你不能两次踏进同一条河流。
是的，不仅我们头顶的天空是随着时间的变化在不断地运动的，而且我们脚下的大地也是不断运动的。比如地震的发生、泥石流的狂奔、火山的喷发、冰川的移动，这些是大地运动的局部现象，而根据板块构造学说，大地自身也像水面上的船只那样在慢慢地漂移着！无论是河流、天空还是大地，它们的运动都是随着时间的变化而变化的，时间是最原始的自行变化的量，世界上的其他量则都是它的因变量。
1775年，欧拉在《微分学原理》一书的前言中有过这样一段话：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。”按照这样的说法，我们有理由认为，世界是时间的函数！
我们有必要知道，函数概念的发展历程
■函数概念产生的历史背景
函数的概念起源于对物体运动的研究。16、17世纪，欧洲国家进入资本主义扩张阶段，迫切需要发展航海和军火工业。要发展航海业，就要能确定船只在大海中的位置和在地球上的经纬度；要发展军火工业，就要知道如何使炮弹的落点准确无误。这些促使人们对各种运动进行研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这种研究为函数概念的产生奠定了基础。
■函数概念的萌芽：以“变量”为基础
函数思想的萌芽始于伽利略和笛卡儿的想法。在伽利略的著作《两门新科学》中，几乎从头到尾都在论述变量的关系。1673年前后，笛卡儿已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，他在指出y和ｘ是变量（未知量和未定的量）的时候，也注意到y依赖于ｘ的变化。这两位科学家的想法正是朴素的函数概念的萌芽，但是他们都没有使用“函数”这个词。
最早把“函数”这个词当做数学术语来使用的应该是莱布尼茨，但莱布尼茨所定义的“函数”的含义和现在的不同，他所指的“函数”是指与曲线上的点相关的一些线段的长度，如横坐标、纵坐标、弦、切线、法线等。在我国，“函数”一词是清代数学家李善兰在其译作《代微积拾级》中首先使用的。在书中函数被定义为：“凡此变数中含彼变数，则此为彼之函数。”这里的“函”是包含的意思。
1718年，约翰·伯努利给出函数的一个定义，他写道：“变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量。”
18世纪中叶，欧拉给出了非常形象的、一直沿用至今的函数符号ｆ（ｘ），他先后给出函数的三种定义：
①将函数定义为“解析表达式”：变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的。
②将函数定义为“由曲线确定的关系”：在ｘOｙ平面上徒手画出来的曲线所表示的y与ｘ之间的关系。
③将函数定义为“变量之间的依赖变化”：如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则前面的变量称为后面变量的函数。
用现代的眼光去看，这三种定义都是建立在以变量为基础之上的，都有一定的局限性。首先，许多函数，例如狄利克雷函数（当x为有理数时，y=1；当x为无理数时，y=0），是没有“解析表达式”的；其次，对于更多的函数，我们不仅无法徒手画出它的“曲线”，而且也不一定能用曲线来表达它；第三，常数函数并不随变量ｘ的变化而变化。但不管怎样，欧拉给出的函数定义对后世的影响很大。
■函数概念的发展：以“对应”为基础
欧拉对函数的定义朴素地反映了函数中的辩证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程，但未提到两个变量之间的对应关系，因此它只是现代意义的函数的“雏形”。
正因为以变量为基础的函数概念存在局限性，所以数学家们一直致力于完善函数的定义。1822年，傅里叶发现某些函数既可用曲线表示，也可用一个式子或多个式子表示，从而结束了函数是否以唯一一个式子表示的争论，对函数与其解析表达式的关系的认识由此到达了一个新的层次。1823年，柯西首先提出了“自变量”这个概念，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示。突破这一局限的是杰出的数学家狄利克雷。
1837年，狄利克雷认为怎样去建立ｘ与ｙ之间的关系无关紧要，他拓广了函数的概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的ｘ值，ｙ都有一个或多个确定的值，那么ｙ叫做ｘ的函数。”狄利克雷给出的函数定义，出色地避免了以往函数定义中函数与“变量”“解析表达式”“曲线”关系的描述，简明精确，为所有数学家无条件地接受。到这时，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的以“对应”为基础的经典函数定义。
■函数概念的完善：以“集合”为基础
20世纪初，美国数学家维布伦给出了函数的如下定义：设A，B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，y叫做函数值。维布伦通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了变量是数的局限。在这里，变量可以是数，也可以是其他对象，如点、线、面、体、向量、矩阵等。比如，A是所有三角形的集合， B是所有圆的集合，则 f 可以是每一个三角形对应它的外接圆的映射。因此，函数是一个对应（规则），对于某一范围（集合）的元素，按照这个对应（规则）确定另一个元素。这样，函数概念从狭义的“变量变化”观点转化到较广义的集合下的“对应”观点，从而使函数的概念更为清晰，函数的应用范围更为广泛。
至此，函数作为数学中最基本的概念之一，把基础直接建立在了集合上面。伴随着集合论的发展，函数的概念也取得了新的进展，它终于摆脱了数域的束缚，迈向了更广阔的领域。
我们有理由相信，函数概念还会与时俱进
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，从变量、对应、集合的角度被不断赋予新的内涵和外延，最终形成了函数的现代定义形式。这不仅丰富了数学发展史，更重要的是推动了整个数学学科的发展。但这并不意味着函数概念已经尽善尽美，已经完成了其发展的使命。20世纪40年代，由于物理学研究的需要，一种叫做狄拉克δ的函数产生了。它又称单位脉冲函数，在除了零以外的点都等于0，而在整个定义域上的积分等于1。这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，只有零点的值不为0的函数的积分怎么会等于1？从这里可以看出，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念也一定会与时俱进。