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摘要：数学教学离不开例题的教学，但在教学实践中，就题论题的现象仍普遍存在，笔者以一个例题教学案例的改进过程为切入点，提出数学例题教学中值得关注的几个问题。
关键词：数学 例题 教学
数学教学中，经常通过例题教学让学生学习运用学过的知识解决问题，以提高学生的解题能力。但在教学实践中，很多教师有这样的感受，讲课的时候学生听得明明白白，一旦学生独立做题又不知从何处入手。不久前学校开展教研活动，研讨了一节例题教学课，感觉有益于解决上述困惑，于是把所见所为所思记录下来，以供参考。
一、原例题教学过程简述
本节课是教学y=ax2型二次函数的图像和性质后，教师自己选编的内容，主要是关于抛物线型实物的应用题，属于近年来各级各类考试的热点题型。首先，教师以提问的形式带领学生复习了y=ax2型二次函数的图像和性质，随后出示例题：
有一抛物线型拱桥，桥顶O离水面AB高4米时，水面宽度AB为10米，如上图建立了直角坐标系。
（1）若水面上涨了0.76米，此时水面CD宽度为多少米？
（2）水面上涨后，有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过，已知货箱长8米，宽4米，高2.5米（竹排与水面持平），问该货箱能否顺利通过该桥？
第（1）题是通过教师提出的三个问题解决的：
问题1：根据题意，点A、B的坐标是什么？
学生回答：点A的坐标是（-5，-4），点B的坐标是（5，-4）。
问题2：怎样求出拱桥所在抛物线的关系式？
学生较容易地用待定系数法求得y=-4/25x2。
问题3：怎样运用抛物线的关系式求出点C、D的坐标？
学生求出两点坐标分别为（-4.5，-3.24），（4.5，-3.24），进而求得CD=9米。
第（2）题则由教师在黑板上画图演示，说明当货箱恰好在拱桥下面正中间时，货箱宽被y轴平分，过水面CD上距y轴2米处的点作CD的垂线，只需求出这条垂线与抛物线的交点到水面CD的距离，再与2.5米相比较即可。讲解思路清楚，学生接受也无障碍。例题讲完后，完整的解题过程便呈现在黑板上。然后又出示了一个类似的题目进行巩固训练，看到学生面露难色，教师又像例题一样进行了讲解。
下课后，授课教师不好意思地说，学生基础太差，练习题跟例题差不多，可还是有困难。于是我们利用课间进行了研究，对内容和过程做了一些调整，隔一节课，在另一个班再次进行了这个例题的教学。
二、改进后教学简述
首先提出一个“引例”：
如图，已知抛物线y=ax2经过点A（2，2），B（-1，a），C（b，2.5），试求这三点到x轴和y轴的距离。解完此题后你有哪些方法值得总结？
学生比较容易解答，并且主要总结到：（1）抛物线的顶点在原点时，已知一点坐标即可以求出关系式；（2）由已知抛物线上点的横坐标可以求出纵坐标，由纵坐标也可以求出横坐标；（3）由点的坐标可以求出点到坐标轴的距离。教师予以肯定。
在此基础上出示原来设计的例题，开始学生也是眉头紧锁，陷入沉思，但是经过一会儿便有许多人脸上露出了笑容。第一小题比较顺利地由学生说出思路，老师只是规范一下解题格式。第二小题显然学生还有一定难度，教师引导：可以先画出货箱经过拱桥时的示意图，请思考货箱能否通过，主要取决于哪些量？如何求出呢？引发了学生热烈的讨论，不久学生们自己找到了解决问题的办法。
解题后教师又问：通过这个问题，我们又应该总结哪些方法呢？待学生纷纷回答后教师作结：有关抛物线型实物的实际问题，要善于把已知条件中的距离转化为直角坐标系中有关点的坐标，把求距离的问题也转化为求点的坐标，运用二次函数的图像和性质求解。
接下来仍然是练习巩固，所选习题不变，只是允许同座间互相交流，同学中出现了小声议论的现象，教师对有困难的同学个别指导。
三、几点思考
这节课下来，这位老师比较满意，但还有些疑惑，为什么内容大体相当，而效果迥异呢？我们一起进行了总结与反思。
1. 例题教学要找到学生的最近发展区，搭好教学“脚手架”。
“最近发展区理论”认为学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，另一种是学生可能的发展水平，两者之间的差距就是最近发展区。改进前的教学设计就是这个“差距”过大，使学生面对问题无从下手，只好老师亲自出马；改进后所设计的“引例”与学生的原有水平之间、例题与“引例”之间的差距更切合学生的实际，跳一跳能够得着，起到了教学“脚手架”的作用。奥苏伯尔有句名言：“如果我不得不把全部教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习唯一的最重要的因素是学习者已经知道了什么。”并且指出，要“根据学生原有知识进行教学”。他倡导在学习新知识之前，应首先为学生设计一个能把握所授知识的本质，对新知识具有引导性、起同化作用的知识结构——组织者，并将其内化为学生的认知结构。本课对“引例”的解答与总结，便是学生认知结构中新知识的固着点，为完成例题，实现知识的迁移做好了准备。
2. 例题教学的过程应该成为学生知识建构的过程。
建构主义教学观认为，教学的最核心的任务不是如何把现成的知识传授给学生，而是如何激发出学生原有的相关知识经验，促进知识经验的“生长”，促进学生的知识建构活动。数学课程标准也指出，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。本节原设计虽然提出了几个问题，看似学生解答了题目，实则讲授与灌输，学生对为什么要解答这几个问题缺乏理性思考，也难怪学生练习时不知所措。改进后通过合作、探究得出结论，增加了学生的思维含量，使其经历了思维过程，由机械学习变成了理解学习，即有意义的学习。
3. 例题教学要善于归纳思想方法。
思想方法是数学的精髓，从例题中提炼思想方法是例题教学的一项重要目标，也是数学教学要达到的一种境界。抽象、概括乃至创新能力都可从中得到培养。 但教学中就题论题现象仍很普遍，在这种情况下学生也不得不去记忆与模仿，例题教学很难达到举一反三、触类旁通的作用。本课改进后注重了方法的归纳，学生也感到数学方法是学得到、用得上的，使单纯的解题过程升华为方法的习得。
4. 数学教师要善于进行自我反思。
为了不断改进教学方法，教师在课后进行自我反思是非常必要的，要经常回过头来审视教学过程是否符合学生的认知规律，把握住问题的关键加以解决。在本课研究过程中教师开始把问题归结为学生基础差，就没有抓住矛盾的主要方面，这种倾向在教学实践中也不是个别的，如果我们数学教师真正认识到教学中的问题，首先应从反省自己开始，那么方法的改进、质量的提高就为时不远了。
关键词：数学 例题 教学
数学教学中，经常通过例题教学让学生学习运用学过的知识解决问题，以提高学生的解题能力。但在教学实践中，很多教师有这样的感受，讲课的时候学生听得明明白白，一旦学生独立做题又不知从何处入手。不久前学校开展教研活动，研讨了一节例题教学课，感觉有益于解决上述困惑，于是把所见所为所思记录下来，以供参考。
一、原例题教学过程简述
本节课是教学y=ax2型二次函数的图像和性质后，教师自己选编的内容，主要是关于抛物线型实物的应用题，属于近年来各级各类考试的热点题型。首先，教师以提问的形式带领学生复习了y=ax2型二次函数的图像和性质，随后出示例题：
有一抛物线型拱桥，桥顶O离水面AB高4米时，水面宽度AB为10米，如上图建立了直角坐标系。
（1）若水面上涨了0.76米，此时水面CD宽度为多少米？
（2）水面上涨后，有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过，已知货箱长8米，宽4米，高2.5米（竹排与水面持平），问该货箱能否顺利通过该桥？
第（1）题是通过教师提出的三个问题解决的：
问题1：根据题意，点A、B的坐标是什么？
学生回答：点A的坐标是（-5，-4），点B的坐标是（5，-4）。
问题2：怎样求出拱桥所在抛物线的关系式？
学生较容易地用待定系数法求得y=-4/25x2。
问题3：怎样运用抛物线的关系式求出点C、D的坐标？
学生求出两点坐标分别为（-4.5，-3.24），（4.5，-3.24），进而求得CD=9米。
第（2）题则由教师在黑板上画图演示，说明当货箱恰好在拱桥下面正中间时，货箱宽被y轴平分，过水面CD上距y轴2米处的点作CD的垂线，只需求出这条垂线与抛物线的交点到水面CD的距离，再与2.5米相比较即可。讲解思路清楚，学生接受也无障碍。例题讲完后，完整的解题过程便呈现在黑板上。然后又出示了一个类似的题目进行巩固训练，看到学生面露难色，教师又像例题一样进行了讲解。
下课后，授课教师不好意思地说，学生基础太差，练习题跟例题差不多，可还是有困难。于是我们利用课间进行了研究，对内容和过程做了一些调整，隔一节课，在另一个班再次进行了这个例题的教学。
二、改进后教学简述
首先提出一个“引例”：
如图，已知抛物线y=ax2经过点A（2，2），B（-1，a），C（b，2.5），试求这三点到x轴和y轴的距离。解完此题后你有哪些方法值得总结？
学生比较容易解答，并且主要总结到：（1）抛物线的顶点在原点时，已知一点坐标即可以求出关系式；（2）由已知抛物线上点的横坐标可以求出纵坐标，由纵坐标也可以求出横坐标；（3）由点的坐标可以求出点到坐标轴的距离。教师予以肯定。
在此基础上出示原来设计的例题，开始学生也是眉头紧锁，陷入沉思，但是经过一会儿便有许多人脸上露出了笑容。第一小题比较顺利地由学生说出思路，老师只是规范一下解题格式。第二小题显然学生还有一定难度，教师引导：可以先画出货箱经过拱桥时的示意图，请思考货箱能否通过，主要取决于哪些量？如何求出呢？引发了学生热烈的讨论，不久学生们自己找到了解决问题的办法。
解题后教师又问：通过这个问题，我们又应该总结哪些方法呢？待学生纷纷回答后教师作结：有关抛物线型实物的实际问题，要善于把已知条件中的距离转化为直角坐标系中有关点的坐标，把求距离的问题也转化为求点的坐标，运用二次函数的图像和性质求解。
接下来仍然是练习巩固，所选习题不变，只是允许同座间互相交流，同学中出现了小声议论的现象，教师对有困难的同学个别指导。
三、几点思考
这节课下来，这位老师比较满意，但还有些疑惑，为什么内容大体相当，而效果迥异呢？我们一起进行了总结与反思。
1. 例题教学要找到学生的最近发展区，搭好教学“脚手架”。
“最近发展区理论”认为学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，另一种是学生可能的发展水平，两者之间的差距就是最近发展区。改进前的教学设计就是这个“差距”过大，使学生面对问题无从下手，只好老师亲自出马；改进后所设计的“引例”与学生的原有水平之间、例题与“引例”之间的差距更切合学生的实际，跳一跳能够得着，起到了教学“脚手架”的作用。奥苏伯尔有句名言：“如果我不得不把全部教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习唯一的最重要的因素是学习者已经知道了什么。”并且指出，要“根据学生原有知识进行教学”。他倡导在学习新知识之前，应首先为学生设计一个能把握所授知识的本质，对新知识具有引导性、起同化作用的知识结构——组织者，并将其内化为学生的认知结构。本课对“引例”的解答与总结，便是学生认知结构中新知识的固着点，为完成例题，实现知识的迁移做好了准备。
2. 例题教学的过程应该成为学生知识建构的过程。
建构主义教学观认为，教学的最核心的任务不是如何把现成的知识传授给学生，而是如何激发出学生原有的相关知识经验，促进知识经验的“生长”，促进学生的知识建构活动。数学课程标准也指出，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。本节原设计虽然提出了几个问题，看似学生解答了题目，实则讲授与灌输，学生对为什么要解答这几个问题缺乏理性思考，也难怪学生练习时不知所措。改进后通过合作、探究得出结论，增加了学生的思维含量，使其经历了思维过程，由机械学习变成了理解学习，即有意义的学习。
3. 例题教学要善于归纳思想方法。
思想方法是数学的精髓，从例题中提炼思想方法是例题教学的一项重要目标，也是数学教学要达到的一种境界。抽象、概括乃至创新能力都可从中得到培养。 但教学中就题论题现象仍很普遍，在这种情况下学生也不得不去记忆与模仿，例题教学很难达到举一反三、触类旁通的作用。本课改进后注重了方法的归纳，学生也感到数学方法是学得到、用得上的，使单纯的解题过程升华为方法的习得。
4. 数学教师要善于进行自我反思。
为了不断改进教学方法，教师在课后进行自我反思是非常必要的，要经常回过头来审视教学过程是否符合学生的认知规律，把握住问题的关键加以解决。在本课研究过程中教师开始把问题归结为学生基础差，就没有抓住矛盾的主要方面，这种倾向在教学实践中也不是个别的，如果我们数学教师真正认识到教学中的问题，首先应从反省自己开始，那么方法的改进、质量的提高就为时不远了。