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一次函数的图象与坐标轴围成的图形问题在近年来的中考中经常出现，它通常涉及图形的面积、周长等计算问题，处理这类问题的关键是要确定直线与坐标轴的交点坐标，然后，分析所围成的图形特征，利用有关特殊图形的面积、周长计算公式等，必要时要对图形进行割补，或建立方程求解.现举例说明：
例1（2005年广东省中考试题）：如图1，已知两直线y＝－x＋3和y＝2x－1，求它们与y轴所围成的三角形的面积.
分析：设直线y＝－x＋3与y轴的交点坐标是A，直线y＝2x－1与y轴的交点坐标是B，两直线的交点坐标是C，要求直线y＝－x＋3和y＝2x－1与y轴所围成的三角形的面积。观察分析图形可知道，只要能求出A、B两点的纵坐标和C点的横坐标即可利用三角形的面积公式求得.
解：如图1，设直线y＝－x＋3与y轴的交点坐标是A，直线y＝2x－1与y轴的交点坐标是B，两直线的交点坐标是C。在y＝－x＋3中，令x＝0，得y＝3，即点A的坐标为（0，3）；在y＝2x－1中，令x＝0，得y＝－1，即点B的坐标为（0，－1）。由解得。所以，两直线的交点坐标为C（，2），即AB＝4，点C到AB的距离为。则两直线y＝－x＋3和y＝2x－1与y轴所围成的△ABC的面积＝×4×＝3（平方单位）.
说明：这里也可以连结OC，利用割补的方法求得三角形的面积。
例2(2005年陕西省中考试题)：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直线，如图2①。观察图2①可以得出：直线x＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解为。在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图2②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图2③、回答下列问题：
⑴在直角坐标系（如图2④）中，用作图象的方法求出方程组的解；
⑵用阴影表示所围成的区域。
分析：⑴可以利用作图象的步骤分别在坐标系中作出直线x＝－2与直线y＝－2x＋2的图象，两直线的交点即为方程组的解；⑵只要分别作出直线x=－2、y＝－2x＋2、y＝0的图象即可.
解：⑴在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2，如图2④，这两条直线的交点是P（－2，6），则是方程组的解。
⑵如图2④中的阴影部分所示.
说明：本题是集一次函数、二元一次方程、不等式于一体，看似很难，其实只要认真阅读题意、动手操作一下，困难就迎刃而解，而且还有利于思维能力的培养。
例3（吉林省）：如图3，过原点的直线l1：y=3x，l2：y=.点P从原点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动.直线PQ交y轴正半轴于点Q，且分别交l1、l2于点A、B。设点P的运动时间为t秒时，直线PQ的解析式为y＝―x+t。△AOB的面积为Sl(如图3①)。以AB为对角线作正方形ACBD，其面积为S2(如图3②)。连结PD并延长，交l1于点E，交l2于点F。设△PEA的面积为S3(如图3③)。
⑴求Sl关于t的函数解析式；
⑵求直线OC的函数解析式；
⑶求S2关于t的函数解析式；
⑷求S3关于t的函数解析式。
分析：要解决这四个问题可利用一次函数的解析式建立方程组，分别求出点A、B、C、D的坐标，再分别观察各自的图形特征即可求解。
解：⑴由方程组解得，所以点A坐标为（，）；由得，所以点B坐标为（，）。
∴Sl＝S△AOP－S△BOP＝t·－t·＝t2。
⑵由⑴知，点C的坐标为（，）。设直线OC的解析式为y＝kx（k≠0）。根据题意，得k＝。∴k＝，直线OC的解析式为y＝x。
⑶由⑴和⑵知，正方形ABCD的边长CB＝－＝。所以S2＝CB2＝()2=。
⑷设直线PD的解析式为y＝k1x＋b（k≠0）。由⑴知，点D的坐标为（，），将P（t，0）、D（，）代入，得解得，所以PD的解析式为y＝－x＋；由得，所以E点的坐标为（，）。
∴S3＝S△EOP－S△AOP＝t·－t·＝
说明：本题除了⑵，其余都是通过利用图形的面积关系才使问题获解，可见运用面积求解在处理此类问题中的重要性。因此，学生在学习时一定要注意这方面的训练。
（作者单位：055750河北省南宫市大村乡独水小学）
例1（2005年广东省中考试题）：如图1，已知两直线y＝－x＋3和y＝2x－1，求它们与y轴所围成的三角形的面积.
分析：设直线y＝－x＋3与y轴的交点坐标是A，直线y＝2x－1与y轴的交点坐标是B，两直线的交点坐标是C，要求直线y＝－x＋3和y＝2x－1与y轴所围成的三角形的面积。观察分析图形可知道，只要能求出A、B两点的纵坐标和C点的横坐标即可利用三角形的面积公式求得.
解：如图1，设直线y＝－x＋3与y轴的交点坐标是A，直线y＝2x－1与y轴的交点坐标是B，两直线的交点坐标是C。在y＝－x＋3中，令x＝0，得y＝3，即点A的坐标为（0，3）；在y＝2x－1中，令x＝0，得y＝－1，即点B的坐标为（0，－1）。由解得。所以，两直线的交点坐标为C（，2），即AB＝4，点C到AB的距离为。则两直线y＝－x＋3和y＝2x－1与y轴所围成的△ABC的面积＝×4×＝3（平方单位）.
说明：这里也可以连结OC，利用割补的方法求得三角形的面积。
例2(2005年陕西省中考试题)：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直线，如图2①。观察图2①可以得出：直线x＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解为。在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图2②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图2③、回答下列问题：
⑴在直角坐标系（如图2④）中，用作图象的方法求出方程组的解；
⑵用阴影表示所围成的区域。
分析：⑴可以利用作图象的步骤分别在坐标系中作出直线x＝－2与直线y＝－2x＋2的图象，两直线的交点即为方程组的解；⑵只要分别作出直线x=－2、y＝－2x＋2、y＝0的图象即可.
解：⑴在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2，如图2④，这两条直线的交点是P（－2，6），则是方程组的解。
⑵如图2④中的阴影部分所示.
说明：本题是集一次函数、二元一次方程、不等式于一体，看似很难，其实只要认真阅读题意、动手操作一下，困难就迎刃而解，而且还有利于思维能力的培养。
例3（吉林省）：如图3，过原点的直线l1：y=3x，l2：y=.点P从原点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动.直线PQ交y轴正半轴于点Q，且分别交l1、l2于点A、B。设点P的运动时间为t秒时，直线PQ的解析式为y＝―x+t。△AOB的面积为Sl(如图3①)。以AB为对角线作正方形ACBD，其面积为S2(如图3②)。连结PD并延长，交l1于点E，交l2于点F。设△PEA的面积为S3(如图3③)。
⑴求Sl关于t的函数解析式；
⑵求直线OC的函数解析式；
⑶求S2关于t的函数解析式；
⑷求S3关于t的函数解析式。
分析：要解决这四个问题可利用一次函数的解析式建立方程组，分别求出点A、B、C、D的坐标，再分别观察各自的图形特征即可求解。
解：⑴由方程组解得，所以点A坐标为（，）；由得，所以点B坐标为（，）。
∴Sl＝S△AOP－S△BOP＝t·－t·＝t2。
⑵由⑴知，点C的坐标为（，）。设直线OC的解析式为y＝kx（k≠0）。根据题意，得k＝。∴k＝，直线OC的解析式为y＝x。
⑶由⑴和⑵知，正方形ABCD的边长CB＝－＝。所以S2＝CB2＝()2=。
⑷设直线PD的解析式为y＝k1x＋b（k≠0）。由⑴知，点D的坐标为（，），将P（t，0）、D（，）代入，得解得，所以PD的解析式为y＝－x＋；由得，所以E点的坐标为（，）。
∴S3＝S△EOP－S△AOP＝t·－t·＝
说明：本题除了⑵，其余都是通过利用图形的面积关系才使问题获解，可见运用面积求解在处理此类问题中的重要性。因此，学生在学习时一定要注意这方面的训练。
（作者单位：055750河北省南宫市大村乡独水小学）