论文部分内容阅读
摘 要：本文主要应用群论的初等技巧和扩张理论，通过计算，对阶小于16的有限群做了完全分类。
关键词：Sylow 子群 群扩张
代数学的基本问题之一就是决定由某些公理定义的代数系有多少互不同构的类型。即所谓的同构分类问题。对于很多代数系统来说，这个问题已经得到了解决。例如 Wedderburn 的环的构造定理，Frobenius 关于实数域上有限维可除袋鼠的分类定理，Cartan 关于复数域上单Lie代数的分类定理等等。最简单的，在学习线性代数的时候我们知道，任意域上给定维数的线性空间都彼此同构，这实际上就是域上有限维线性空间的同构分类定理。它告诉我们，从同构的意义上来讲，任意域上给定位数 n 的线性空间只有一个。又比如说，我们下面的引理3给出了有限和无限循环群的同构分类定理。并且解决了有限交换群的同构分类问题，即证明了每个交换群都可以分解成若干有限循环群的直积，并且其基元素的阶被该群唯一确定，因此我们可以很容易的新出任意给定n阶有限交换群的全部的互不同构的类型。又比如我们的引理5，我们队任意的一个素数p，给出了所有阶至多p3的p-群的互不同构的类型。这些都可作为解决同构分类成功的例子。基于同样的想法，A.Cayley 在给出了抽象群的公理化定义之后，于1878年明确地提出了对于一般的n阶有限群的同构分类问题。和循环群以及交换群的情形迥然不同，人们发现这个问题是惊人的复杂和困难。这对群来说，就是对任意的正整数n，决定n阶群所有互不同构的类型。本文应用了群的初等技巧和扩张理论，给出了阶小于16的群G的完全分类。若无特殊说明，本文所涉及的概念以及符号均取自文献。
參考文献：
[1]徐明曜， 有限群导引[M]. 北京：科学出版社， 2001.
[2]张远达. 有限群构造[M]. 北京：科学出版社， 1982.
关键词：Sylow 子群 群扩张
代数学的基本问题之一就是决定由某些公理定义的代数系有多少互不同构的类型。即所谓的同构分类问题。对于很多代数系统来说，这个问题已经得到了解决。例如 Wedderburn 的环的构造定理，Frobenius 关于实数域上有限维可除袋鼠的分类定理，Cartan 关于复数域上单Lie代数的分类定理等等。最简单的，在学习线性代数的时候我们知道，任意域上给定维数的线性空间都彼此同构，这实际上就是域上有限维线性空间的同构分类定理。它告诉我们，从同构的意义上来讲，任意域上给定位数 n 的线性空间只有一个。又比如说，我们下面的引理3给出了有限和无限循环群的同构分类定理。并且解决了有限交换群的同构分类问题，即证明了每个交换群都可以分解成若干有限循环群的直积，并且其基元素的阶被该群唯一确定，因此我们可以很容易的新出任意给定n阶有限交换群的全部的互不同构的类型。又比如我们的引理5，我们队任意的一个素数p，给出了所有阶至多p3的p-群的互不同构的类型。这些都可作为解决同构分类成功的例子。基于同样的想法，A.Cayley 在给出了抽象群的公理化定义之后，于1878年明确地提出了对于一般的n阶有限群的同构分类问题。和循环群以及交换群的情形迥然不同，人们发现这个问题是惊人的复杂和困难。这对群来说，就是对任意的正整数n，决定n阶群所有互不同构的类型。本文应用了群的初等技巧和扩张理论，给出了阶小于16的群G的完全分类。若无特殊说明，本文所涉及的概念以及符号均取自文献。
參考文献：
[1]徐明曜， 有限群导引[M]. 北京：科学出版社， 2001.
[2]张远达. 有限群构造[M]. 北京：科学出版社， 1982.