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一、为什么学习平面的基本性质
平面的基本性质是学习空间点、直线、平面的位置关系的基础，内容主要包括“三个公理”，是培养同学们空间想象能力的载体。通过挖掘三个公理的内涵及对外延复习探究，可为学习空间点、直线、平面的位置关系打下较好的基础。
二、三个公理的复习与问题探究
（一）公理1三种语言的互化
公理1：文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
图形语言：如图1。图1
符号语言：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈αlα。
立体几何的学习过程，主要是围绕着三种语言互化的学习，即图形语言、文字语言、符号语言。图形语言是对空间中点、线、面位置关系的第一层级抽象；文字语言是对图形语言的进一步说明，属于第二层级抽象；而符号语言是学习立体几何的落脚点和归宿，属于第三层级抽象。借助三种语言的转化，有利于提升對公理内涵的理解。
问题1：为什么直线上需两个不同的点在平面内？只有一个呢？一个也没有呢？有无数多个呢？
图2图3①如图2，直线l在平面α内，lα，有无数个。
②如图3，直线l与平面α相交（外），l∩α=A，有一个。
图4③如图4，直线l与平面α平行（外），l∥α，有0个。
评注：通过问题1的设计，可以把公理1的学习与直线和平面的位置关系联系在一起，从而为在复习过程中形成知识网络。
问题2：如何判断点在平面内？如何用数学符号语言表示出来？
评注：由于公理中涉及点在面内，据此设计问题2，可引起同学们的注意，并要求同学们要学会如何用数学符号语言，能真正起到提升同学们的符号表达的能力，即由lα
M∈lM∈α。
在公理的复习过程中，通过引导同学们对上述两个问题的探究，有利于同学们形成问题意识，开拓视野，提升对立体几何学习的感觉。
（二）公理2三种语言的转化
图5公理2：如图5，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。平面ABC在公理2复习过程中，设计如下问题：
问题1：怎样理解有且只有？
评注：有且只有表示存在且唯一，以此构建平面的思想。
问题2：有哪三个推论？
评注：三个推论可以说是公理2的拓展，即概念的外延。以“平面”这一概念切入，顺理成章地导入空间中直线与直线的位置关系的复习：
共面直线相交直线：同一平面内，有且只有
一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共
点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公
共点。
当然，异面直线这一概念也得到了关联，且有利于同学们理解“不同在任何一个平面”的意思。
（三）公理3三种语言的转化
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。如图6，图6P∈α，且P∈βα∩β=l，且P∈l。
问题1：若还有一个点既在平面α内又在平面β内呢？若有无数个公共点呢？
评注：这个问题有利于同学们理解如何证明点共线的问题。
问题2：若一个公共点都没有呢？
评注：由于两个平面无公共点，此时两平面就互相平行，此时就把立体几何内容的前后建立了联系。
图7如图7，两个平面平行，α∥β，有0个交点。
图8如图8，两个平面相交，则α∩β=l，有无数个交点（这些公共点均在交线l上）。
四、变式练习、深化理解
通过编制习题，深化理解三个公理，提高处理空间中点、线、面位置关系的问题。
1.在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG交于一点M，那么M一定在哪条直线上并证明。
2.以下四个命题中：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面。其中正确命题的个数是（）。
A.0B.1
C.2D.3
作者单位：福建省南安国光中学
平面的基本性质是学习空间点、直线、平面的位置关系的基础，内容主要包括“三个公理”，是培养同学们空间想象能力的载体。通过挖掘三个公理的内涵及对外延复习探究，可为学习空间点、直线、平面的位置关系打下较好的基础。
二、三个公理的复习与问题探究
（一）公理1三种语言的互化
公理1：文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
图形语言：如图1。图1
符号语言：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈αlα。
立体几何的学习过程，主要是围绕着三种语言互化的学习，即图形语言、文字语言、符号语言。图形语言是对空间中点、线、面位置关系的第一层级抽象；文字语言是对图形语言的进一步说明，属于第二层级抽象；而符号语言是学习立体几何的落脚点和归宿，属于第三层级抽象。借助三种语言的转化，有利于提升對公理内涵的理解。
问题1：为什么直线上需两个不同的点在平面内？只有一个呢？一个也没有呢？有无数多个呢？
图2图3①如图2，直线l在平面α内，lα，有无数个。
②如图3，直线l与平面α相交（外），l∩α=A，有一个。
图4③如图4，直线l与平面α平行（外），l∥α，有0个。
评注：通过问题1的设计，可以把公理1的学习与直线和平面的位置关系联系在一起，从而为在复习过程中形成知识网络。
问题2：如何判断点在平面内？如何用数学符号语言表示出来？
评注：由于公理中涉及点在面内，据此设计问题2，可引起同学们的注意，并要求同学们要学会如何用数学符号语言，能真正起到提升同学们的符号表达的能力，即由lα
M∈lM∈α。
在公理的复习过程中，通过引导同学们对上述两个问题的探究，有利于同学们形成问题意识，开拓视野，提升对立体几何学习的感觉。
（二）公理2三种语言的转化
图5公理2：如图5，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。平面ABC在公理2复习过程中，设计如下问题：
问题1：怎样理解有且只有？
评注：有且只有表示存在且唯一，以此构建平面的思想。
问题2：有哪三个推论？
评注：三个推论可以说是公理2的拓展，即概念的外延。以“平面”这一概念切入，顺理成章地导入空间中直线与直线的位置关系的复习：
共面直线相交直线：同一平面内，有且只有
一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共
点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公
共点。
当然，异面直线这一概念也得到了关联，且有利于同学们理解“不同在任何一个平面”的意思。
（三）公理3三种语言的转化
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。如图6，图6P∈α，且P∈βα∩β=l，且P∈l。
问题1：若还有一个点既在平面α内又在平面β内呢？若有无数个公共点呢？
评注：这个问题有利于同学们理解如何证明点共线的问题。
问题2：若一个公共点都没有呢？
评注：由于两个平面无公共点，此时两平面就互相平行，此时就把立体几何内容的前后建立了联系。
图7如图7，两个平面平行，α∥β，有0个交点。
图8如图8，两个平面相交，则α∩β=l，有无数个交点（这些公共点均在交线l上）。
四、变式练习、深化理解
通过编制习题，深化理解三个公理，提高处理空间中点、线、面位置关系的问题。
1.在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG交于一点M，那么M一定在哪条直线上并证明。
2.以下四个命题中：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面。其中正确命题的个数是（）。
A.0B.1
C.2D.3
作者单位：福建省南安国光中学