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矩阵是线性代数（高等代数）的基础和核心.高中数学选修42矩阵与变换，是高中阶段新增内容之一，也是江苏新课标高考中理科附加卷中必做题.“矩阵与变换”这一选修专题，以二维矩阵为载体，目的是让同学们初步了解矩阵的“运算”规律，理解二维空间中的变换可以用矩阵表示，可以从几何变换的角度来学习矩阵.这将为我们以后学习高等数学作铺垫.问题是高考对此内容有何要求？会考什么？怎么考？这是同学们迫切想知道的.在此，结合课程标准与近几年的高考谈谈矩阵与变换，供同学们在复习迎考时参考.
一、细说考点
选修42是通过平面图形的变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，以变换为主线贯穿于整个教材，要求通过图形变换理解并掌握初等变换，理解矩阵对向量的作用.考试的重点是初等变换与矩阵的乘法、矩阵的特征值和特征向量.具体要求如下：1.了解以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义，如求一个二阶矩阵与一列向量相乘的结果；理解矩阵可表示如下常见的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影，如一个矩阵将已知图形（或方程表示的图形）变成了什么图形，并指出表示什么变换？2.了解矩阵与矩阵的乘法的意义，会通过具体的几何图形变换说明矩阵乘法，如求两个二阶矩阵相乘的结果，并指出表示什么样的复合变换.3.理解逆矩阵的意义；会用二阶行列式求逆矩阵.4.会用系数矩阵的逆矩阵解方程组，会用二阶行列式解方程组.5.会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形），会用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示.
二、典例解析
1.二阶矩阵的运算
例1（2013年江苏卷）已知矩阵A=-10
02，B=12
06，求矩阵A-1B.
解析一：设矩阵A的逆矩阵为ab
cd，则-10
02ab
cd=10
01，即-a-b
2c2d=10
01，故a=-1，b=0，c=0，d=12.
∴矩阵A的逆矩阵为A-1=-10
012，
∴A-1B=-10
01212
06=-1-2
03.
解析二：因为A=-10
02，所以A-1=-10
012（依据逆矩阵公式），
∴A-1B=-10
01212
06=-1-2
03.
评注：本题要求A-1B，应先求A-1，再借助二阶矩阵乘法运算法则求得.其中求一矩阵的逆矩阵可以根据A-1A=10
01，利用待定系数法（如解析一）；也可以直接运用逆矩阵公式（如解析二）.
例2（2011年江苏卷）已知矩阵A=11
21，向量β=1
2，求向量α，使得矩阵A2α=β.
解析：A2=11
2111
21=32
43，
设α=x
y，由A2α=β，得32
43x
y=1
2，从而3x+2y=1
4x+3y=2，
解得x=-1，y=2，所以α=-1
2.
评注：本题先利用二阶矩阵乘法运算法则求得A2，再设出α，根据矩阵与向量乘法的意义，利用待定系数法，求出α.
2.求特征值和特征向量
例3（2012年江苏卷[选修42：矩阵与变换]）已知矩阵A的逆矩阵A-1=-1434
12-12，求矩阵A的特征值.
解析：∵A-1A=E，∴A=（A-1）-1.
∵A-1=-1434
12-12，
∴A=（A-1）-1=23
21.
∴矩阵A的特征多项式为f（λ）=λ-2-3
-2λ-1 =λ2-3λ-4.
令f（λ）=0，解得矩阵A的特征值λ1=-1，λ2=4.
评注：由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，利用特征多项式求出矩阵A的特征值，正确地写出矩阵A特征多项式是解决本题的关键（设A=ab
cd是一个二阶矩阵，λ∈R，则称行列式f（λ）=λ-a-b
-cλ-d为特征多项式）.
例4已知矩阵M=3-2
-41，求矩阵M的特征值和特征向量.
解析：解特征方程f（λ）=λ2-（3+1）λ+3-（-2）（-4）=0，
解得λ1=-1，λ2=5，
将λ1=-1代入方程组（-1-3）x-（-2）y=0
-（-4）x+（-1-1）y=0，即2x-y=0，取得非零向量1
2，则矩阵M属于λ1=-1的一个特征向量为1
2，
所以向量2
4也是属于λ1=-1的一个特征向量，
同理求得矩阵M属于λ2=5的一个特征向量为1
-1.
评注：本题首先由特征方程求出特征值，再根据二阶矩阵的特征值与特征向量定义，即Mα=λα求得特征向量.要提醒的是当向量α是一矩阵的特征向量时，则tα（t≠0）也为矩阵的特征向量.
3.平面变换与矩阵的关系
例5（2010年江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，A（0，0），B（-2，0），C（-2，1），设k≠0，k∈R，M=k0 01，N=01
10，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1，B1，C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值.
解析：由题设得MN=k0
0101
10=0k
10.
由0k
100
0=0
0，0k
10-2
0=0
-2，0k
10-2
1=k
-2，
可知A1（0，0），B1（0，-2），C1（k，-2），
经计算可得△ABC面积是1，而△A1B1C1的面积为|k|，
又因为△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，
所以实数k的值为2或-2.
评注：二阶矩阵作用在一个向量上可以得到一个新的向量，实际上它是平面到平面的映射.本题首先求MN，再根据矩阵与向量乘法法则求出A1，B1，C1的坐标即可.主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点及同学们的运算求解能力.
例6（2008年江苏卷[选修42：矩阵与变换]）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵A=20
01对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程.
解析：设P（x0，y0）是椭圆上任意一点，点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′（x′0，y′0）则有
x′0
y′0=20
01x0
y0，即x′0=2x0
y′0=y0，
所以x0=x′02
y0=y′0，
又因为点P在椭圆上，故4x20+y20=1，从而（x′0）2+（y′0）2=1，
所以，曲线F的方程是x2+y2=1.
评注：通过变换矩阵建立已知曲线上点与所求曲线上的对应点的坐标之间的关系是解决这类问题的关键.矩阵与变换的关系是什么？一方面几何变换赋予了矩阵运算的一种几何解释；另一方面，矩阵又是几何变换的一种代数表示，是研究平面图形变换的基本工具.另外，由本题说明当知道“变换矩阵、已知曲线和变换后的曲线”中两个可以求第三个，即知二求一.
4.矩阵的乘方运算
例7已知矩阵A有特征向量i=1
1和j=3
-2，且它们的特征值分别为λ1=6，λ2=1，若向量α=4
-1，求Anα.
解析：设α=mi+nj，不难解得m=1，n=1，即α=i+j
Anα=An（i+j）=λn1i+λn2j=6n1
1+3
-2=3+6n
-2+6n.
评注：矩阵的平方可以直接进行矩阵相乘，更高次的运算可运用矩阵的特征向量与特征值进行计算.研究矩阵对任意非零向量连续变化结果的方法，通常是利用矩阵的特征向量与特征值将矩阵的乘方转化为实数的乘方与向量的积，简化运算.
通过上述典型例题的分析可以看出，在“矩阵与变换”复习中要重点理解二阶方阵对向量的作用，理解矩阵几何意义即矩阵与常见变换的关系；能进行二阶矩阵乘法的运算；会求二阶矩阵的逆矩阵；会求简单二阶矩阵的特征值和特征向量；会用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示；知道“变换矩阵、已知曲线和变换后的曲线”中两个要会求第三个，即知二求一.另外，二阶行列式也不要忘记，会用二阶行列式解方程组.以上是矩阵与变换的考点透视，望同学们在复习时有的放矢，进行针对性训练，提高学习的效率，迎战高考.
尝试练习
1.已知矩阵A=12
01，B=01
10，求点P（2，3）在矩阵AB对应的变换下得到的点坐标.
2.已知可逆矩阵M=12-32
3212，求矩阵M的逆矩阵M-1.
3.若x2y2
-11=xx
y-y，求x+y的值.
4.求函数f（x）=2cosx
sinx-1的值域.
5.若矩阵A有特征向量i=1
0和j=1
-1，且它们的特征值分别为λ1=2，λ2=-1，求矩阵A.
6.设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=a0
b1（a>0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.
（1）求实数a，b的值.
（2）求A2的逆矩阵.
7.已知直线l：ax+y=1在矩阵A=12
01对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1.
（1）求实数a，b的值；
（2）若点P（x0，y0）在直线上，且Ax0
y0=x0
y0，求点P的坐标.
8.已经矩阵M=40
05.
（1）求直线4x-10y=1在M作用下的方程；
（2）求M的特征值与特征向量.
参考答案
1.矩阵B对应的变换为：以直线y=x为反射轴的反射变换，此变换将点P（2，3）变换为P1（3，2），
矩阵A对应的变换为：纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例增加，即（x，y）→（x+2y，y）的切变变换，因而将P1（3，2）变换为P2（7，2），
所以点P（2，3）在矩阵AB对应的变换下得到的点坐标为（7，2）.
2.∵矩阵M所对应的变换为：把坐标平面内的点绕原点逆时针旋转π3； ∴它的逆变换为：把坐标平面内的点绕原点顺时针旋转π3.
∴M-1=cos（-π3）-sin（-π3）
sin（-π3）cos（-π3）=1232
-3212.
3.x+y=0.
4.f（x）=-2-sinxcosx=-2-12sin2x∈[-52，-32].
5.解：设A=ab
cd，则ab
cd1
0=21
0，ab
cd1
-1=-1
-1，
解得a=2，b=3，c=0，d=-1，所以A=23
0-1.
6.解析：（1）设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵A对应的变换下的像是P′（x′，y′），由x′
y′=a0
b1x
y=ax
bx+y，得x′=ax
y′=bx+y，因为P′（x′，y′）在圆x2+y2=1上，所以（ax）2+（bx+y）2=1，化简可得（a2+b2）x2+2bxy+y2=1，
依题意可得（a2+b2）=2，2b=2a=1，b=1或a=-1，b=1，
而由a>0可得a=b=1.
（2）由（1）A=10
11，∴A2=10
1110
11=10
21，∴（A2）-1=10
-21.
7.解：（Ⅰ）设直线l：ax+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用下的像是M′（x′，y′），
由x′
y′=12
01x
y=x+2y
y，得x′=x+2y
y′=y，
又点M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′=1，即x+（b+2）y=1，
依题意a=1
b+2=1，解得a=1
b=-1.
（Ⅱ）由Ax0
y0=x0
y0，得x0=x0+2y0
y0=y0解得y0=0，
又点P（x0，y0）在直线上，所以x0=1，
故点P的坐标为（1，0）.
8.（1）因为M=40
05.设直线4x-10y=1上任意一点P′（x′，y′）在40
05作用下对应点P（x，y），则40
05x′
y′=x
y，即x=4x′
y=5y′，
所以x′=14x
y′=15y，代入4x-10y=1，
得4×14x-10×15y=1，即x-2y=1，
所以所求曲线的方程为x-2y=1.
（2）矩阵M的特征多项式f（λ）=λ-40
0λ-5=（λ-4）（λ-5）=0，
所以M的特征值为λ1=4，λ2=5.
当λ1=4时，由Mα1=λ1α1，得特征向量α1=1
0；
当λ2=5时，由Mα2=λ2α2，得特征向量α2=0
1.
（作者：张瑞祥、花奎，江苏省仪征中学）
一、细说考点
选修42是通过平面图形的变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，以变换为主线贯穿于整个教材，要求通过图形变换理解并掌握初等变换，理解矩阵对向量的作用.考试的重点是初等变换与矩阵的乘法、矩阵的特征值和特征向量.具体要求如下：1.了解以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义，如求一个二阶矩阵与一列向量相乘的结果；理解矩阵可表示如下常见的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影，如一个矩阵将已知图形（或方程表示的图形）变成了什么图形，并指出表示什么变换？2.了解矩阵与矩阵的乘法的意义，会通过具体的几何图形变换说明矩阵乘法，如求两个二阶矩阵相乘的结果，并指出表示什么样的复合变换.3.理解逆矩阵的意义；会用二阶行列式求逆矩阵.4.会用系数矩阵的逆矩阵解方程组，会用二阶行列式解方程组.5.会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形），会用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示.
二、典例解析
1.二阶矩阵的运算
例1（2013年江苏卷）已知矩阵A=-10
02，B=12
06，求矩阵A-1B.
解析一：设矩阵A的逆矩阵为ab
cd，则-10
02ab
cd=10
01，即-a-b
2c2d=10
01，故a=-1，b=0，c=0，d=12.
∴矩阵A的逆矩阵为A-1=-10
012，
∴A-1B=-10
01212
06=-1-2
03.
解析二：因为A=-10
02，所以A-1=-10
012（依据逆矩阵公式），
∴A-1B=-10
01212
06=-1-2
03.
评注：本题要求A-1B，应先求A-1，再借助二阶矩阵乘法运算法则求得.其中求一矩阵的逆矩阵可以根据A-1A=10
01，利用待定系数法（如解析一）；也可以直接运用逆矩阵公式（如解析二）.
例2（2011年江苏卷）已知矩阵A=11
21，向量β=1
2，求向量α，使得矩阵A2α=β.
解析：A2=11
2111
21=32
43，
设α=x
y，由A2α=β，得32
43x
y=1
2，从而3x+2y=1
4x+3y=2，
解得x=-1，y=2，所以α=-1
2.
评注：本题先利用二阶矩阵乘法运算法则求得A2，再设出α，根据矩阵与向量乘法的意义，利用待定系数法，求出α.
2.求特征值和特征向量
例3（2012年江苏卷[选修42：矩阵与变换]）已知矩阵A的逆矩阵A-1=-1434
12-12，求矩阵A的特征值.
解析：∵A-1A=E，∴A=（A-1）-1.
∵A-1=-1434
12-12，
∴A=（A-1）-1=23
21.
∴矩阵A的特征多项式为f（λ）=λ-2-3
-2λ-1 =λ2-3λ-4.
令f（λ）=0，解得矩阵A的特征值λ1=-1，λ2=4.
评注：由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，利用特征多项式求出矩阵A的特征值，正确地写出矩阵A特征多项式是解决本题的关键（设A=ab
cd是一个二阶矩阵，λ∈R，则称行列式f（λ）=λ-a-b
-cλ-d为特征多项式）.
例4已知矩阵M=3-2
-41，求矩阵M的特征值和特征向量.
解析：解特征方程f（λ）=λ2-（3+1）λ+3-（-2）（-4）=0，
解得λ1=-1，λ2=5，
将λ1=-1代入方程组（-1-3）x-（-2）y=0
-（-4）x+（-1-1）y=0，即2x-y=0，取得非零向量1
2，则矩阵M属于λ1=-1的一个特征向量为1
2，
所以向量2
4也是属于λ1=-1的一个特征向量，
同理求得矩阵M属于λ2=5的一个特征向量为1
-1.
评注：本题首先由特征方程求出特征值，再根据二阶矩阵的特征值与特征向量定义，即Mα=λα求得特征向量.要提醒的是当向量α是一矩阵的特征向量时，则tα（t≠0）也为矩阵的特征向量.
3.平面变换与矩阵的关系
例5（2010年江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，A（0，0），B（-2，0），C（-2，1），设k≠0，k∈R，M=k0 01，N=01
10，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1，B1，C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值.
解析：由题设得MN=k0
0101
10=0k
10.
由0k
100
0=0
0，0k
10-2
0=0
-2，0k
10-2
1=k
-2，
可知A1（0，0），B1（0，-2），C1（k，-2），
经计算可得△ABC面积是1，而△A1B1C1的面积为|k|，
又因为△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，
所以实数k的值为2或-2.
评注：二阶矩阵作用在一个向量上可以得到一个新的向量，实际上它是平面到平面的映射.本题首先求MN，再根据矩阵与向量乘法法则求出A1，B1，C1的坐标即可.主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点及同学们的运算求解能力.
例6（2008年江苏卷[选修42：矩阵与变换]）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵A=20
01对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程.
解析：设P（x0，y0）是椭圆上任意一点，点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′（x′0，y′0）则有
x′0
y′0=20
01x0
y0，即x′0=2x0
y′0=y0，
所以x0=x′02
y0=y′0，
又因为点P在椭圆上，故4x20+y20=1，从而（x′0）2+（y′0）2=1，
所以，曲线F的方程是x2+y2=1.
评注：通过变换矩阵建立已知曲线上点与所求曲线上的对应点的坐标之间的关系是解决这类问题的关键.矩阵与变换的关系是什么？一方面几何变换赋予了矩阵运算的一种几何解释；另一方面，矩阵又是几何变换的一种代数表示，是研究平面图形变换的基本工具.另外，由本题说明当知道“变换矩阵、已知曲线和变换后的曲线”中两个可以求第三个，即知二求一.
4.矩阵的乘方运算
例7已知矩阵A有特征向量i=1
1和j=3
-2，且它们的特征值分别为λ1=6，λ2=1，若向量α=4
-1，求Anα.
解析：设α=mi+nj，不难解得m=1，n=1，即α=i+j
Anα=An（i+j）=λn1i+λn2j=6n1
1+3
-2=3+6n
-2+6n.
评注：矩阵的平方可以直接进行矩阵相乘，更高次的运算可运用矩阵的特征向量与特征值进行计算.研究矩阵对任意非零向量连续变化结果的方法，通常是利用矩阵的特征向量与特征值将矩阵的乘方转化为实数的乘方与向量的积，简化运算.
通过上述典型例题的分析可以看出，在“矩阵与变换”复习中要重点理解二阶方阵对向量的作用，理解矩阵几何意义即矩阵与常见变换的关系；能进行二阶矩阵乘法的运算；会求二阶矩阵的逆矩阵；会求简单二阶矩阵的特征值和特征向量；会用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示；知道“变换矩阵、已知曲线和变换后的曲线”中两个要会求第三个，即知二求一.另外，二阶行列式也不要忘记，会用二阶行列式解方程组.以上是矩阵与变换的考点透视，望同学们在复习时有的放矢，进行针对性训练，提高学习的效率，迎战高考.
尝试练习
1.已知矩阵A=12
01，B=01
10，求点P（2，3）在矩阵AB对应的变换下得到的点坐标.
2.已知可逆矩阵M=12-32
3212，求矩阵M的逆矩阵M-1.
3.若x2y2
-11=xx
y-y，求x+y的值.
4.求函数f（x）=2cosx
sinx-1的值域.
5.若矩阵A有特征向量i=1
0和j=1
-1，且它们的特征值分别为λ1=2，λ2=-1，求矩阵A.
6.设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=a0
b1（a>0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.
（1）求实数a，b的值.
（2）求A2的逆矩阵.
7.已知直线l：ax+y=1在矩阵A=12
01对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1.
（1）求实数a，b的值；
（2）若点P（x0，y0）在直线上，且Ax0
y0=x0
y0，求点P的坐标.
8.已经矩阵M=40
05.
（1）求直线4x-10y=1在M作用下的方程；
（2）求M的特征值与特征向量.
参考答案
1.矩阵B对应的变换为：以直线y=x为反射轴的反射变换，此变换将点P（2，3）变换为P1（3，2），
矩阵A对应的变换为：纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例增加，即（x，y）→（x+2y，y）的切变变换，因而将P1（3，2）变换为P2（7，2），
所以点P（2，3）在矩阵AB对应的变换下得到的点坐标为（7，2）.
2.∵矩阵M所对应的变换为：把坐标平面内的点绕原点逆时针旋转π3； ∴它的逆变换为：把坐标平面内的点绕原点顺时针旋转π3.
∴M-1=cos（-π3）-sin（-π3）
sin（-π3）cos（-π3）=1232
-3212.
3.x+y=0.
4.f（x）=-2-sinxcosx=-2-12sin2x∈[-52，-32].
5.解：设A=ab
cd，则ab
cd1
0=21
0，ab
cd1
-1=-1
-1，
解得a=2，b=3，c=0，d=-1，所以A=23
0-1.
6.解析：（1）设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵A对应的变换下的像是P′（x′，y′），由x′
y′=a0
b1x
y=ax
bx+y，得x′=ax
y′=bx+y，因为P′（x′，y′）在圆x2+y2=1上，所以（ax）2+（bx+y）2=1，化简可得（a2+b2）x2+2bxy+y2=1，
依题意可得（a2+b2）=2，2b=2a=1，b=1或a=-1，b=1，
而由a>0可得a=b=1.
（2）由（1）A=10
11，∴A2=10
1110
11=10
21，∴（A2）-1=10
-21.
7.解：（Ⅰ）设直线l：ax+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用下的像是M′（x′，y′），
由x′
y′=12
01x
y=x+2y
y，得x′=x+2y
y′=y，
又点M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′=1，即x+（b+2）y=1，
依题意a=1
b+2=1，解得a=1
b=-1.
（Ⅱ）由Ax0
y0=x0
y0，得x0=x0+2y0
y0=y0解得y0=0，
又点P（x0，y0）在直线上，所以x0=1，
故点P的坐标为（1，0）.
8.（1）因为M=40
05.设直线4x-10y=1上任意一点P′（x′，y′）在40
05作用下对应点P（x，y），则40
05x′
y′=x
y，即x=4x′
y=5y′，
所以x′=14x
y′=15y，代入4x-10y=1，
得4×14x-10×15y=1，即x-2y=1，
所以所求曲线的方程为x-2y=1.
（2）矩阵M的特征多项式f（λ）=λ-40
0λ-5=（λ-4）（λ-5）=0，
所以M的特征值为λ1=4，λ2=5.
当λ1=4时，由Mα1=λ1α1，得特征向量α1=1
0；
当λ2=5时，由Mα2=λ2α2，得特征向量α2=0
1.
（作者：张瑞祥、花奎，江苏省仪征中学）