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【摘 要】作为解决实际问题的工具，数学建模及数学建模思想在数学核心素养培养中有着举足轻重的作用。本文结合当前中学数学师生对数学建模思想的认知和运用情况，提出了在教学中渗透建模思想的实施过程、实施案例，以期发展和提升学生的数学核心素养。
【关键词】数学建模;建模思想;数学教学;核心素养
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）34-0110-03
21世纪以来，随着社会发展和教育方式的不断完善，在高中数学教学中，提高学生的核心素养这一目标在全国中学教纲中普遍体现，而数学建模教学正是提高学生数学核心素养的一种重要方法，并得到了全国各院校的重视。笔者通过深入课堂实际教学进行研究，针对教学中建模思想渗透的现状，探索出了一些高中数学建模教学的实施方法，希望能给一线教师和相关数学教学工作人员提供一些启示和参考。
1 教学中建模思想渗透的现状
史宁中教授认为数学模型思想是运用数学化的语言，对现实世界进行描述所依赖的一种思想，是数学与现实世界的纽带[1]。数学建模思想，是通过对现实世界中的实际问题或情境进行抽象建立数学模型，并运用数学模型解决类似问题的方法策略与意识观念，是对数学模型和数学建模的本质认识。学生的数学建模思想源于他们的数学实践活动，源于活动中对数学模型、数学建模及其内在必然联系的理解与思考，亲身经历数学建模实践是学生感悟与形成模型思想的最直接的载体和最有效的途徑。
当前大部分中学生对数学建模知识的应用延伸具有较大的兴趣，对数学建模思想的应用重要性有了一定的了解，乐意学习、掌握数学建模方法与理论，将数学知识与实际问题相联系，探索数学知识的运用，提升解决实际问题的能力。但部分学生在遇到实际情境中的数学问题时往往不知如何处理、如何思考，不知运用什么数学知识解决，这说明学生还缺乏用数学建模思想解决实际问题的理论和实践的训练。作为教师，需要进一步探讨研究如何在高中数学教学中渗透数学建模思想，并针对高中数学内容设计出合理、可行的数学建模实施方案。
2 教学中建模思想渗透的实施过程
《普通高中数学课程标准》要求的数学建模活动的基本过程[2]，如图1所示。为了更好地在数学教学中渗透数学建模思想，可按照如下六个环节实施课堂教学。
2.1 创设问题情境，引领学生思考
教师应根据学生的认知水平、课堂教学内容，参考教学进度，结合社会热点、生活实际，合理设计、选取数学建模问题作为课堂知识点教学的背景，创设问题情境，以此激发学生的学习兴趣，引导学生在数学情境中积极主动思考。必要时，可提供相应的知识作为储备，通过问题的提出，引导学生深入思考，加深对课堂学习内容和目标的理解。
2.2 搭建交流平台，达成合作共识
基于所创设的问题情境，引发学生对解决新问题的兴趣，继而对学生进行分组，使学生思维发生碰撞。可以先鼓励小组成员相互讨论，充分交流，相互质疑，在质疑、辩解中归纳、总结，形成小组内部的共同认识;然后提倡小组间相互交流、讨论，让学生借鉴其他小组解决问题的思路，进一步完善解决问题的方案。学生在自主发现、合作探究、质疑、归纳总结的过程中能得到学数学、用数学的体验。
2.3 抽象实际问题，构建数学模型
在学生已有问题解决方案的基础上，引导各小组学生对问题进行简化、假设、抽象，利用数学相关知识建立解决实际问题的数学模型。引导学生根据学习研究的主题内容更好地、更系统地对建立的数学模型进行对比、分析、归纳，使之更体系化，这样学生理解掌握起来就能达到事半功倍的效果。
2.4 理解数学知识，把握概念本质
依托实际问题背景，对实际问题的数学模型进行分析，获得解决问题的方法。将对问题的理解反馈到数学模型本身，梳理问题与数学模型间的对应关系，做到数学知识内容的具体化。由问题联系数学知识和方法，加深学生对抽象数学知识的理解、对概念本质的把握。
2.5 求解数学模型，反馈解释问题
对构建的不同数学模型，选择合适的方法进行求解分析。对于不同的假设模型，可反复验证分析，引导学生结合不同的模型对所分析问题出现的情况进行归纳，通过模型求解反馈解释问题，进一步加深学生对数学知识的认知和差异化理解。
2.6 拓展延伸训练，提高应用能力
以课堂教学内容为依据，在讲解的问题情境的基础上，让学生思考和推广、设计更多实际问题情境。然后根据上述过程，进行合作探究、质疑归纳、建立模型、求解模型等，以必备知识为例，各个知识点之间不是割裂的，而是处于整体知识网络之中[3]。将数学知识点以问题化、情境化，形成多样化的问题拓展模式。开展拓展延伸训练，降低抽象数学知识的学习难度，加深学生对数学知识点的认知和理解，增强学生的应用意识，提高学生应用数学知识解决问题的能力。
3 教学中建模思想渗透的实施案例
回归分析是对具有线性相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。在教学中，需要引导学生利用回归模型研究变量之间的随机关系，进行预测，参与数据分析全过程，并鼓励学生使用相应的统计软件。
过程一：创设问题情境，引领学生思考。
随着社会经济的快速发展，个人的饮食消费水平逐步提高。中学生每月的消费影响着他们的饮食消费水平，那么它们之间存在着怎样的关系？如何表示这种关系？
教学中，通过提出上述问题，引导学生写出自己每月的消费金额和饮食消费金额，进行数据化自主探索，寻求规律。
过程二：搭建交流平台，达成合作共识。 在学生自主思考、合作探究的基础上，让小组成员根据写出的数据进行分析、归纳。合作探究提纲如下：
（1）你每月消费的总金额是多少;
（2）你每月用于饮食的消费金额是多少;
（3）你每月的饮食消费金额与消费总金额之间具有怎样的关系;
（4）如何表示出每月饮食消费金额与消费总金额之间的关系;
（5）……
过程三：抽象实际问题，构建数学模型。
让学生将本小组成员写出的每月消费金额与饮食消费金额列举出来，如第五小组10名学生给出的如表1所示的数据。
根据表1的数据，让学生画出散点图，如图2所示。
基于图2的直观显示，引导学生判断消费金额与饮食消费金额的关系。不难看出，消费金额与饮食消费金额之间存在线性关系。
假设每月学生的消费金额为x，每月的饮食消费金额为y，则消费金额与饮食消费金额之间的关系为，其中、为回归系数，为不可测量的误差变量。
下面，针对如何求解回归系数、，引导学生进行分析。
过程四：理解数学知识，把握概念本质。
针对上述问题，以第五小组10名学生给出的数据为例，计算样本数据数字特征，如表2所示。
根据表2的内容，引导学生计算得到如下数据：，，从而得到消费总金额与饮食消费金额的回归直线方程为
通过图象（见图3）可以得出样本点分布在回归直线附近。
过程五：求解数学模型，反馈解释问题。
为求解模型，反馈解释原问题，引入MatLab统计工具箱中的回归分析命令。
[b，bint，r，rint，stats]=regress（Y，X，alpha）
带入数据，输入MatLab代码得，且的置信区间为[0.5084695，0.6337877]，的的置信区间为[10.19148，124.75445]，。
由可知，回归模型=67.47297+0.5711286x成立。作残差图，如图4
所示。
从图4可知，除第六个数据外，其余数据的残差离零点均接近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型=67.47297+0.5711286x拟合的效果比较好。
过程六：拓展延伸训练，提高应用能力。
根据第五小组10名学生给出的数据，对具有相关关系的两个变量之间的关系进行分析，引导学生运用Matlab程序对上述问题进行检验。教师可引导其他小组利用同样的思路，确定消费金额与饮食消费金额的关系，加深对回归分析方法的理解。类似地，可给出相似问题，引发学生思考，如身高与腿长之间的关系等。
在中学数学教学中，建模思想的渗透对学习、理解数学知识十分重要。因此，在课堂教学中，应运用数学建模思维，引导学生自主学习、合作探究，这对于数学知识的理解和数学建模核心素养的培养非常重要。通过数学建模课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，觉察到数学与现实之间的关联;学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践经验，加深对数学知识内容的理解;认识到数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升解决问题的实践能力，增强创新意识和科学精神，发展和提升数学建模
素养。
【参考文献】
[1]史宁中.关于高中数学教育中的数学核心素养[J].课程·教材·教法，2017（4）.
[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2018.
[3]教育部考試中心.中国高考评价体系说明[S].北京：人民教育出版社.2019.
【作者简介】
宋静（1982～），女，汉族，山东泰安人，本科，中教一级，教育硕士。研究方向：教育教学。
The Model Idea for Core Literacy： The Enlightenment of Model Teaching in High School Mathematics Classroom
Jing Song
（Taian No.1 Senior High School， Taian， Shandong， 271000）
Abstract： As a tool to solve the problems in reality， mathematical modeling and the model idea play significant roles in the cultivation of mathematics core literacy. According to the understanding of current middle school teachers and students about the mathematical model idea and its application situation， this paper puts forward that the implement process and the cases of model idea are infiltrated into teaching， in the hope of developing and promoting students’ mathematics core literacy.
Key words： mathematical modeling; model idea; mathematics teaching; core literacy
【关键词】数学建模;建模思想;数学教学;核心素养
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）34-0110-03
21世纪以来，随着社会发展和教育方式的不断完善，在高中数学教学中，提高学生的核心素养这一目标在全国中学教纲中普遍体现，而数学建模教学正是提高学生数学核心素养的一种重要方法，并得到了全国各院校的重视。笔者通过深入课堂实际教学进行研究，针对教学中建模思想渗透的现状，探索出了一些高中数学建模教学的实施方法，希望能给一线教师和相关数学教学工作人员提供一些启示和参考。
1 教学中建模思想渗透的现状
史宁中教授认为数学模型思想是运用数学化的语言，对现实世界进行描述所依赖的一种思想，是数学与现实世界的纽带[1]。数学建模思想，是通过对现实世界中的实际问题或情境进行抽象建立数学模型，并运用数学模型解决类似问题的方法策略与意识观念，是对数学模型和数学建模的本质认识。学生的数学建模思想源于他们的数学实践活动，源于活动中对数学模型、数学建模及其内在必然联系的理解与思考，亲身经历数学建模实践是学生感悟与形成模型思想的最直接的载体和最有效的途徑。
当前大部分中学生对数学建模知识的应用延伸具有较大的兴趣，对数学建模思想的应用重要性有了一定的了解，乐意学习、掌握数学建模方法与理论，将数学知识与实际问题相联系，探索数学知识的运用，提升解决实际问题的能力。但部分学生在遇到实际情境中的数学问题时往往不知如何处理、如何思考，不知运用什么数学知识解决，这说明学生还缺乏用数学建模思想解决实际问题的理论和实践的训练。作为教师，需要进一步探讨研究如何在高中数学教学中渗透数学建模思想，并针对高中数学内容设计出合理、可行的数学建模实施方案。
2 教学中建模思想渗透的实施过程
《普通高中数学课程标准》要求的数学建模活动的基本过程[2]，如图1所示。为了更好地在数学教学中渗透数学建模思想，可按照如下六个环节实施课堂教学。
2.1 创设问题情境，引领学生思考
教师应根据学生的认知水平、课堂教学内容，参考教学进度，结合社会热点、生活实际，合理设计、选取数学建模问题作为课堂知识点教学的背景，创设问题情境，以此激发学生的学习兴趣，引导学生在数学情境中积极主动思考。必要时，可提供相应的知识作为储备，通过问题的提出，引导学生深入思考，加深对课堂学习内容和目标的理解。
2.2 搭建交流平台，达成合作共识
基于所创设的问题情境，引发学生对解决新问题的兴趣，继而对学生进行分组，使学生思维发生碰撞。可以先鼓励小组成员相互讨论，充分交流，相互质疑，在质疑、辩解中归纳、总结，形成小组内部的共同认识;然后提倡小组间相互交流、讨论，让学生借鉴其他小组解决问题的思路，进一步完善解决问题的方案。学生在自主发现、合作探究、质疑、归纳总结的过程中能得到学数学、用数学的体验。
2.3 抽象实际问题，构建数学模型
在学生已有问题解决方案的基础上，引导各小组学生对问题进行简化、假设、抽象，利用数学相关知识建立解决实际问题的数学模型。引导学生根据学习研究的主题内容更好地、更系统地对建立的数学模型进行对比、分析、归纳，使之更体系化，这样学生理解掌握起来就能达到事半功倍的效果。
2.4 理解数学知识，把握概念本质
依托实际问题背景，对实际问题的数学模型进行分析，获得解决问题的方法。将对问题的理解反馈到数学模型本身，梳理问题与数学模型间的对应关系，做到数学知识内容的具体化。由问题联系数学知识和方法，加深学生对抽象数学知识的理解、对概念本质的把握。
2.5 求解数学模型，反馈解释问题
对构建的不同数学模型，选择合适的方法进行求解分析。对于不同的假设模型，可反复验证分析，引导学生结合不同的模型对所分析问题出现的情况进行归纳，通过模型求解反馈解释问题，进一步加深学生对数学知识的认知和差异化理解。
2.6 拓展延伸训练，提高应用能力
以课堂教学内容为依据，在讲解的问题情境的基础上，让学生思考和推广、设计更多实际问题情境。然后根据上述过程，进行合作探究、质疑归纳、建立模型、求解模型等，以必备知识为例，各个知识点之间不是割裂的，而是处于整体知识网络之中[3]。将数学知识点以问题化、情境化，形成多样化的问题拓展模式。开展拓展延伸训练，降低抽象数学知识的学习难度，加深学生对数学知识点的认知和理解，增强学生的应用意识，提高学生应用数学知识解决问题的能力。
3 教学中建模思想渗透的实施案例
回归分析是对具有线性相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。在教学中，需要引导学生利用回归模型研究变量之间的随机关系，进行预测，参与数据分析全过程，并鼓励学生使用相应的统计软件。
过程一：创设问题情境，引领学生思考。
随着社会经济的快速发展，个人的饮食消费水平逐步提高。中学生每月的消费影响着他们的饮食消费水平，那么它们之间存在着怎样的关系？如何表示这种关系？
教学中，通过提出上述问题，引导学生写出自己每月的消费金额和饮食消费金额，进行数据化自主探索，寻求规律。
过程二：搭建交流平台，达成合作共识。 在学生自主思考、合作探究的基础上，让小组成员根据写出的数据进行分析、归纳。合作探究提纲如下：
（1）你每月消费的总金额是多少;
（2）你每月用于饮食的消费金额是多少;
（3）你每月的饮食消费金额与消费总金额之间具有怎样的关系;
（4）如何表示出每月饮食消费金额与消费总金额之间的关系;
（5）……
过程三：抽象实际问题，构建数学模型。
让学生将本小组成员写出的每月消费金额与饮食消费金额列举出来，如第五小组10名学生给出的如表1所示的数据。
根据表1的数据，让学生画出散点图，如图2所示。
基于图2的直观显示，引导学生判断消费金额与饮食消费金额的关系。不难看出，消费金额与饮食消费金额之间存在线性关系。
假设每月学生的消费金额为x，每月的饮食消费金额为y，则消费金额与饮食消费金额之间的关系为，其中、为回归系数，为不可测量的误差变量。
下面，针对如何求解回归系数、，引导学生进行分析。
过程四：理解数学知识，把握概念本质。
针对上述问题，以第五小组10名学生给出的数据为例，计算样本数据数字特征，如表2所示。
根据表2的内容，引导学生计算得到如下数据：，，从而得到消费总金额与饮食消费金额的回归直线方程为
通过图象（见图3）可以得出样本点分布在回归直线附近。
过程五：求解数学模型，反馈解释问题。
为求解模型，反馈解释原问题，引入MatLab统计工具箱中的回归分析命令。
[b，bint，r，rint，stats]=regress（Y，X，alpha）
带入数据，输入MatLab代码得，且的置信区间为[0.5084695，0.6337877]，的的置信区间为[10.19148，124.75445]，。
由可知，回归模型=67.47297+0.5711286x成立。作残差图，如图4
所示。
从图4可知，除第六个数据外，其余数据的残差离零点均接近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型=67.47297+0.5711286x拟合的效果比较好。
过程六：拓展延伸训练，提高应用能力。
根据第五小组10名学生给出的数据，对具有相关关系的两个变量之间的关系进行分析，引导学生运用Matlab程序对上述问题进行检验。教师可引导其他小组利用同样的思路，确定消费金额与饮食消费金额的关系，加深对回归分析方法的理解。类似地，可给出相似问题，引发学生思考，如身高与腿长之间的关系等。
在中学数学教学中，建模思想的渗透对学习、理解数学知识十分重要。因此，在课堂教学中，应运用数学建模思维，引导学生自主学习、合作探究，这对于数学知识的理解和数学建模核心素养的培养非常重要。通过数学建模课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，觉察到数学与现实之间的关联;学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践经验，加深对数学知识内容的理解;认识到数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升解决问题的实践能力，增强创新意识和科学精神，发展和提升数学建模
素养。
【参考文献】
[1]史宁中.关于高中数学教育中的数学核心素养[J].课程·教材·教法，2017（4）.
[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2018.
[3]教育部考試中心.中国高考评价体系说明[S].北京：人民教育出版社.2019.
【作者简介】
宋静（1982～），女，汉族，山东泰安人，本科，中教一级，教育硕士。研究方向：教育教学。
The Model Idea for Core Literacy： The Enlightenment of Model Teaching in High School Mathematics Classroom
Jing Song
（Taian No.1 Senior High School， Taian， Shandong， 271000）
Abstract： As a tool to solve the problems in reality， mathematical modeling and the model idea play significant roles in the cultivation of mathematics core literacy. According to the understanding of current middle school teachers and students about the mathematical model idea and its application situation， this paper puts forward that the implement process and the cases of model idea are infiltrated into teaching， in the hope of developing and promoting students’ mathematics core literacy.
Key words： mathematical modeling; model idea; mathematics teaching; core literacy