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〔关键词〕 中学数学;概念教学;淡
化;形成过程;理解程度
〔中图分类号〕 G633.6
〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463(2010)
09(A)—0028—02
随着素质教育的不断深入,现行的各种版本的数学教材都降低了对数学概念的要求,有许多数学概念都是描述性的,因而许多数学教师在教学过程中自然就淡化了对数学概念的处理。本人以为数学教材对概念进行淡化处理和数学教师不重视概念教学是不妥的。
数学概念是人类智慧的结晶,有许多概念是通过多少代人的努力才抽象和概括出来的。由于数学概念的高度抽象性和概括性,加上素质教育提倡要减轻学生负担,这使得在初中阶段学生接触到的许多概念都是描述性的,大部分学生对最基本的概念都是一头雾水,这显然不利于学生的数学学习。正如李邦河院士(2009年“华罗庚数学奖”获得者)所认为的:“数学玩的是概念,而不是纯粹的技巧,因为中小学里面的概念比较少,所以就在一些难题、技巧上下工夫,这恰恰是舍本逐末的做法,值得所有的数学教育工作者深思。”笔者也认为对数学概念的教学不但不应放松,反而更应该加强。而要做好这点,应从以下几个方面入手:
一、要让学生知道数学概念是人类智慧的结晶
许多数学概念的形成是多少代数学家经过艰辛的努力才提炼出来的,比如我们现在觉得非常自然、简单的自然数1、2、3、4……但人类认识“1”是非常不简单的,早期人们并不知道1,1是从大量的“一头牛、一头羊、……”中抽象出来的。而“0”的产生更是了不起,中国古代并没0这个数,用算筹表示数字,一根筷子是1,两根筷子是2,用空着的位置表示0。像负数、无理数的概念来的更是艰辛,有的甚至形成了当时的数学危机。
概念是一个抽象的东西,它包含了大量的具体的东西,一个概念越抽象它涵盖的具体的事物就越多,即外延越广。比如,刚刚说的“1”,它可以涵盖一个苹果、一个梨、一头牛……而自然数已经是数学中最简单的知识了,可见数学的起步就很抽象。但抽象和具体也是相对而言的,如1、2、3、4等数对具体的事情来说是抽象的,而在数学里又没有比它们更具体的了。
二、要让学生了解数学概念的形成过程
本人在前面已经提到好多数学概念的形成都经历了极其艰辛的过程,有几次甚至造成了当时的数学危机。如,中国古代对无理数的概念在理论上是没有的,但实际上又是运用的,小数后面多少位都行。比如“π”这个数,祖冲之曾算到3.1416,并知道可以无限往下算,这就有了无穷逼近的思想。极限的概念基本上有了,但是概念并没有明确提出,无理数概念的明确提出是到了微积分的时期,这时才对实数进行了一个完整的描述。只有让学生了解数学概念的形成过程,才能引起他们对概念学习的重视。
三、要让学生感受数学概念的简捷美
数学概念的一个主要特征为高度的概括性,正如宋玉《登徒子好色赋》中所说:“增之一分则太长,减之一分则太短。”如,对于“两点确定一条直线”这句话,谁也不能在里面加一个字或者减一个字,也不能用更简洁的词或者句来替换。还有“两点之间,线段最短”等等,教师可以引导学生去慢慢感受、体会,从而提高学生对概念学习的兴趣。
四、要让学生知道对数学概念的理解程度决定了他们对数学的学习程度
也许有人说我在有意夸大数学概念在数学教学中的地位和作用,其实对数学概念不重视的人是永远学不好数学的,并且随着对数学学习的逐步深入,这种表现越来越明显。如果在初中阶段不注重对数学概念的学习,到了知识爆炸的大学,数学是学不好的,并且越学越糊涂。比如,对于“经过两点的直线有一条,并且只有一条”这句话,大多数学生在理解时认为前一句话中的“有一条”意思说的已经非常清楚,后面的“并且只有一条”纯属多余。但是我们把这句话去掉的话,却是错误的。因为这个简单的数学概念包含了哲学的思想,前面的“有”说的是存在性,而后面的“只有”则说的是唯一性。如果去掉后一句话就意味着去掉了“唯一性”,这犯的是哲学错误,是个大错误。又比如“a≥b”,有好多学生,甚至有个别教师把它理解成“a大于等于b”,而大于等于的意思是大于并等于,也就是要求a大于b的同时还要等于b。而我们知道这样的两个数是不存在的,故应当理解成“a大于或等于b”,一定不能为了简便和省事把“或”字去掉。
五、命题组应适当出些关于数学概念的题目
虽然现在大唱素质教育,在大力减负,但是由于众多的原因,学生的考试成绩依然是评价学生和教师好坏的主要标准,高考和中考仍然作为教与学的指挥棒。我查阅了各地大量的数学中考和高考试题,发现其中有很少单纯考查数学概念的题目,最多也只有考查对数学概念理解程度的题目。
面对这样的现状,所有的数学教师自然降低了对数学概念的要求,只求“理解万岁”。比如,“有理数加法法则”有一条是这样的:绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。但我在教学中发现,虽然经过反复强调,学生还是把其中的“并用较大的绝对值减去较小的绝对值”说成“并用绝对值大的减去绝对值小的”。其实,这两句话的意思是完全不一样的,比如“-5+8”应当等于3,而如果用学生说的后一句话来理解的话,就是用绝对值大的数8减去绝对值小的数-5,就变成了8-(-5)=13。虽然好多学生是这样说的,但在做题时我发现他们又都是做对的,因此大多数教师在这句话上就不做过多的要求,长期下去就会导致学生对数学学习不求甚解。因此,我们一线的数学教师必须要培养学生严谨的态度和一丝不苟的精神。像上面这样的数学问题在一般的考试中分辨不出来,因此笔者认为在考试中适当出些记忆型的填空题才能弥补这方面的空白,才能使得所有的数学教师重视对数学概念的教学,才有助于教与学的发展。
六、教材不应当对许多概念做淡化处理
因为现在流行学“有用”的数学,所以几乎所有版本的教材对数学概念都做了淡化处理。初中阶段的许多概念一般都是描述性的,笔者认为这对学生数学的学习是无益的。数学本来从表面上看起来就是非常枯燥、高度抽象的,教师如果有意回避这个数学事实的话是很难培养出一流的学生的,更难培养出属于我们自己的一流的数学家。其实,初中阶段的学生已经有了一定的抽象思维能力,有相当一部分概念准确地给出来而不是描述出来,学生经过一定努力后还是能够理解的。当然,也有一部分概念学生无论怎样努力都很难理解,如初中阶段“集合”、“元素”的概念,故一般只能是描述性的。因此,作为一线的数学教师绝不能急功近利,忽视对数学概念的教学,不能把对数学概念的教学仅仅停留在“理解”上。
化;形成过程;理解程度
〔中图分类号〕 G633.6
〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463(2010)
09(A)—0028—02
随着素质教育的不断深入,现行的各种版本的数学教材都降低了对数学概念的要求,有许多数学概念都是描述性的,因而许多数学教师在教学过程中自然就淡化了对数学概念的处理。本人以为数学教材对概念进行淡化处理和数学教师不重视概念教学是不妥的。
数学概念是人类智慧的结晶,有许多概念是通过多少代人的努力才抽象和概括出来的。由于数学概念的高度抽象性和概括性,加上素质教育提倡要减轻学生负担,这使得在初中阶段学生接触到的许多概念都是描述性的,大部分学生对最基本的概念都是一头雾水,这显然不利于学生的数学学习。正如李邦河院士(2009年“华罗庚数学奖”获得者)所认为的:“数学玩的是概念,而不是纯粹的技巧,因为中小学里面的概念比较少,所以就在一些难题、技巧上下工夫,这恰恰是舍本逐末的做法,值得所有的数学教育工作者深思。”笔者也认为对数学概念的教学不但不应放松,反而更应该加强。而要做好这点,应从以下几个方面入手:
一、要让学生知道数学概念是人类智慧的结晶
许多数学概念的形成是多少代数学家经过艰辛的努力才提炼出来的,比如我们现在觉得非常自然、简单的自然数1、2、3、4……但人类认识“1”是非常不简单的,早期人们并不知道1,1是从大量的“一头牛、一头羊、……”中抽象出来的。而“0”的产生更是了不起,中国古代并没0这个数,用算筹表示数字,一根筷子是1,两根筷子是2,用空着的位置表示0。像负数、无理数的概念来的更是艰辛,有的甚至形成了当时的数学危机。
概念是一个抽象的东西,它包含了大量的具体的东西,一个概念越抽象它涵盖的具体的事物就越多,即外延越广。比如,刚刚说的“1”,它可以涵盖一个苹果、一个梨、一头牛……而自然数已经是数学中最简单的知识了,可见数学的起步就很抽象。但抽象和具体也是相对而言的,如1、2、3、4等数对具体的事情来说是抽象的,而在数学里又没有比它们更具体的了。
二、要让学生了解数学概念的形成过程
本人在前面已经提到好多数学概念的形成都经历了极其艰辛的过程,有几次甚至造成了当时的数学危机。如,中国古代对无理数的概念在理论上是没有的,但实际上又是运用的,小数后面多少位都行。比如“π”这个数,祖冲之曾算到3.1416,并知道可以无限往下算,这就有了无穷逼近的思想。极限的概念基本上有了,但是概念并没有明确提出,无理数概念的明确提出是到了微积分的时期,这时才对实数进行了一个完整的描述。只有让学生了解数学概念的形成过程,才能引起他们对概念学习的重视。
三、要让学生感受数学概念的简捷美
数学概念的一个主要特征为高度的概括性,正如宋玉《登徒子好色赋》中所说:“增之一分则太长,减之一分则太短。”如,对于“两点确定一条直线”这句话,谁也不能在里面加一个字或者减一个字,也不能用更简洁的词或者句来替换。还有“两点之间,线段最短”等等,教师可以引导学生去慢慢感受、体会,从而提高学生对概念学习的兴趣。
四、要让学生知道对数学概念的理解程度决定了他们对数学的学习程度
也许有人说我在有意夸大数学概念在数学教学中的地位和作用,其实对数学概念不重视的人是永远学不好数学的,并且随着对数学学习的逐步深入,这种表现越来越明显。如果在初中阶段不注重对数学概念的学习,到了知识爆炸的大学,数学是学不好的,并且越学越糊涂。比如,对于“经过两点的直线有一条,并且只有一条”这句话,大多数学生在理解时认为前一句话中的“有一条”意思说的已经非常清楚,后面的“并且只有一条”纯属多余。但是我们把这句话去掉的话,却是错误的。因为这个简单的数学概念包含了哲学的思想,前面的“有”说的是存在性,而后面的“只有”则说的是唯一性。如果去掉后一句话就意味着去掉了“唯一性”,这犯的是哲学错误,是个大错误。又比如“a≥b”,有好多学生,甚至有个别教师把它理解成“a大于等于b”,而大于等于的意思是大于并等于,也就是要求a大于b的同时还要等于b。而我们知道这样的两个数是不存在的,故应当理解成“a大于或等于b”,一定不能为了简便和省事把“或”字去掉。
五、命题组应适当出些关于数学概念的题目
虽然现在大唱素质教育,在大力减负,但是由于众多的原因,学生的考试成绩依然是评价学生和教师好坏的主要标准,高考和中考仍然作为教与学的指挥棒。我查阅了各地大量的数学中考和高考试题,发现其中有很少单纯考查数学概念的题目,最多也只有考查对数学概念理解程度的题目。
面对这样的现状,所有的数学教师自然降低了对数学概念的要求,只求“理解万岁”。比如,“有理数加法法则”有一条是这样的:绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。但我在教学中发现,虽然经过反复强调,学生还是把其中的“并用较大的绝对值减去较小的绝对值”说成“并用绝对值大的减去绝对值小的”。其实,这两句话的意思是完全不一样的,比如“-5+8”应当等于3,而如果用学生说的后一句话来理解的话,就是用绝对值大的数8减去绝对值小的数-5,就变成了8-(-5)=13。虽然好多学生是这样说的,但在做题时我发现他们又都是做对的,因此大多数教师在这句话上就不做过多的要求,长期下去就会导致学生对数学学习不求甚解。因此,我们一线的数学教师必须要培养学生严谨的态度和一丝不苟的精神。像上面这样的数学问题在一般的考试中分辨不出来,因此笔者认为在考试中适当出些记忆型的填空题才能弥补这方面的空白,才能使得所有的数学教师重视对数学概念的教学,才有助于教与学的发展。
六、教材不应当对许多概念做淡化处理
因为现在流行学“有用”的数学,所以几乎所有版本的教材对数学概念都做了淡化处理。初中阶段的许多概念一般都是描述性的,笔者认为这对学生数学的学习是无益的。数学本来从表面上看起来就是非常枯燥、高度抽象的,教师如果有意回避这个数学事实的话是很难培养出一流的学生的,更难培养出属于我们自己的一流的数学家。其实,初中阶段的学生已经有了一定的抽象思维能力,有相当一部分概念准确地给出来而不是描述出来,学生经过一定努力后还是能够理解的。当然,也有一部分概念学生无论怎样努力都很难理解,如初中阶段“集合”、“元素”的概念,故一般只能是描述性的。因此,作为一线的数学教师绝不能急功近利,忽视对数学概念的教学,不能把对数学概念的教学仅仅停留在“理解”上。