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《中学数学杂志》(初中)2015年第12期刊登了黄兆麟老师的“一个与垂心有关的三角形面积公式”一文(文[1]),巧妙利用三角形垂顶距与其外接圆半径,给出了锐角三角形的一个漂亮的面积公式.阅后深受启发,笔者另觅新径,深入研究,发现和证明了如下的三角形垂顶径定理(查阅了大量的文献资料,没有此种论述).
为方便读者对比阅读,仍沿用文[1]的字母.
三角形垂顶径定理如图1或2,设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,三条高线分别为AE、BF、CG,又R、H分别为外接圆半径及垂心,三个垂顶距HA=u,HB=v,HC=w,则R是一元三次方程4x3-(u2 v2 w2)x±uvw=0的一个正实数根(对钝角和锐角三角形ABC,uvw前分别取正负号,直角三角形正负均可).
证明
如图1或2,连接BO交外接圆O于M,再连
接AM和MC,则有MA⊥AB,MC⊥BC,又因CH⊥AB,AH⊥BC(垂心性质),所以AM∥HC,AH∥MC,所以四边形AMCH为平行四边形,故有MC=AH=u,AM=HC=w.又在Rt△ABM和Rt△BMC中,
AB=BM2-AM2,BC=BM2-MC2即c=4R2-w2,a=4R2-u2,同理可证AC=b=4R2-v2.在圆内接四边形ABCM中,由托勒密定理得,
AM·BC MC·AB=BM·AC,即w4R2-u2
u4R2-w2=2R4R2-v2,移项得w4R2-u2=2R4R2-v2-u4R2-w2
化简整理得,
R2[4R2-(u2 v2 w2)]2=(uvw)2. ①
以下分三种情况:
(1)如图1,对于锐角三角形ABC及其外接圆O,在Rt△BHE中,∠BEH=90°,∠BHE为锐角,故其补角∠AHB必为钝角,所以cos∠AHB<0,又在△AHB中,由余弦定理得,c2-u2-v2=-2uvcos∠AHB>0,又c2=4R2-w2,故4R2-(u2 v2 w2)>0,此时,由①得R[4R2-(u2 v2 w2)]=uvw,于是4R3-(u2 v2 w2)R-uvw=0. ②
(2)同理,如图2,对于钝角三角形ABC及其外接圆O,在Rt△BHE中,∠BHE为锐角,故cos∠BHA>0,在△AHB中,仿上由余弦定理得,4R2-(u2 v2 w2)=-2uvcos∠BHA<0.
故由①得R[4R2-(u2 v2 w2)]=-uvw,
于是4R3-(u2 v2 w2)R uvw=0.③
(3)如图3,对于直角△ABC,其直角顶点B与其垂心H重合.
所以HA=u,HB=v=0,HC=w,斜边AC=2R.
将它们代入②或③,②、③均成立,(注意到勾股定理u2 w2=AC2=4R2)
综合②、③得,4R3-(u2 v2 w2)R±uvw=0(△ABC为钝角和锐角三角形时,uvw前分别取正负号),直角三角形正负均可).
垂顶径定理获证.由于定理涉及的三次方程求解较为复杂,留给读者解决,若求出此根,将重新改写文[1]的三角形面积公式.
参考文献
[1]黄兆麟.一个与垂心有关的三角形面积公式[J].中学数学杂志,2015(12):60
为方便读者对比阅读,仍沿用文[1]的字母.
三角形垂顶径定理如图1或2,设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,三条高线分别为AE、BF、CG,又R、H分别为外接圆半径及垂心,三个垂顶距HA=u,HB=v,HC=w,则R是一元三次方程4x3-(u2 v2 w2)x±uvw=0的一个正实数根(对钝角和锐角三角形ABC,uvw前分别取正负号,直角三角形正负均可).
证明
如图1或2,连接BO交外接圆O于M,再连
接AM和MC,则有MA⊥AB,MC⊥BC,又因CH⊥AB,AH⊥BC(垂心性质),所以AM∥HC,AH∥MC,所以四边形AMCH为平行四边形,故有MC=AH=u,AM=HC=w.又在Rt△ABM和Rt△BMC中,
AB=BM2-AM2,BC=BM2-MC2即c=4R2-w2,a=4R2-u2,同理可证AC=b=4R2-v2.在圆内接四边形ABCM中,由托勒密定理得,
AM·BC MC·AB=BM·AC,即w4R2-u2
u4R2-w2=2R4R2-v2,移项得w4R2-u2=2R4R2-v2-u4R2-w2
化简整理得,
R2[4R2-(u2 v2 w2)]2=(uvw)2. ①
以下分三种情况:
(1)如图1,对于锐角三角形ABC及其外接圆O,在Rt△BHE中,∠BEH=90°,∠BHE为锐角,故其补角∠AHB必为钝角,所以cos∠AHB<0,又在△AHB中,由余弦定理得,c2-u2-v2=-2uvcos∠AHB>0,又c2=4R2-w2,故4R2-(u2 v2 w2)>0,此时,由①得R[4R2-(u2 v2 w2)]=uvw,于是4R3-(u2 v2 w2)R-uvw=0. ②
(2)同理,如图2,对于钝角三角形ABC及其外接圆O,在Rt△BHE中,∠BHE为锐角,故cos∠BHA>0,在△AHB中,仿上由余弦定理得,4R2-(u2 v2 w2)=-2uvcos∠BHA<0.
故由①得R[4R2-(u2 v2 w2)]=-uvw,
于是4R3-(u2 v2 w2)R uvw=0.③
(3)如图3,对于直角△ABC,其直角顶点B与其垂心H重合.
所以HA=u,HB=v=0,HC=w,斜边AC=2R.
将它们代入②或③,②、③均成立,(注意到勾股定理u2 w2=AC2=4R2)
综合②、③得,4R3-(u2 v2 w2)R±uvw=0(△ABC为钝角和锐角三角形时,uvw前分别取正负号),直角三角形正负均可).
垂顶径定理获证.由于定理涉及的三次方程求解较为复杂,留给读者解决,若求出此根,将重新改写文[1]的三角形面积公式.
参考文献
[1]黄兆麟.一个与垂心有关的三角形面积公式[J].中学数学杂志,2015(12):60