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例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为_______.
【错解】只答60°.
【错因剖析】很多同学在画图的过程中，由于思维定势或不严密，导致习惯性地画了顶角为锐角的等腰三角形，如图1，从而有∠ABD=30°，故顶角为60°.而等腰三角形从角的度数来分，也分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，而这三类三角形各边上的高的位置各不相同，锐角三角形的三条高均在形内，直角三角形有两条高就是直角边，而钝角三角形有两条高在形外.当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高就在形外，如图2，则∠ABD=30°，得顶角为120°. 正确答案为60°或120°.
例2 如图3，△ABC中，点D是边BC上的点，连接AD.
（1） 若AD⊥BC，点D是BC的中点，则AD平分∠BAC.
（2） 若AD平分∠BAC，点D是BC的中点，则AD⊥BC.
【错解】不少同学认为（1）、（2）都可由“三线合一”直接得到.
【错因剖析】等腰三角形的“三线合一”性质的运用前提是AB=AC，然后当底上的AD是“高线、中线、顶角平分线”中的一线时，AD才必然是另外的两线.而有些同学认为只要具备了两线合一时，就可以用“三线合一”得出等腰三角形，这是本末倒置.因此，同学们在用定理进行推理的时候一定要弄清条件和结论的关系，切忌胡乱套用.
解： （1） 先由垂直平分线的性质得AB=AC，再可用“三线合一”来说明AD平分∠BAC ；问题（2）则需延长AD至点E，使DE=AD，再连接BE，可证△ADC≌△EDB，得AC=BE，∠BAD=∠DAC=∠BED，故AB=BE=AC，然后再用“三线合一”可证明AD⊥BC.
【错因剖析】漏解.如图4，首先弦AB、AC相对于圆心O的位置可分为圆心同侧和异侧两种，很多同学画图时没有同时想到这两种情况；然后，如何计算∠BAC也具有一定的难度，很多同学不能构造合适的三角形，使∠BAC与∠CAO、∠BAO建立联系.
例4 下列命题是真命题的是（ ）.
A. 对角线互相相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 矩形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
【错因剖析】用对角线的条件来说明特殊四边形必须以平行四边形为基础，因为矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，是在平行四边形的基础上增加条件而形成的.所以，仅用对角线的条件来判断特殊四边形可以用对角线互相平分来代替平行四边形.就是说，用对角线的条件来说明矩形、菱形和正方形必须以“平行四边形”或“对角线互相平分”的条件为基础.而矩形、菱形和正方形这些特殊四边形都具备平行四边形的一切性质，要防止特殊四边形之间的性质混用，可以借助图形来记忆. 正确答案为D.
（1） 当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；
（2） 以P为圆心、PQ长为半径作圆，问在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
【解析】（1） 连接BD交AC于O，构建直角△AOB. 利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论.
当圆心P继续运动，则⊙P与边BC由相切变为相交，从而⊙P与边BC有2个公共点，直至⊙P的半径逐渐变大而⊙P刚好经过点B时，这是第二种特殊情况.如图7，⊙P过点B，此时PQ=PB，根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形，然后由等边三角形的性质以及（2） 中求得t的值来确定此时t的取值范围；
当圆心P继续运动，则⊙P与直线BC保持相交，但⊙P越过点B，与边BC就只有一个公共点了，直至⊙P的半径逐渐变大而⊙P刚好经过点C时，这是第三种特殊情况.如图8，⊙P过点C，此时PC=PQ，据此等量关系列出关于t的方程，通过解方程求得t的值.
当圆心P继续运动，则⊙P越过了点C，与边BC就没有公共点了，但是当圆心P运动至点C时，则点Q运动到了点B，此时⊙P与边BC有1个公共点B，则AQ=AB.
【错因剖析】很多同学很难根据两个动点的运动过程来画出⊙P与边BC不同的位置情况及特殊情况（或称临界状态）进行分类讨论，如图6、图7、图8，而每种临界状态对应了线段之间的数量关系，是建立关于t的方程的依据，但是很多同学不能发现每种临界状态所隐含的数量关系，从而导致面对此题束手无策.
如图7，⊙P过点B，此时PQ=PB，∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°，
∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1.
当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有1个公共点.
【错解】只答60°.
【错因剖析】很多同学在画图的过程中，由于思维定势或不严密，导致习惯性地画了顶角为锐角的等腰三角形，如图1，从而有∠ABD=30°，故顶角为60°.而等腰三角形从角的度数来分，也分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，而这三类三角形各边上的高的位置各不相同，锐角三角形的三条高均在形内，直角三角形有两条高就是直角边，而钝角三角形有两条高在形外.当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高就在形外，如图2，则∠ABD=30°，得顶角为120°. 正确答案为60°或120°.
例2 如图3，△ABC中，点D是边BC上的点，连接AD.
（1） 若AD⊥BC，点D是BC的中点，则AD平分∠BAC.
（2） 若AD平分∠BAC，点D是BC的中点，则AD⊥BC.
【错解】不少同学认为（1）、（2）都可由“三线合一”直接得到.
【错因剖析】等腰三角形的“三线合一”性质的运用前提是AB=AC，然后当底上的AD是“高线、中线、顶角平分线”中的一线时，AD才必然是另外的两线.而有些同学认为只要具备了两线合一时，就可以用“三线合一”得出等腰三角形，这是本末倒置.因此，同学们在用定理进行推理的时候一定要弄清条件和结论的关系，切忌胡乱套用.
解： （1） 先由垂直平分线的性质得AB=AC，再可用“三线合一”来说明AD平分∠BAC ；问题（2）则需延长AD至点E，使DE=AD，再连接BE，可证△ADC≌△EDB，得AC=BE，∠BAD=∠DAC=∠BED，故AB=BE=AC，然后再用“三线合一”可证明AD⊥BC.
【错因剖析】漏解.如图4，首先弦AB、AC相对于圆心O的位置可分为圆心同侧和异侧两种，很多同学画图时没有同时想到这两种情况；然后，如何计算∠BAC也具有一定的难度，很多同学不能构造合适的三角形，使∠BAC与∠CAO、∠BAO建立联系.
例4 下列命题是真命题的是（ ）.
A. 对角线互相相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 矩形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
【错因剖析】用对角线的条件来说明特殊四边形必须以平行四边形为基础，因为矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，是在平行四边形的基础上增加条件而形成的.所以，仅用对角线的条件来判断特殊四边形可以用对角线互相平分来代替平行四边形.就是说，用对角线的条件来说明矩形、菱形和正方形必须以“平行四边形”或“对角线互相平分”的条件为基础.而矩形、菱形和正方形这些特殊四边形都具备平行四边形的一切性质，要防止特殊四边形之间的性质混用，可以借助图形来记忆. 正确答案为D.
（1） 当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；
（2） 以P为圆心、PQ长为半径作圆，问在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
【解析】（1） 连接BD交AC于O，构建直角△AOB. 利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论.
当圆心P继续运动，则⊙P与边BC由相切变为相交，从而⊙P与边BC有2个公共点，直至⊙P的半径逐渐变大而⊙P刚好经过点B时，这是第二种特殊情况.如图7，⊙P过点B，此时PQ=PB，根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形，然后由等边三角形的性质以及（2） 中求得t的值来确定此时t的取值范围；
当圆心P继续运动，则⊙P与直线BC保持相交，但⊙P越过点B，与边BC就只有一个公共点了，直至⊙P的半径逐渐变大而⊙P刚好经过点C时，这是第三种特殊情况.如图8，⊙P过点C，此时PC=PQ，据此等量关系列出关于t的方程，通过解方程求得t的值.
当圆心P继续运动，则⊙P越过了点C，与边BC就没有公共点了，但是当圆心P运动至点C时，则点Q运动到了点B，此时⊙P与边BC有1个公共点B，则AQ=AB.
【错因剖析】很多同学很难根据两个动点的运动过程来画出⊙P与边BC不同的位置情况及特殊情况（或称临界状态）进行分类讨论，如图6、图7、图8，而每种临界状态对应了线段之间的数量关系，是建立关于t的方程的依据，但是很多同学不能发现每种临界状态所隐含的数量关系，从而导致面对此题束手无策.
如图7，⊙P过点B，此时PQ=PB，∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°，
∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1.
当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有1个公共点.