编者按：“学前儿童数学学习的表现性评价”课题研究已历经三年，现暂告一段落。研究的第一年。课题组重点探究了儿童在活动区活动中的个别化学习以及教师如何观察和评价儿童，如何与儿童进行个别化互动（相关研究成果已刊发在本刊2010年第12期）。研究的第二年，课题组引入了新西兰学者Margaret Cart博士的学习故事评价法，重点探讨了如何运用学习故事评价法对儿童的数学学习进行观察、评价和回应（相关研究成果已刊发在本刊2012年第6期）。研究的第三年，课题组在上海市的5所幼儿园开展了集体数学教学活动中教师如何观察、评价和回应儿童学习的实践研究。在集体数学教学活动中，教师要保持对儿童学习行为的敏感，根据大多数儿童的情况或需要作出反应，并不是一件容易的事，它意味着集体数学教学活动的设计和实施要有一定的开放性和灵活性。既要有预设，又要有生成，力争做到“儿童在前，教师在后”。下面这组文章是课题组第三年的相关研究成果。
　　按照皮亚杰的观点。学前儿童的思维具有表象性，他们的学习需要通过操作学习材料，自主建构认知结构来完成。也就是说，对具体事物的感知和操作是学前儿童形成经验结构和智慧结构的主要方式。因此，学前儿童掌握抽象的符号与概念必须伴随具体的经验与活动。金斯伯格（Ginsburg）认为，将幼儿数学活动建立在具体实物和操作行动上是非常有意义的，如果缺少具体实物和其他特殊经验，幼儿可能把数学活动看成无趣也无意义的活动。给儿童提供充足的学习材料是实现幼儿园的教学活动目标特别是数学活动目标的前提。现有的研究已经表明，提供充足的学习材料将会提高教育质量和儿童的学业成绩。与此同时，教师介入幼儿的学习对于幼儿认知的建构是非常重要的。教师通过观察幼儿与学习材料的互动可以了解幼儿的学习并作出积极的回应。教师对幼儿学习的回应是使教学充满生命力，提高教学有效性的保证。下面以大班集体数学教学活动“小老鼠买米”为例，探讨教师应该如何依据教学情境灵活地选择和利用学习材料，随机应变地调整教学策略，满足不同幼儿的发展需求，支持和促进幼儿自主学习、主动建构。
　　【案例】
　　名称：小老鼠买米（大班）
　　目标：乐意探索，尝试用米做实验，感知容量守恒现象。
　　过程：
　　第一个环节：教师创设老鼠去米店买米的情景，激发幼儿思考，同时引导幼儿讨论是高而细的罐子里的米多还是矮而粗的罐子里的米多，并说出理由。幼儿通过目测各抒己见，说出了几种不同的答案。教师提问：“可以用什么好方法比一比两个罐子里的米？”并让幼儿充分交流自己的想法。
　　第二个环节：教师提供操作材料（米、形状不同容量相同的容器2套、大罐子1个、杯子1个），先让幼儿观察。然后提出问题：“观察这些罐子后，你发现了什么？你想用哪些罐子来比一比呢？怎么比？”在幼儿与教师和同伴交流后，教师让幼儿操作材料，用自己的方法去比一比，看看结果会怎么样。在幼儿操作的过程中。教师观察幼儿在解决问题时运用的策略，给需要帮助的幼儿提供适当的指导。
　　第三个环节：幼儿相互交流操作方法和比较的结果，教师记录其操作方法并进行梳理和小结。通过交流，幼儿在感受“一样多”的同时体验探索方法的多样性。教师小结：虽然瓶子的外形不同，装的米看起来不一样多，但实际上它们装的米是一样多的。同时，引导幼儿思考其原因。
　　延伸活动：教师在活动区投放圆圆的和方方的两罐米，让幼儿想办法比一比这两罐米是不是一样多。
　　一、通过观察和倾听，根据幼儿的已有经验提供学习材料
　　观察和倾听是教师对幼儿学习作出有效回应的前提。幼儿认知的建构是建立在他们已有经验的基础上的，教师首先要通过观察和倾听了解幼儿已有的认知水平和知识经验，选择适合幼儿发展水平的学习材料，而且最好是幼儿熟悉且能体现数学知识生活原型的。幼儿生活在数学的世界里，数学教学活动如果来源于生活，取材于生活，或者以生活情景为素材，对幼儿的学习就会更加有意义。在案例中，教师将空的可乐瓶和矿泉水瓶修剪成大号和中号的“米罐”，把一次性纸杯当成最小的“米罐”。这些简单且幼儿熟悉的学习材料与“小老鼠买米”这个生活情景结合起来，能帮助幼儿将数学知识与现实生活建立联系，从而在操作过程中感悟数学知识的现实意义。
　　幼儿能在与学习材料互动的过程中发现问题、探究问题和解决问题。教师要注意学习材料的开放性和结构性。如果学习材料的结构性过高。就容易限制幼儿的想象和操作；如果学习材料过于开放，就容易使操作流于形式。不易达成学习目标。在案例中，教师提供给幼儿的学习材料具有适度的开放性，既让幼儿在操作学习中获得数学经验和知识，又不限制幼儿的操作思路。同时，这些学习材料也具有一定的结构性，能够让幼儿通过操作揭示知识的本质，经过探究理解问题的内部表征，从而使探究活动深刻且具有目的性。此外，学习材料的数量不能过多也不能过少。在案例中，适量的学习材料为幼儿的学习提供了良好的外部条件。如果学习材料过多，就会分散幼儿的注意力，也有可能导致幼儿一筹莫展或者因思路混乱而盲目操作，反而干扰了学习；如果学习材料过少，也就无法满足每个幼儿的学习需要，可能降低教学和学习的有效性。
　　二、回应不同层次幼儿的学习要求，充分利用学习材料引导幼儿深入学习
　　在案例中，教师把全体幼儿分成2人一组，给每个幼儿提供装满米的两个罐子，再加上白色的宽而矮的罐子1个，高而窄的罐子1个，以及小罐子1个（如图）。幼儿可以自由猜想到底哪个罐子里的米多。教师鼓励幼儿利用这些材料。把米从一个罐子倒入另一个罐子。从而验证自己的猜想。幼儿数学学习的过程实质上是大脑感知、注意、分析、比较、理解和整合学习材料的过程。在动手操作学习材料的过程中，幼儿可以通过多种感觉通道的学习，增加感性认识的渠道和拓展认识的角度；他们通过比较、排列、分析、组合等建立事物之间的关系，解决问题，形成新的图式。
　　首先，在选择学习材料时，教师应该考虑到让每个幼儿都能经过探索解决问题，真正成为主动的学习者、探究者和发现者。这就需要教师把握不同发展水平幼儿对学习材料的需求。不同层次的学习材料可以使不同能力的幼儿都能产生认知冲突，有效地理解学习内容。因此，教师要提供不同层次的学习材料。在案例中，教师给每组幼儿提供的学习材料虽是一样的，但实际上隐含了层次性。因为对罐子的不同选择和选择的罐子数量不同以及操作步骤不同体现了不同的学习过程。换言之，幼儿对罐子的选择、组合以及操作程序体现了学习材料的层次性。 　　其次，把教学目标和内容隐含于探索学习材料的过程中，引导幼儿通过操作学习材料发现数学关系，获得数学知识，发展数学能力。在案例中，幼儿需要验证两个不同形状的罐子里的米哪个多，就必须把其中一个罐子里的米倒入另一个罐子，再比较两个相同形状的罐子里的米是否相等。幼儿在操作学习材料的时候，重要的不是得出正确答案，而是对自己的行为进行思考。只有这样，才能发挥学习材料的价值。教师在教学过程中不仅观察幼儿操作是否成功。还引导幼儿思考为什么会出现这种现象。这种思考有利于发展幼儿相互性、恒同性、逆反性三种逻辑运算的协调，真正理解守恒。
　　学习材料的有效性体现在对学习材料的利用程度上。即使是最简单的材料，只要充分利用就能发挥出不可估量的价值。在案例中，幼儿在操作学习材料的过程中自主开展了小组合作学习，他们相互交换罐子，反复操作，相互交流，分享各自的操作结果。许多研究显示，幼儿之间的合作交流能刺激幼儿的省思能力，对知识的建构有益。幼儿在合作学习中能够比在单独学习中学到更多的知识。教师在教学中要灵活应变。充分调动幼儿的主动性和创造性，允许幼儿合理、灵活地处理学习材料，鼓励同伴间的合作，这样能使幼儿更加投入地学习，更加有效地达成学习目标。教师甚至可以采取一些方法支持幼儿同伴之间的合作和学习，如可以在观察的基础上适时介入幼儿的学习，通过提问和提示的方式引发幼儿间的合作。
　　三、为幼儿学习搭建鹰架，及时增减学习材料以支持幼儿学习
　　教师对于幼儿学习起着积极的作用。教师可以运用策略为幼儿搭建鹰架，引导他们主动学习，帮助他们解决问题和学会学习。相比于其他年龄阶段的儿童，学前儿童的学习更需要成人的介入与支持。
　　在案例中。幼儿在操作过程中发现了不同的验证方法，但是由于教师没有提供记录纸，所以在分享操作结果的时候，大部分幼儿只是表达了当前的操作结果。这给整个教学活动留下了遗憾。在反思这一教学活动时，我们认识到及时增加学习材料的重要性。改进的措施就是。教师在幼儿操作过程中根据幼儿的学习表现，及时提供记录纸，以利于幼儿利用符号表征的方式记录自己的操作结果，帮助幼儿注意到整体与部分的关系，“反思”和“内省”自己的学习过程。
　　材料的增减看似简单，却蕴含着教师的教育理念和教学艺术，体现了教师在为幼儿学习搭建“鹰架”。在案例中，教师的预设是幼儿利用三种型号的罐子来验证自己的猜想，但在实际活动中，所有幼儿都没有用最小的罐子。如果用最小的罐子来验证两罐米是否一样多，需要幼儿用小罐子测量两罐米的数量，然后进行比较。用测量的方式来验证两罐米一样多对幼儿思维提出了更高的要求。它不仅要求幼儿具有用数字表征数量的能力。而且要求幼儿具有一定的逻辑推理能力。在熟悉的情景中，在可选择的情况下，幼儿倾向于选择简单而熟悉的策略来解决问题。幼儿的学习过程是具有情境性、内隐性和不可控性的，但是教师可以通过增减学习材料来支持幼儿的学习。如果教师能够在教学中及时发现这个问题，并且给幼儿提供二次操作的机会，那么在拿走大号罐子和中号罐子，只留下小罐子的情况下，就可以促使幼儿去思考如何用小罐子来证明两个罐子里的米一样多。
　　四、鼓励幼儿进行多维思考，生成学习材料
　　教学活动是幼儿与教师、学习材料等互动的结果，每次教学活动都是教师与幼儿的智慧进发的过程；教学是一种行进，沿途有许多“出乎意料”的精彩。有效教学是“充满预设与动态生成的辩证统一”。教师预设的教学固然有着不可替代的价值，在教学中发生的情况、新事物或生发出新的教学资源，也是“充满着不可预知的附加价值和有意义的衍生物，是教学活动得以提高和升华的生长点和脚手架”。教师要精确地把握教学内容和幼儿学习的实质，把学习材料看成是活的载体，根据新情况生成新的学习材料。在案例中，教师预设了几种幼儿操作的结果，但在实际操作过程中，幼儿的学习结果大大出乎意料。教师鼓励幼儿大胆表达自己的想法和学习成果，根据幼儿报告的学习结果，随机应变地用记号笔在白纸上画下了幼儿的学习结果，并且让幼儿比较教师预想的学习结果和自己在操作学习中得来的学习结果的差异。
　　教师在这个教学情景中不仅正确判断出幼儿学习生成的内容的价值。而且利用生成的学习材料引导幼儿通过比较、分析进一步理解不同的学习方式。幼儿通过比较、分析，初步理解和感知了虽然两个罐子的形状不同，但是两个罐子里的米还是一样多。可以说，幼儿的学习不仅仅是“个人头脑中的符号操作”，也是“同环境、他者‘协调’。‘构筑’知识的行为”。学习需要发挥个体的主动性，也要求与他者进行互动、磋商、讨论。数学虽然是一门逻辑性非常强的学科，它仍然需要以语言为基础，用规则来表达。在语言交流和沟通中，幼儿分享了他人的探索过程，相互交换了知识，拓展了思维，提升了认识。
　　五、拓展学习材料，引导幼儿迁移学习经验，以内化知识概念
　　幼儿学习的目的不是将某种经验牢记于心。而是能够在不同的情境中迁移已有的学习经验来解决各种问题。研究表明，幼儿要内化某种概念必须有大量的实物操作和实践经验。守恒对于幼儿来说是个知识难点，需要反复的练习和操作才能逐步内化为图式结构。因此，要通过拓展学习材料来引导幼儿迁移学习经验，最终达到内化知识概念的目的。
　　数学是逻辑性和系统性很强的学科，学习数学不仅要讲究逻辑性，还要讲究系统性。在选择学习材料的时候，教师不仅要考虑其是否承载了学习目标和学习任务，也要考虑其对幼儿后续学习能否产生重要影响。后续学习材料的运用是教学活动的补充和延伸，是一种变式的练习。在这个教学活动中，教师在活动区提供了其他形状的罐子，幼儿可以通过操作来验证罐子的形状改变了，但是两个罐子里的米还是一样多。这种变式的练习给幼儿提供了迁移学习经验的机会，让幼儿原有的认知结构不断分化和重新组织，从而获得新知识方面明确而稳定的意义。影响幼儿数学学习迁移的外部因素有教学环境的差异和学习材料的特性等。在上述案例中，教师提供的学习材料很容易与幼儿已有的经验发生联系；而后续学习材料的操作又使幼儿原有的知识发生了意义上的变化。
　　总之，学习材料是幼儿数学学习的重要媒介。教师既要关注学习材料的呈现方式和动态生成，也要注意学习材料对学习内容的传递以及充分挖掘学习材料的丰富价值。只有精心准备学习材料，合理、智慧地运用学习材料，数学教学的有效性才能更高。