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【摘 要】 中小学是个体创新素养形成的决定性阶段，以课堂为主阵地，深耕概念，从概念的源头进行创新，可以有效提高中小学生的创新素养。在教学实践中，概念创新教学的常规路径是隐藏学生最模糊的抽象认识，提供学生最适合的研究素材，触发学生最原生的经验世界，激活学生最大胆的求新突破，沟通学生最熟知的知识系统等。
【关键词】 小学数学；概念创新；教学路径
【作者简介】 薛正桧，一级教师 。
相关研究表明，目前我国中小学生创新素养水平总体偏低，还存在一系列不利于提高中小学生创新素养水平的制约因素。要改变这一状况，我们有必要进一步明确培养目标，努力营造创新文化氛围，注重培养学生的创新品格和创新思维习惯[1]。一般来说，创新分三个层次，即概念创新、技术创新和应用创新，其中概念创新是源头。以一个完整的知识链来说，概念创新对应“是什么”，技术创新对应“怎么得到”，应用创新对应“有什么用”。学习知识如果不把基本的概念搞清楚，不知道它生发的原因以及思想的突破点，即使知道怎么得到它、如何运用它，那也是不完备的，是无源之水、无本之木[2]。中小学是个体创新素养形成的决定性阶段，利用课堂深耕概念是教师提高中小学生创新素养的重要举措。
一、清零：隐藏学生最模糊的抽象认识
作为现代学习型社会中的一分子，学生在进入课堂之前已经具备了不少跟课堂内容相关的，或感性或理性、或清晰或模糊、或正确或错误的知识及经验。当我们要把学生的模糊认识逐步过渡到清晰认知时，有时容易，有时却异常困难。适时地“清零”，才能将学生唤回到“无知”的状态，然后再带领他们一步步走向“所知”。
【教学片段】
师：学校要调查同学们跑得快不快，给出了一道题：“60米，我通常要跑（ ）秒。”一个二年级小朋友回家请爸爸帮他测了一下，他跑了5次，时间分别是15 秒、14 秒、12 秒、10 秒、14秒。填表时他犯愁了，到底要填哪一个数呢？
课前调查显示，80[XC百分号.TIF，JZ]以上的学生已经知道了如何求平均数，即把所有的数加起来，然后除以数量。而对诸如“李强所在班级的平均身高为132厘米，王丽所在班级的平均身高为130厘米，李强一定比王丽高”等命题进行判断时，却有68[XC百分号.TIF，JZ]的学生认为是对的。面对这样的先期学习成果，学生也许不愿意和教师去探讨什么是平均数的问题，但他们是否真正理解了平均数，是否领悟了平均数所蕴含的统计学意义呢？答案显然是否定的。如果教师继续以“一个二年级小朋友跑了5次60米，时间分别是15 秒、14 秒、12 秒、10 秒、14秒。他的平均成绩是多少秒？”等问题作为探究题，“平均”二字，一下子就激活了他们先期学习的经验，新授课成了练习课、展示课。在这里，教师无法再引导学生去理解概念的内涵，学生的回答类似课前的调查，更多是一种应试的技能，而非理解。面对这种情况，教师可以隐藏所有关于“平均数”的言语提示，让学生把他们最真实的想法说出来。而这节课后面的进程恰恰也说明了这一步的必要性，学生长达二十多分钟的纠结其实就是在重塑他们对平均数的认知。
二、塑境：提供学生最适合的研究素材
知识从来不是以刚出现的样子呈现在大众面前的，它必定经历了多次的调整、完善、扩充以后，才能以最规范、最科学的样式公布于众。而学生要在最短的时间内经历这一过程，教师的组织作用就顯得格外重要。教师只有营造最适合学生研究的环境，提供最适合学生研究的素材，才能让他们集中力量高效地解决问题。供学生研究的素材要有生活性，让学生有话说；素材要有趣味性，让学生愿意说。当然更重要的是，素材要有典型性，让学生能说出最核心的内容。
平均数是代表一组数据集中水平的虚拟数。“代表性”“虚拟性”如何在数据中得以体现？在多次尝试、比较后，笔者决定用“记录孩子跑60米所用的时间”情境，精心预设5个数据：15秒、14秒、12秒、10秒、14秒。这组数据看似随意，实则用心良苦。一是尽可能地减少计算对学生理解平均数的意义带来的障碍。5个数据虽然不多，但也不少，已经具有了统计的意义。5个数都是20以内的数，学生可以自如地进行比较、运算。二是数据的分布基本包括了几个相关统计量，尽最大可能地突出了平均数的价值。15秒是这组数据的最大值；10秒是这组数据的最小值；14秒是这组数据的众数，也是中位数；12秒与这组数据的中位数、平均数都非常接近；13秒是这组数据的平均数，但它不存在于已有的数据中。提供最适合学生研究的素材是单位时间内提高学习效率的有效方法，也是滋养学生创新意识和能力的必要基础。
三、链接：触发学生最原生的经验世界
学生的经验世界就是他们学习世界的边界，一切学习只有与学生已有的生活和学习经验联系起来才会真正发生。学生进行创新，得有创新的土壤，这个土壤就是他的经验世界。在熟知的经验世界里，学生有了困惑才会在尝试中顿悟，在择优中另辟蹊径。当我们把引导的力量指向他们的经验世界时，你会发现每一个学生都是天才，都是发明家，他们会用自己独特的方式去理解、去创造。对于他们来说，这其实就是一次生命的成长过程。
【教学片段】
师：他先填了15秒，又把15秒给涂掉了。同学们，你们说这个小朋友是怎么想的？
生：这是他所有成绩中最差的。
师：把这个跑得最慢的数据交给老师，他甘心吗？不甘心啊。于是，他就填了一个10秒，但一会儿把10秒也给擦掉了，你们知道他是怎么想的吗？
生：10秒太快了，不敢填！
师：对，10秒太快了，万一跑不出来怎么办呢？多不好意思。那么，最后他会填多少呢？
生：14秒。
师：为什么？
生：他跑出两次14秒。
师：14秒出现的次数最多，但他甘心吗？ 生：好像还是不甘心。
师：为什么？14秒还是偏慢。明明还跑出10秒、12秒的成绩。那怎么办呢？
生：15秒偏慢，14秒偏慢，10秒偏快，12秒也偏快，13秒刚好不快不慢，正好代表他的水平。
小学里的任何一个数学概念都可以在生活中找到模型，找到促发概念生长的经验。这个经验可以是生活的经验，也可以是先前的学习经验。一般来说，每个学科的基本活动经验一般包括基本的操作经验、本学科特有的思维操作活动经验、综合运用本学科内容进行问题的思考和解决的经验等类别。学生中关于“真实水平”“超常水平”“失常水平”的经验，在这个环节被激活了。这些最朴素的对数据的体验、比较的过程，其实都是在为新概念的创生做准备。学生的学习一旦链接上了他的经验世界，那就如同草儿找到了阳光一样，郁郁葱葱，生机勃发。
四、创生：激活学生最大胆的创新突破
创新是需要智慧的，也是需要胆识的。苏霍姆林斯基说过，在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个探索者、发现者、研究者，而在学生的精神世界里，这种需要尤其强烈。正视并挖掘每一个学生的创新意识和创造潜能，胜过一切浮于表面的表扬。而创新素质中最基本的态度就是质疑，最基本的精神就是批判。鼓励学生大胆质疑、挑战权威，敢想别人不敢想的，敢提别人不曾提的。只要言之有理、述之有据，一切天马行空的想法都可以说出来，都会得到大家的理解。唯有如此，创新才能真正越过樊篱走向大众，走向儿童。
【教学片段】
生：13秒不快不慢，正好代表他的水平。
师：那么问题来了，13秒是正好，但是他敢填吗？
生：不敢。
师：为什么？
生：没跑过。
师：填上13秒算不算骗老师呢？
（学生与教师进行交流、讨论。）
生：“通常”说明数据是不要最快的，也不要最慢的，要不快不慢的，差不多的，可以填13秒。
师：15秒偏慢，10秒最快，14秒偏慢，12秒偏快，只有13秒是不快不慢的。但13秒在哪里呢？
（教师利用圆片，在直观图上移多补少，得出5个一样的13秒。）
师：现在你们认为填什么最合适？
生：13秒。
师：这个数能够代表他的一般水平，它叫平均数。
学生对平均数的理解是基于“通常”与“非常”之间的选择，是基于虚拟与真实之间的纠结。在这个讨论过程中，学生感觉不到是在学习数学知识，只是在最后的一刹那，当教师为整个过程的结果套上“平均数”这件“外衣”时，他们才意识到这是在学习，是在学习一个新的概念。“平均数”这个概念，是先有学生的意义理解，后有科学的术语规定，这才是真正意义上的概念创新。
五、建模：沟通学生最熟知的知识系统
概念模型的形成体现的是数学的简约美，它是一个发现与发展的过程，也是一个应用的过程。伴随着数学知识的产生与发展，概念模型也随即产生和发展。在创生一个新的数学概念之前，学生或多或少已经有了一些与新概念相关的知识储备，这些储备可以为新概念的理解增光添色。但如果不加以利用，不沟通起新概念与熟知的知识系统之间的联系，那么新概念就无法顺利地接入学生的认知系统，不能形成认知结构上的同化或顺应。
【教学片段】
师：除了用刚才的这种方法，我们还可以怎样得到13秒这个数据呢？
生：（15+14+10+12+14[DK]）÷5=13（秒）。
师：你会求下面这几个数的平均数吗？
（教师让学生做几组求平均数的练习，具体过程略。）
正如前面所说，80[XC百分号.TIF，JZ]以上的学生在课前已经知道了如何求平均数，也知道平均数的一些简单应用。但这些知识在没有概念理解的支撑下，只能算是一种解题技能而已，是一种“术”，它是通过大量的练习堆砌起来的，随着时间的推移会被逐渐淡忘[3]。而有了概念与方法的沟通之后，学生对概念的理解就会更直观，对方法的领悟就会更深刻。至此，概念创新的过程才算完备。
参考文献：
[1]陈金芳.中小学生创新素养问题与改进策略[J].中国教育学刊，2012（11）：5-8.
[2]俞正強.平均数，不可省略的理解[J].小学教学（数学版），2017（7/8）：113.
[3]俞正强.种子课：一个数学特级教师的思与行[M].北京：教育科学出版社，2013.
【关键词】 小学数学；概念创新；教学路径
【作者简介】 薛正桧，一级教师 。
相关研究表明，目前我国中小学生创新素养水平总体偏低，还存在一系列不利于提高中小学生创新素养水平的制约因素。要改变这一状况，我们有必要进一步明确培养目标，努力营造创新文化氛围，注重培养学生的创新品格和创新思维习惯[1]。一般来说，创新分三个层次，即概念创新、技术创新和应用创新，其中概念创新是源头。以一个完整的知识链来说，概念创新对应“是什么”，技术创新对应“怎么得到”，应用创新对应“有什么用”。学习知识如果不把基本的概念搞清楚，不知道它生发的原因以及思想的突破点，即使知道怎么得到它、如何运用它，那也是不完备的，是无源之水、无本之木[2]。中小学是个体创新素养形成的决定性阶段，利用课堂深耕概念是教师提高中小学生创新素养的重要举措。
一、清零：隐藏学生最模糊的抽象认识
作为现代学习型社会中的一分子，学生在进入课堂之前已经具备了不少跟课堂内容相关的，或感性或理性、或清晰或模糊、或正确或错误的知识及经验。当我们要把学生的模糊认识逐步过渡到清晰认知时，有时容易，有时却异常困难。适时地“清零”，才能将学生唤回到“无知”的状态，然后再带领他们一步步走向“所知”。
【教学片段】
师：学校要调查同学们跑得快不快，给出了一道题：“60米，我通常要跑（ ）秒。”一个二年级小朋友回家请爸爸帮他测了一下，他跑了5次，时间分别是15 秒、14 秒、12 秒、10 秒、14秒。填表时他犯愁了，到底要填哪一个数呢？
课前调查显示，80[XC百分号.TIF，JZ]以上的学生已经知道了如何求平均数，即把所有的数加起来，然后除以数量。而对诸如“李强所在班级的平均身高为132厘米，王丽所在班级的平均身高为130厘米，李强一定比王丽高”等命题进行判断时，却有68[XC百分号.TIF，JZ]的学生认为是对的。面对这样的先期学习成果，学生也许不愿意和教师去探讨什么是平均数的问题，但他们是否真正理解了平均数，是否领悟了平均数所蕴含的统计学意义呢？答案显然是否定的。如果教师继续以“一个二年级小朋友跑了5次60米，时间分别是15 秒、14 秒、12 秒、10 秒、14秒。他的平均成绩是多少秒？”等问题作为探究题，“平均”二字，一下子就激活了他们先期学习的经验，新授课成了练习课、展示课。在这里，教师无法再引导学生去理解概念的内涵，学生的回答类似课前的调查，更多是一种应试的技能，而非理解。面对这种情况，教师可以隐藏所有关于“平均数”的言语提示，让学生把他们最真实的想法说出来。而这节课后面的进程恰恰也说明了这一步的必要性，学生长达二十多分钟的纠结其实就是在重塑他们对平均数的认知。
二、塑境：提供学生最适合的研究素材
知识从来不是以刚出现的样子呈现在大众面前的，它必定经历了多次的调整、完善、扩充以后，才能以最规范、最科学的样式公布于众。而学生要在最短的时间内经历这一过程，教师的组织作用就顯得格外重要。教师只有营造最适合学生研究的环境，提供最适合学生研究的素材，才能让他们集中力量高效地解决问题。供学生研究的素材要有生活性，让学生有话说；素材要有趣味性，让学生愿意说。当然更重要的是，素材要有典型性，让学生能说出最核心的内容。
平均数是代表一组数据集中水平的虚拟数。“代表性”“虚拟性”如何在数据中得以体现？在多次尝试、比较后，笔者决定用“记录孩子跑60米所用的时间”情境，精心预设5个数据：15秒、14秒、12秒、10秒、14秒。这组数据看似随意，实则用心良苦。一是尽可能地减少计算对学生理解平均数的意义带来的障碍。5个数据虽然不多，但也不少，已经具有了统计的意义。5个数都是20以内的数，学生可以自如地进行比较、运算。二是数据的分布基本包括了几个相关统计量，尽最大可能地突出了平均数的价值。15秒是这组数据的最大值；10秒是这组数据的最小值；14秒是这组数据的众数，也是中位数；12秒与这组数据的中位数、平均数都非常接近；13秒是这组数据的平均数，但它不存在于已有的数据中。提供最适合学生研究的素材是单位时间内提高学习效率的有效方法，也是滋养学生创新意识和能力的必要基础。
三、链接：触发学生最原生的经验世界
学生的经验世界就是他们学习世界的边界，一切学习只有与学生已有的生活和学习经验联系起来才会真正发生。学生进行创新，得有创新的土壤，这个土壤就是他的经验世界。在熟知的经验世界里，学生有了困惑才会在尝试中顿悟，在择优中另辟蹊径。当我们把引导的力量指向他们的经验世界时，你会发现每一个学生都是天才，都是发明家，他们会用自己独特的方式去理解、去创造。对于他们来说，这其实就是一次生命的成长过程。
【教学片段】
师：他先填了15秒，又把15秒给涂掉了。同学们，你们说这个小朋友是怎么想的？
生：这是他所有成绩中最差的。
师：把这个跑得最慢的数据交给老师，他甘心吗？不甘心啊。于是，他就填了一个10秒，但一会儿把10秒也给擦掉了，你们知道他是怎么想的吗？
生：10秒太快了，不敢填！
师：对，10秒太快了，万一跑不出来怎么办呢？多不好意思。那么，最后他会填多少呢？
生：14秒。
师：为什么？
生：他跑出两次14秒。
师：14秒出现的次数最多，但他甘心吗？ 生：好像还是不甘心。
师：为什么？14秒还是偏慢。明明还跑出10秒、12秒的成绩。那怎么办呢？
生：15秒偏慢，14秒偏慢，10秒偏快，12秒也偏快，13秒刚好不快不慢，正好代表他的水平。
小学里的任何一个数学概念都可以在生活中找到模型，找到促发概念生长的经验。这个经验可以是生活的经验，也可以是先前的学习经验。一般来说，每个学科的基本活动经验一般包括基本的操作经验、本学科特有的思维操作活动经验、综合运用本学科内容进行问题的思考和解决的经验等类别。学生中关于“真实水平”“超常水平”“失常水平”的经验，在这个环节被激活了。这些最朴素的对数据的体验、比较的过程，其实都是在为新概念的创生做准备。学生的学习一旦链接上了他的经验世界，那就如同草儿找到了阳光一样，郁郁葱葱，生机勃发。
四、创生：激活学生最大胆的创新突破
创新是需要智慧的，也是需要胆识的。苏霍姆林斯基说过，在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个探索者、发现者、研究者，而在学生的精神世界里，这种需要尤其强烈。正视并挖掘每一个学生的创新意识和创造潜能，胜过一切浮于表面的表扬。而创新素质中最基本的态度就是质疑，最基本的精神就是批判。鼓励学生大胆质疑、挑战权威，敢想别人不敢想的，敢提别人不曾提的。只要言之有理、述之有据，一切天马行空的想法都可以说出来，都会得到大家的理解。唯有如此，创新才能真正越过樊篱走向大众，走向儿童。
【教学片段】
生：13秒不快不慢，正好代表他的水平。
师：那么问题来了，13秒是正好，但是他敢填吗？
生：不敢。
师：为什么？
生：没跑过。
师：填上13秒算不算骗老师呢？
（学生与教师进行交流、讨论。）
生：“通常”说明数据是不要最快的，也不要最慢的，要不快不慢的，差不多的，可以填13秒。
师：15秒偏慢，10秒最快，14秒偏慢，12秒偏快，只有13秒是不快不慢的。但13秒在哪里呢？
（教师利用圆片，在直观图上移多补少，得出5个一样的13秒。）
师：现在你们认为填什么最合适？
生：13秒。
师：这个数能够代表他的一般水平，它叫平均数。
学生对平均数的理解是基于“通常”与“非常”之间的选择，是基于虚拟与真实之间的纠结。在这个讨论过程中，学生感觉不到是在学习数学知识，只是在最后的一刹那，当教师为整个过程的结果套上“平均数”这件“外衣”时，他们才意识到这是在学习，是在学习一个新的概念。“平均数”这个概念，是先有学生的意义理解，后有科学的术语规定，这才是真正意义上的概念创新。
五、建模：沟通学生最熟知的知识系统
概念模型的形成体现的是数学的简约美，它是一个发现与发展的过程，也是一个应用的过程。伴随着数学知识的产生与发展，概念模型也随即产生和发展。在创生一个新的数学概念之前，学生或多或少已经有了一些与新概念相关的知识储备，这些储备可以为新概念的理解增光添色。但如果不加以利用，不沟通起新概念与熟知的知识系统之间的联系，那么新概念就无法顺利地接入学生的认知系统，不能形成认知结构上的同化或顺应。
【教学片段】
师：除了用刚才的这种方法，我们还可以怎样得到13秒这个数据呢？
生：（15+14+10+12+14[DK]）÷5=13（秒）。
师：你会求下面这几个数的平均数吗？
（教师让学生做几组求平均数的练习，具体过程略。）
正如前面所说，80[XC百分号.TIF，JZ]以上的学生在课前已经知道了如何求平均数，也知道平均数的一些简单应用。但这些知识在没有概念理解的支撑下，只能算是一种解题技能而已，是一种“术”，它是通过大量的练习堆砌起来的，随着时间的推移会被逐渐淡忘[3]。而有了概念与方法的沟通之后，学生对概念的理解就会更直观，对方法的领悟就会更深刻。至此，概念创新的过程才算完备。
参考文献：
[1]陈金芳.中小学生创新素养问题与改进策略[J].中国教育学刊，2012（11）：5-8.
[2]俞正強.平均数，不可省略的理解[J].小学教学（数学版），2017（7/8）：113.
[3]俞正强.种子课：一个数学特级教师的思与行[M].北京：教育科学出版社，2013.