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【摘 要】研究者通过对贵州水族文化生活中数学问题的研究，将其开发为数学课程资源，编撰成数学教学案例并加以实践。教师在教学轴对称、平方差公式、等比数列等知识点时引用相关案例，激发了各学段学生的数学学习兴趣，促进了数学教学质量的提升。
【关键词】民族数学文化;水族;课程资源;开发;数学情境教学
一、水族数学文化概述
对水族人民生活中有关问题的考察和研究表明，水族人民生产生活中的许多现象，如语言文字中的数字符号，生产实践中的计数习惯，社会生活中的习俗，建筑中的几何图案，各种长度、面积、角度的计算，水族地区广泛使用的度量衡，水族的天文历法，乃至水族服饰、银饰、铜鼓、器具、竹编等传统手工艺制品和常见的生活用品等，都蕴含着丰富的数学文化知识，承载着丰富的几何纹样、几何变换等数学元素。凡此种种，都与数学有着密切的联系。
在对水族数学文化研究的基础上，出于课程与教学论研究的需要，我们进一步将水族数学文化知识开发为数学课程资源，编撰成数学教学案例，并在各学段的数学课堂中加以实践。实践表明，水族数学文化课程资源及其教学案例的运用，可以激发各学段学生的数学学习兴趣，促进数学教学质量的提升。
二、基于“情境—问题”数学教学模式的水族数学文化教学案例开发
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索;教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础;在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程[1]。为此，数学教师在教学时要结合学生实际，从学生熟悉的实际生活中开发数学课程资源，精心地、科学地创设数学情境，让学生在自己熟悉的生活情境中学习数学。
20世纪80年代以来，贵州师范大学吕传汉、汪秉彝两位教授对民族数学文化和跨文化数学教育进行研究，并在此基础上提出“情境—问题”数学教学模式，在我国西南地区乃至全国进行了长年的教学实驗研究。“情境—问题”数学教学基本模式[2-4]如图1所示。以此教学模式的相关理论和实践经验为指导，我们可以在搜集、挖掘、整理水族数学文化资源的基础上，尝试开发水族数学文化教学案例，并引入水族地区中小学数学课堂教学。
图1 “情境—问题”数学教学基本模式
下面分别选取小学数学、初中数学和高中数学的一个知识点，以水族数学文化资源作为教学情境，开展水族数学文化引入数学课堂教学的案例设计与实践探索。
案例1 水族服饰图案与图形变换的认识
【知识点】轴对称（人教版数学四年级下册）
【数学情境】水族服饰因其图案精美、颜色绚丽而受到大家的青睐。图2依次是水族的男士上衣、女士背带、女士围腰、花帽顶部的绣花图案。
图2 水族服饰中的对称
【提出问题】
①（教师用多媒体呈现图2）同学们在生活中见过这些图案吗？
②（教师用多媒体动画演示，呈现添加的线条）你认为老师为什么要在每个图案中添加一些线条？你能说说这些图案有什么共同特点吗？
③ 我们需要给具有这种特点的图案取一个名称，你觉得可以怎样取？你还可以给图中添加的线条取一个名字吗？
④ 想一想，我们身边还有哪些事物也具有这样的特点？
【问题设计意图】
① 吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣。对于展示的图案，大多数水族学生应该见过。
② 将学生的注意力和数学思维活动引向本节课的主题——轴对称。学生可以清楚地看到每个图案都可以被添加的线条一分为二，分得的两部分具有对称性。
③ 在教师的引导下，学生尝试说出轴对称图形的名称，并进一步认识对称轴。
④ 教师进一步引导学生寻找生活中的轴对称图形，让学生体验生活中处处有数学，进一步激发学生喜欢数学、热爱生活的情感。
【案例评析】
小学数学对“图形的运动”（包括轴对称、平移等）的学习重在了解、体验、感知，并不需要给“轴对称图形”“对称轴”等概念下严格的定义。教材中的例子与水族学生的知识经验、生活实际相去甚远。数学教师应根据学生的实际情况，因地制宜选取数学教学素材，使数学教学更贴近学生的生活实际。上述数学情境的设计正是从水族学生常见的服饰图案入手，开展“轴对称”内容的学习。教学实践表明，这样的情境引入很容易激发学生的学习兴趣，教学效果良好。
类似的问题还有很多，比如在“圆的认识”部分，教材中的例子是天坛、摩天轮等。少数民族地区的学生大多没见过此类事物，不利于学生的数学学习。但在学生的生活环境中，到处都有圆的身影。以水族为例，水族人民在生活中随处可见各种圆形的木桶、圆形的簸箕，等等。而且，水族人民很早就知道为了制造半径为R的木桶，需要做好若干木块，使木块宽度的总和大致等于3.15×2R，然后把这些做好的木块凹面向下并列排在一起，刚好成一个无缝隙的圆桶[5]。
案例2 水族背带与平方差公式的发现
【知识点】平方差公式（人教版数学八年级上册）
【数学情境】水族衣服、背带、绣花鞋以及孩童花帽等，在水族的生活中形成了一道靓丽的风景线，其中也蕴含着许多数学知识。图3是水族一款背带的图案[6]。
图3 水族背带图案图4 学生作图
【提出问题】
① 请观察图3，作出它的几何图形。（学生通过观察，可以作出如图4所示的图形，它由中心重合且对应边互相平行的两个正方形构成。）
② 假设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b，两个正方形的面积分别是多少？它们的面积之差是多少？ ③ 这两个正方形的面积之差还可以怎样计算？
④ 四边形ABFE、BCGF、CDHG、DAEH分别是什么图形？它们的面积可以怎样计算？
⑤ 四边形ABFE、BCGF、CDHG、DAEH的面积分别是多少？它们的面积之和是多少？
⑥ 四个等腰梯形的面积之和与两个正方形的面积之差有什么关系？
⑦ 由问题⑥，你能得到什么样的等式关系？这个结果说明了什么？
⑧ 如图5所示，如果两个正方形的中心不重合，这个结论还成立吗？
图5 中心不重合的正方形
【问题设计意图】
① 让学生经历从生活情境中抽象出几何图形的过程;
② 引导学生计算两个正方形的面積之差;
③ 引导学生计算四个等腰梯形的面积之和，从而用新的方法求出两个正方形的面积之差，体会算法多样化的思想;
④ 引导学生发现平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）;
⑤ 变式训练，引导学生进一步思考问题的本质。
【案例评析】
本案例从水族学生熟悉的图形出发，为平方差公式找到了一个直观的几何模型。通过这个模型，学生可以得到关于平方差公式证明的一个很好的方法。在水族学生占多数的学校里讲授平方差公式的证明时，教师不妨按此方法教学，让学生在自己熟悉的文化中感受数学知识。从学生已有的经验出发，让学生在熟悉的生活情境中开始一堂课的学习，能有效地吸引学生的注意力。这样不仅能激发学生的学习兴趣，而且能让他们感受到数学其实就在自己的身边。
案例3 水族妇女手袋图案与等比数列、数列极限的学习
【知识点】等比数列[人教版高中数学必修5（B版）]
【数学情境】图6为水族妇女手袋图案。
图6 水族妇女手袋图案
【提出问题】
① 请观察图6，作出它的抽象几何图形。（学生通过观察，可以作出如图7所示的图形。）
图7 水族妇女手袋图案示意图
② 假设大正方形的面积为1，从外到内第二个、第三个、第四个正方形的面积分别是多少？
③ 这些数构成的数列是等差数列吗？
④ 这些数有什么规律可循？你可以给这样的数列下一个定义吗？
⑤ 按照这个规律继续作图，猜猜第六个正方形的面积应该是多少？你可以写出公式吗？
⑥ 设最外面的正方形的面积为a1，从外到内第二个正方形的面积是第一个正方形的q倍，第三个正方形的面积是第二个正方形的q倍……以此类推，第n个正方形的面积是多少？
⑦ 换一个角度，假设大正方形的面积为1，从外到内第一圈四个直角三角形的面积之和是多少？第二圈四个直角三角形的面积之和是多少？第三圈呢？第n圈呢？随着n的增大，第n圈四个直角三角形的面积之和是如何变化的？
⑧ 如果按照这个规律作图，将每一圈的四个直角三角形的面积分别表示出来，再相加，你估计它们的面积之和是多少？这个结果说明了什么？
【问题设计意图】
① 让学生经历从生活情境中抽象出几何图形的过程;
② 引导学生逐步总结出等比数列的定义，并引导学生寻找等比数列的通项公式;
③ 引导学生感受数列的极限;
④ 引导学生感受无穷递减等比数列（公比q<1，q≠0）前n项和的极限。
【案例评析】
等差数列、等比数列及其相关知识是高中数学的重点内容，数列求和、数列极限是高中数学的难点知识。长期以来，部分教师沿用课本上的材料或著名数学家的趣闻轶事，如高斯小时候的故事、国际象棋发明者的故事、穷人向富人借钱的故事等，作为数列部分的数学情境。当然，这些情境有其存在的合理性和教学价值。
本案例从水族数学文化资源出发，为等比数列的定义、通项公式以及数列极限等有关知识的教学找到了一个较好的例子。以这个例子作为问题情境，设置相应的数学问题，通过不断地启发与暗示，同样可以引出等比数列的定义，引导学生探究等比数列的通项公式;设置问题⑦和问题⑧是为学生将来学习数列极限以及无穷递减等比数列前n项和的极限等问题做准备。（注：问题⑦和问题⑧不宜在初学等比数列时展示给学生）
此外，对水族聚居地区的学生而言，水族妇女手袋的图案是他们熟悉的图案，更容易引起学生的共鸣。教师将水族妇女手袋的图案作为数学问题情境引入课堂，可以发展学生的几何直观能力。我们还可以进一步要求学生研究下面的图案（如图8所示），分别得到如下结果：
图8 几何直观与数列极限[7]
左图：12+14+18+116+…=1
右图：34+316+364+…=1
三、民族数学文化课程资源开发与利用的“三结合”模式
从上述案例及讨论可发现，以“民族数学文化情境”作为民族地区学生数学学习的思维起点，使数学内容的呈现贴近民族地区学生的生活实际，增强民族地区数学教育的文化适应性，让已经存在于民族地区学生头脑中非正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的数学结论，可以让学生从中感受到民族文化的数学魅力，增强民族自豪感和数学学习的自信心，体验数学学习的乐趣。
要实现上述设想，达到以民族文化情境引导数学知识教学的目的，教师需要充分挖掘民族数学文化资源，进一步与数学课程有关知识点结合，创设具有民族数学文化的教学情境。通过十年的努力，凯里学院“民族数学文化与教育研究”形成了“搜集与挖掘民族数学文化、开发数学课程资源、数学课堂教学实践”三结合模式[8]（简称“三结合”模式，如图9所示）。
图9 民族数学文化课程资源开发与利用模式图
“三结合”模式以学生熟悉的民族文化为素材创设数学情境，有利于学生形成民族认同感，有利于学生构建数学概念、学会数学方法、掌握数学知识，是有效实施民族地区数学文化课程资源开发与利用，进而促进当前少数民族地区数学教育的一种方法。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]吕传汉，汪秉彝.再论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J].数学教育学报，20024）：72-76.
[3]杨孝斌，吕传汉，汪秉彝.三论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J].数学教育学报，20034）：76-79.
[4]杨孝斌，汪秉彝.中小学“数学情境与提出问题”教学探析[J].数学教育学报，20044）：84-87.
[5]杨孝斌，罗永超，张和平.人类学视域下的水族数学文化研究[J].数学通报，20168）：9-16.
[6]韦志托.水族传统生活中的数学文化初探[J].凯里学院学报，20133）：5-9.
[7]杨孝斌，吕传汉.浅议高中阶段“数学文化”的教学[J].黔西南民族师范高等专科学校学报，20041）：52-56.
[8]张和平.苗侗民族地区地方数学课程资源开发模式构建[J].教学与管理，20123）：102-103.
【关键词】民族数学文化;水族;课程资源;开发;数学情境教学
一、水族数学文化概述
对水族人民生活中有关问题的考察和研究表明，水族人民生产生活中的许多现象，如语言文字中的数字符号，生产实践中的计数习惯，社会生活中的习俗，建筑中的几何图案，各种长度、面积、角度的计算，水族地区广泛使用的度量衡，水族的天文历法，乃至水族服饰、银饰、铜鼓、器具、竹编等传统手工艺制品和常见的生活用品等，都蕴含着丰富的数学文化知识，承载着丰富的几何纹样、几何变换等数学元素。凡此种种，都与数学有着密切的联系。
在对水族数学文化研究的基础上，出于课程与教学论研究的需要，我们进一步将水族数学文化知识开发为数学课程资源，编撰成数学教学案例，并在各学段的数学课堂中加以实践。实践表明，水族数学文化课程资源及其教学案例的运用，可以激发各学段学生的数学学习兴趣，促进数学教学质量的提升。
二、基于“情境—问题”数学教学模式的水族数学文化教学案例开发
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索;教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础;在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程[1]。为此，数学教师在教学时要结合学生实际，从学生熟悉的实际生活中开发数学课程资源，精心地、科学地创设数学情境，让学生在自己熟悉的生活情境中学习数学。
20世纪80年代以来，贵州师范大学吕传汉、汪秉彝两位教授对民族数学文化和跨文化数学教育进行研究，并在此基础上提出“情境—问题”数学教学模式，在我国西南地区乃至全国进行了长年的教学实驗研究。“情境—问题”数学教学基本模式[2-4]如图1所示。以此教学模式的相关理论和实践经验为指导，我们可以在搜集、挖掘、整理水族数学文化资源的基础上，尝试开发水族数学文化教学案例，并引入水族地区中小学数学课堂教学。
图1 “情境—问题”数学教学基本模式
下面分别选取小学数学、初中数学和高中数学的一个知识点，以水族数学文化资源作为教学情境，开展水族数学文化引入数学课堂教学的案例设计与实践探索。
案例1 水族服饰图案与图形变换的认识
【知识点】轴对称（人教版数学四年级下册）
【数学情境】水族服饰因其图案精美、颜色绚丽而受到大家的青睐。图2依次是水族的男士上衣、女士背带、女士围腰、花帽顶部的绣花图案。
图2 水族服饰中的对称
【提出问题】
①（教师用多媒体呈现图2）同学们在生活中见过这些图案吗？
②（教师用多媒体动画演示，呈现添加的线条）你认为老师为什么要在每个图案中添加一些线条？你能说说这些图案有什么共同特点吗？
③ 我们需要给具有这种特点的图案取一个名称，你觉得可以怎样取？你还可以给图中添加的线条取一个名字吗？
④ 想一想，我们身边还有哪些事物也具有这样的特点？
【问题设计意图】
① 吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣。对于展示的图案，大多数水族学生应该见过。
② 将学生的注意力和数学思维活动引向本节课的主题——轴对称。学生可以清楚地看到每个图案都可以被添加的线条一分为二，分得的两部分具有对称性。
③ 在教师的引导下，学生尝试说出轴对称图形的名称，并进一步认识对称轴。
④ 教师进一步引导学生寻找生活中的轴对称图形，让学生体验生活中处处有数学，进一步激发学生喜欢数学、热爱生活的情感。
【案例评析】
小学数学对“图形的运动”（包括轴对称、平移等）的学习重在了解、体验、感知，并不需要给“轴对称图形”“对称轴”等概念下严格的定义。教材中的例子与水族学生的知识经验、生活实际相去甚远。数学教师应根据学生的实际情况，因地制宜选取数学教学素材，使数学教学更贴近学生的生活实际。上述数学情境的设计正是从水族学生常见的服饰图案入手，开展“轴对称”内容的学习。教学实践表明，这样的情境引入很容易激发学生的学习兴趣，教学效果良好。
类似的问题还有很多，比如在“圆的认识”部分，教材中的例子是天坛、摩天轮等。少数民族地区的学生大多没见过此类事物，不利于学生的数学学习。但在学生的生活环境中，到处都有圆的身影。以水族为例，水族人民在生活中随处可见各种圆形的木桶、圆形的簸箕，等等。而且，水族人民很早就知道为了制造半径为R的木桶，需要做好若干木块，使木块宽度的总和大致等于3.15×2R，然后把这些做好的木块凹面向下并列排在一起，刚好成一个无缝隙的圆桶[5]。
案例2 水族背带与平方差公式的发现
【知识点】平方差公式（人教版数学八年级上册）
【数学情境】水族衣服、背带、绣花鞋以及孩童花帽等，在水族的生活中形成了一道靓丽的风景线，其中也蕴含着许多数学知识。图3是水族一款背带的图案[6]。
图3 水族背带图案图4 学生作图
【提出问题】
① 请观察图3，作出它的几何图形。（学生通过观察，可以作出如图4所示的图形，它由中心重合且对应边互相平行的两个正方形构成。）
② 假设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b，两个正方形的面积分别是多少？它们的面积之差是多少？ ③ 这两个正方形的面积之差还可以怎样计算？
④ 四边形ABFE、BCGF、CDHG、DAEH分别是什么图形？它们的面积可以怎样计算？
⑤ 四边形ABFE、BCGF、CDHG、DAEH的面积分别是多少？它们的面积之和是多少？
⑥ 四个等腰梯形的面积之和与两个正方形的面积之差有什么关系？
⑦ 由问题⑥，你能得到什么样的等式关系？这个结果说明了什么？
⑧ 如图5所示，如果两个正方形的中心不重合，这个结论还成立吗？
图5 中心不重合的正方形
【问题设计意图】
① 让学生经历从生活情境中抽象出几何图形的过程;
② 引导学生计算两个正方形的面積之差;
③ 引导学生计算四个等腰梯形的面积之和，从而用新的方法求出两个正方形的面积之差，体会算法多样化的思想;
④ 引导学生发现平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）;
⑤ 变式训练，引导学生进一步思考问题的本质。
【案例评析】
本案例从水族学生熟悉的图形出发，为平方差公式找到了一个直观的几何模型。通过这个模型，学生可以得到关于平方差公式证明的一个很好的方法。在水族学生占多数的学校里讲授平方差公式的证明时，教师不妨按此方法教学，让学生在自己熟悉的文化中感受数学知识。从学生已有的经验出发，让学生在熟悉的生活情境中开始一堂课的学习，能有效地吸引学生的注意力。这样不仅能激发学生的学习兴趣，而且能让他们感受到数学其实就在自己的身边。
案例3 水族妇女手袋图案与等比数列、数列极限的学习
【知识点】等比数列[人教版高中数学必修5（B版）]
【数学情境】图6为水族妇女手袋图案。
图6 水族妇女手袋图案
【提出问题】
① 请观察图6，作出它的抽象几何图形。（学生通过观察，可以作出如图7所示的图形。）
图7 水族妇女手袋图案示意图
② 假设大正方形的面积为1，从外到内第二个、第三个、第四个正方形的面积分别是多少？
③ 这些数构成的数列是等差数列吗？
④ 这些数有什么规律可循？你可以给这样的数列下一个定义吗？
⑤ 按照这个规律继续作图，猜猜第六个正方形的面积应该是多少？你可以写出公式吗？
⑥ 设最外面的正方形的面积为a1，从外到内第二个正方形的面积是第一个正方形的q倍，第三个正方形的面积是第二个正方形的q倍……以此类推，第n个正方形的面积是多少？
⑦ 换一个角度，假设大正方形的面积为1，从外到内第一圈四个直角三角形的面积之和是多少？第二圈四个直角三角形的面积之和是多少？第三圈呢？第n圈呢？随着n的增大，第n圈四个直角三角形的面积之和是如何变化的？
⑧ 如果按照这个规律作图，将每一圈的四个直角三角形的面积分别表示出来，再相加，你估计它们的面积之和是多少？这个结果说明了什么？
【问题设计意图】
① 让学生经历从生活情境中抽象出几何图形的过程;
② 引导学生逐步总结出等比数列的定义，并引导学生寻找等比数列的通项公式;
③ 引导学生感受数列的极限;
④ 引导学生感受无穷递减等比数列（公比q<1，q≠0）前n项和的极限。
【案例评析】
等差数列、等比数列及其相关知识是高中数学的重点内容，数列求和、数列极限是高中数学的难点知识。长期以来，部分教师沿用课本上的材料或著名数学家的趣闻轶事，如高斯小时候的故事、国际象棋发明者的故事、穷人向富人借钱的故事等，作为数列部分的数学情境。当然，这些情境有其存在的合理性和教学价值。
本案例从水族数学文化资源出发，为等比数列的定义、通项公式以及数列极限等有关知识的教学找到了一个较好的例子。以这个例子作为问题情境，设置相应的数学问题，通过不断地启发与暗示，同样可以引出等比数列的定义，引导学生探究等比数列的通项公式;设置问题⑦和问题⑧是为学生将来学习数列极限以及无穷递减等比数列前n项和的极限等问题做准备。（注：问题⑦和问题⑧不宜在初学等比数列时展示给学生）
此外，对水族聚居地区的学生而言，水族妇女手袋的图案是他们熟悉的图案，更容易引起学生的共鸣。教师将水族妇女手袋的图案作为数学问题情境引入课堂，可以发展学生的几何直观能力。我们还可以进一步要求学生研究下面的图案（如图8所示），分别得到如下结果：
图8 几何直观与数列极限[7]
左图：12+14+18+116+…=1
右图：34+316+364+…=1
三、民族数学文化课程资源开发与利用的“三结合”模式
从上述案例及讨论可发现，以“民族数学文化情境”作为民族地区学生数学学习的思维起点，使数学内容的呈现贴近民族地区学生的生活实际，增强民族地区数学教育的文化适应性，让已经存在于民族地区学生头脑中非正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的数学结论，可以让学生从中感受到民族文化的数学魅力，增强民族自豪感和数学学习的自信心，体验数学学习的乐趣。
要实现上述设想，达到以民族文化情境引导数学知识教学的目的，教师需要充分挖掘民族数学文化资源，进一步与数学课程有关知识点结合，创设具有民族数学文化的教学情境。通过十年的努力，凯里学院“民族数学文化与教育研究”形成了“搜集与挖掘民族数学文化、开发数学课程资源、数学课堂教学实践”三结合模式[8]（简称“三结合”模式，如图9所示）。
图9 民族数学文化课程资源开发与利用模式图
“三结合”模式以学生熟悉的民族文化为素材创设数学情境，有利于学生形成民族认同感，有利于学生构建数学概念、学会数学方法、掌握数学知识，是有效实施民族地区数学文化课程资源开发与利用，进而促进当前少数民族地区数学教育的一种方法。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]吕传汉，汪秉彝.再论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J].数学教育学报，20024）：72-76.
[3]杨孝斌，吕传汉，汪秉彝.三论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J].数学教育学报，20034）：76-79.
[4]杨孝斌，汪秉彝.中小学“数学情境与提出问题”教学探析[J].数学教育学报，20044）：84-87.
[5]杨孝斌，罗永超，张和平.人类学视域下的水族数学文化研究[J].数学通报，20168）：9-16.
[6]韦志托.水族传统生活中的数学文化初探[J].凯里学院学报，20133）：5-9.
[7]杨孝斌，吕传汉.浅议高中阶段“数学文化”的教学[J].黔西南民族师范高等专科学校学报，20041）：52-56.
[8]张和平.苗侗民族地区地方数学课程资源开发模式构建[J].教学与管理，20123）：102-103.