论文部分内容阅读
立体几何证明是每年各地高考必考的题型，多年的教学工作中我发现学生普遍存在一个被扣分的原因，一是在几何证明过程中知道原委，但叙述不到位或者粗糙导致原则上错误；二是在几何求值过程中只注重求值淡化证明过程导致被扣分。因此我把在训练学生的过程中的几点心得发表如下：
几何证明题要抓住结论得出需要的所有前提及原因，在书写过程中必须把需要的大小前提一并阐述清楚，方可得到结论。
一、例如：在证明线面平行时若前提是：“平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行。”那么在证明过程中必须阐明三点：（一）平面外；（二）平面内；（三）平行
例：（2011年北京文）如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点.
（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；
证明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE//PC。（平行）
又因为DE 平面BCP，（平面外）且PC 平面BCP（平面内）
所以DE//平面BCP。（结论）
（此题中平面内这个条件可以省略，原因是平面是用点P及点C命名的）
二、 同样，在证明立体几何中的线面垂直时，常有两种方法：
方法1、利用线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
在用这个定理证明的过程中必须阐明两个方面问题：（1）两个线线垂直；（2）两条线在平面内且相交。
例：（2011全国卷）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
证明：（Ⅰ）因为 ， 由余弦定理得
从而BD2+AD2= AB2，故BD AD（一个垂直）
又PD 底面ABCD，可得BD PD（两个垂直）
又因为AD PD= D （相交）
所以BD 平面PAD. 故 PA BD
方法2、利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
那么证明过程中必须阐明三个问题：1、面面垂直；2、交线；3、平面内的直线与交线垂直（线线垂直）。有的同学用上述方法2证明问题的时候，没有阐明面面垂直及交线问题，于是整個卷面显示出来的结果就是由一条线线垂直就轻易判断线面垂直，因此导致被扣分。我们在辅导学生立体几何证明的过程中只要强调各种证明问题都要把各大小前提阐明，而各大小前提的确定则需要学生熟悉立体几何中的各公理、定理、定义及推论。只要解决这些问题，满分不成问题。
几何证明题要抓住结论得出需要的所有前提及原因，在书写过程中必须把需要的大小前提一并阐述清楚，方可得到结论。
一、例如：在证明线面平行时若前提是：“平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行。”那么在证明过程中必须阐明三点：（一）平面外；（二）平面内；（三）平行
例：（2011年北京文）如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点.
（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；
证明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE//PC。（平行）
又因为DE 平面BCP，（平面外）且PC 平面BCP（平面内）
所以DE//平面BCP。（结论）
（此题中平面内这个条件可以省略，原因是平面是用点P及点C命名的）
二、 同样，在证明立体几何中的线面垂直时，常有两种方法：
方法1、利用线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
在用这个定理证明的过程中必须阐明两个方面问题：（1）两个线线垂直；（2）两条线在平面内且相交。
例：（2011全国卷）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
证明：（Ⅰ）因为 ， 由余弦定理得
从而BD2+AD2= AB2，故BD AD（一个垂直）
又PD 底面ABCD，可得BD PD（两个垂直）
又因为AD PD= D （相交）
所以BD 平面PAD. 故 PA BD
方法2、利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
那么证明过程中必须阐明三个问题：1、面面垂直；2、交线；3、平面内的直线与交线垂直（线线垂直）。有的同学用上述方法2证明问题的时候，没有阐明面面垂直及交线问题，于是整個卷面显示出来的结果就是由一条线线垂直就轻易判断线面垂直，因此导致被扣分。我们在辅导学生立体几何证明的过程中只要强调各种证明问题都要把各大小前提阐明，而各大小前提的确定则需要学生熟悉立体几何中的各公理、定理、定义及推论。只要解决这些问题，满分不成问题。